книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях

Из выражения (1.87), принимая упругий потенциал функцией е, et и ф, выводим

д£ -jjf [£ cos (ф*— ф)1;

де(

Заметим, что для пшерупругого изотропного тела упру­ гий потенциал может быть выражен через различные систе­ мы инвариантов тензоров деформаций Грина, Альманси, Генки — Грина и Генки — Альманси, девиаторов логариф­ мических удлинений формоизменений Грина и Альманси, естественные инварианты тензоров деформации Грина и Альманси. Результаты, изложенные в § 3 данной главы, позволяют перейти к любой системе инвариантов. В даль­ нейшем в основном будем применять алгебраические ин­ варианты Ат (1.30) и инварианты 1т (1.33), считая упру­ гий потенциал функцией инвариантов Ат или 1т. Если при конкретной постановке задач теории упругости конечных деформаций упругий потенциал задан как функция инва­ риантов другой системы, то, используя указанные соот­ ношения, всегда можно перейти к инвариантам Ат или 1т. Таким образом, полученные в последующих главах резуль­ таты будут общими для любой постановки задач.

Приведем частные формы упругого потенциала для сжи­ маемого тела, которые используются в публикациях по тео­ рии упругости конечных деформаций. Наиболее простой потенциал типа

где К и р — постоянные Ляме или другие постоянные. Потенциал типа Мурнагана [68] имеет следующий вид:

где а, b и с — новые постоянные, которые являются линей­ ной комбинацией постоянных, первоначально введенных Мурнаганом. Постоянные а, Ъ и с в настоящее время легко определяются ультразвуковым методом.

Для несжимаемого тела применим систему инвариан­ тов 1т. Из условия несжимаемости (1.73) видно, что упру­

31

несколько известных форм упругого потенциала для несжи­ маемого тела:

потенциал Трелоара (тело с потенциалом Трелоара еще называют неогуковским телом)

Потенциалы (1.98) — (1.101) представляют собой сумму нескольких первых членов ряда

поэтому перечень частных видов потенциала типа (1.98) — (1.102) можно продолжить.

Рассмотрим еще ряд потенциалов другой структуры, в частности потенциал Ривлина — Сандерса

потенциал расширенной теории Ривлина — Сандерса — Харта — Смита

Обзор существующих форм упругого потенциала для несжимаемого материала приведен в работе [49]. Необхо­ димо отметить, что не существует конкретной формы потен­ циала, который бы удовлетворительно описывал поведение широкого класса тел в большом диапазоне изменения удли­ нений для различного вида простейших деформированных состояний. Для иллюстрации этого положения приведем рис. 1, на котором дано сравнение различных теорий при одноосном растяжении одного из типов резин [49] и обо-

32

значено: кривая 1 — трехчленная теория; 2 — теория Хар­ та — Смита; 3 — теория Муни; 4 — теория Трелоара. Точ­ ками обозначены результаты экспериментов Трелоара.

Для общего изотропного упругого тела снимается пред­ положение о существовании упругого потенциала. Общая форма связи между компонентами тензора напряжений Ко­ ши и компонентами тензо­ ра деформаций Альманси имеет вид

2// = fi (Alt А2, Л3) Ьц +

А Ш * А> ^3)

(1.106)

Д ля тензора обобщен­ ных напряжений и тензо­ ра деформаций Грина со­ отношения представим в форме

°«7 = фА/ + Ф2е0’ +

где ф,-— функции инвариан­ тов тензора обобщенных на­

пряжений и тензора деформаций Грина. С учетом результа­ тов, приведенных в параграфе 3 настоящей главы, величины Ч„, можно выразить через различные системы инвариантов. В качестве примера приведем выражения для фт через

инварианты е*, еГ и ф* тензора обобщенных напряжений и инварианты тензора деформаций Грина в форме В. В. Но­

вожилова [37—39], а также через инварианты е<0), е\а) и ф(щ тензора истинных напряжений и естественные инварианты А, е, у, а в форме Л. А. Толоконникова [46, 47]. Предвари­ тельно соотношение (1.107), которое будет основным при дальнейшем исследовании, перепишем в виде

33

то получим соотношения между двумя симметричными соос­

Заметим, что соотношения (1.108) и (1.110) несколько отличаются от соотношений, описанных в [37—391, посколь­ ку здесь использована другая система инвариантов. Связь между используемой в данном случае системой инвариан­ тов и системой инвариантов, приведенной в [391, указана в примечании в конце § 3 настоящей главы. Таким образом, соотношения (1.109) — (1.110) устанавливают связь между выражением (1.107) и представлением В. В. Новожилова.

Выразим величины К, G(l> и 0<2) через инварианты

е(а>, е[а) и ф(<7) и А, у, а, е. Для величин К, G(l) и G(2) полу­ чены [46, 47J формулы

34

( 1- 112)

Из выражений (1.43) и (1.112) находим представление коэффициентов К", G(1) и (J 2) через инварианты е(а), е\а), ф<0), Д, у, а и е. Соотношения (1.43), (1.112) и (1.109) уста­ навливают соответствие между представлением (1.107) и представлением Л. А. Толоконникова. Аналогичным обра­ зом, используя результаты, приведенные в параграфе 3 настоящей главы, можно выразить величины <pm (1.107) через любые системы инвариантов тензоров напряжений и деформаций. Однако это не значит еще, что соотношения (1.107) связывают компоненты тензоров напряжений и де­ формаций, пока не заданы зависимости между инвариан­ тами соответствующих тензоров. Если задана одна зависи­ мость типа

ё* = ё*(е, ф); е] = е] (е, <?„ ф); ф* = ф* (<?, <?„ ф);

или им подобные, то можно считать, что величины <рт (1.107) являются функциями определенной системы инваиантов тензора деформаций. В этом случае выражения ?1.108) представляют собой соотношения между компонен­ тами тензоров обобщенных напряжений и деформаций

35

Грина. Поскольку, используя результаты, описанные в § 3 настоящей главы, можно перейти к любой системе ин­

будем рассматривать как основное соотношение связи ком­ понентов тензора обобщенных напряжений и тензора де­ формаций Грина. Заметим, что изложенный в этой главе материал дает возможность любую зависимость предста­ вить в форме (1.114) для изотропного однородного тела при различных постановках задач.

Если тело гиперупругое, то из (1.91) и (1.114) получим

тельно упростятся, если принять, что девиаторы соответст­ вующих тензоров подобны, т. е. фаза подобия равна нулю.

г Аналогичные соотношения можно привести для изотроп­ ного однородного упругого несжимаемого тела.

§8. Упрощения для случая малых деформаций

■Проведем кратко упрощение основных соотношений

[35, 39], когда относительные удлинения Ет = Кт — 1 (1.12) и сдвиги ф„т (1.13) — малые по сравнению с едини­ цей величины. Согласно (1.12) и (1.13) получаем, что и ком­ поненты тензора деформаций Грина также являются маЛы­

36

ми величинами по сравнению с единицей. Из соотношений (1.14), (1.15), третьего (1.33) и (1.50) находим

V /V « 1;

(1.118)

А ~ emm = Л1 = -g- (/j 3) = Ег — Зе.

Учитывая (1.118), приходим к выводу, что все результа­ ты предыдущих параграфов для сжимаемого тела остаются в силе, если убрать индекс «*» и не делать различия между размерами тела до и после деформации. Поскольку изме­ нение объема теперь уже связано с первым инвариантом, соотношения (1.76) теряют смысл. Формулировка основных соотношений для несжимаемого тела с учетом рассмотрен­ ных упрощений изложена в работе [11. При этих упрощениях величины К* и G* приобретают ранее указанный физи­ ческий смысл, а значения величин б'Л и б7 совпадают. Основные уравнения движения (1.64) и граничные условия (1.65) остаются такими же, необходимо только возле всех входящих в эти соотношения величин убрать индекс «*». Сохраняются также и выражения для компонент тензора деформаций Грина (1.8) и (1.10).

Дальнейшие упрощения связаны с предположением о малости по сравнению с единицей не только относительных удлинений Ет и сдвигов <pnm, но также и углов поворота, определяемых параметрами со,,, (1.10). Если считать, что епт (1. 10) — величины одного или более высокого порядка

малости по сравнению с агт, то для компонент тензора де­ формаций Грина с рассматриваемой точностью из (1.10) получаем

С такой же точностью из (1.64) находим уравнения дви­ жения в виде

Аналогично упрощаются граничные условия на части поверхности

Для получения соотношений (1.20) и (1.121) было ис­ пользовано следующее преобразование:

37

Заметим [131, что для получения соотношений (1.119) — (1.121) пренебрегали величинами епт по сравнению с о*. Следовательно, в случае определения величин <оА через перемещения необходимо учитывать, что епт& 0. В резуль­ тате получаем два представления для tom„:

§9. Основные соотношения

вкриволинейной системе координат

Для формулировки основных соотношений в произволь­ ной криволинейной системе координат целесообразно ис­ пользовать тензорный анализ. Поскольку в большинстве работ по трехмерной теории упругой устойчивости при конечных деформациях, выполненных с применением тен­ зорного анализа, используются обозначения, принятые в работах [61, 63], то здесь и в других случаях введем обозна­ чения, близкие к обозначениям [61, 63]. Кроме координат

и л т (1. 1), введем криволинейную систему координат 0,, которая связана с координатной системой хт

= (01. 62. £>■>)• (1-124) Заметим, что координаты 6т также являются лагранже-

выми координатами.

Положение точки до и после деформации определим соот­

ветственно вектором г = г (0!, 02, 0д) и R — R (0lt 02, 03, т). Тогда базисные векторы и метрические тензоры запишем в форме

dGu detlia

38

Вектор перемещений можно выразить одним из следую­ щих способов:

Рассмотрим все результаты, относя величины к разме­ рам тела до деформации и используя метрические тензоры координатной системы 0,- в недеформированном теле. Ковариантные составляющие тензора деформаций Грина пред­ ставим в форме

2etJ = 4,ut + V.u/ + VyunV,un = Gi, — gth (1.127)

Инварианты тензора деформаций Грина, соответствую­ щие (1.33), найдем по формулам

Если определить напряженное состояние при помощи симметричного тензора обобщенных напряжений S1', вы­ числяемых на единицу площади в теле до деформации, то уравнения движения будут иметь вид

где X ’m составляющие объемных сил, отнесенных к едини-

тим, что в работе 1631 используются объемные силы, отне­ сенные к единице массы.

Граничные условия на части поверхности 5 , в напря­

где P*m— составляющие поверхностных сил, действующих

составляющие орта нормали к поверхности тела до дефор-

мации N * Ntgt.

Граничные условия в перемещениях на 5 а, смешанные граничные условия на S 3, а также условия для динамиче­ ских задач формулируются по аналогии с (1.59) — (1.63) и

( 1.66).

39

Для гиперупругого сжимаемого и несжимаемого тела

Тензор {т^} симметричный, компоненты его измеряются на единицу площади деформированного тела.

Компоненты х‘< часто используются в литературе при исследовании линеаризированных задач. Отметим, что ре­ зультаты, приведенные в параграфе 3 данной главы, оста­ ются в силе и для криволинейных систем координат.

$ 10. Заключительные замечания

В настоящей главе изложены основы теории упругости конечных деформаций, главным образом без использова­ ния тензорного анализа. Для общности в параграфе 9 приведены основные соотношения теории упругости конеч­ ных деформаций в криволинейной системе координат с применением тензорного анализа, хотя при решении рас­ смотренных во второй и третьей частях задач тензорный анализ, как правило, не используется.

При дальнейшем изложении все результаты будут по­ лучены для общего случая упругих тел без задания кон­ кретной формы упругого потенциала для гиперупругих тел и формы функций ц>т (1.114) для общего упругого изо­ тропного тела. Единственным требованием будет диффе­ ренцируемость определенное число раз указанных выше функций.

При нахождении числовых результатов для конкретной формы связи между напряжениями и деформациями сле­ дует учитывать, что даже для общего упругого тела, для которого условие существования упругого потенциала не­ обязательно, все же существуют ограничения и требование

40