книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях

трансверсально-изотропного тела, ось изотропии которого совпадает с осью ох3, и изотропного тела. Для трансвер­ сально-изотропного тела упругий потенциал зависит от ал­ гебраических инвариантов А и Л2 и Л , тензора деформаций Грина и величин Л4= /4 и Л5 зз /5 (1.78), для изотроп­ ного тела — только от алгебраических инвариантов А и Л2,

51

.-.В формуле (11.35) компоненты Лг„ар определяются из

выражений (11.34).

Для изотропного гиперупругого тела выражения (11.34) и (11.35) упрощаются и принимают вид

Atfnap = (6а/ 4* Ыа,/)|®/Р ^0 + ^0 + Звдв/р ~^о"| х

тропного упругого тела, уравнение состояния которого имеет вид (I.H4). Линеаризируя (I.H4) и учитывая выра­ жения (II.3), (II.4), (II.26), (II.28), находим

^/nap — (6а/ 4* ,/) (6p/6pi 4* 2ер/бр2 4* Зер„е9;6рз) (6,n6/i 4*

+ 6/п6/2 + е«(е*„6/з) — J 4- (6а/ + ua.;) [(6rtp6,/ 4-

+ 6,р6„/) ф° 4- (6„ре° 4- 6п;е9р 4- 6(/е^„ 4- 6(.pe9n) Ф3],

Если в (11.38) и (11.39) принять (1.115), то получим вы­ ражение (11.36) и (11.37) для гиперупругого тела.

Рассмотрим упрощения для случая однородного началь­ ного состояния (II.7). Уравнения состояния для транс­ версально-изотропного гиперупругого и общего упругого

52

изотропного тела при этом можно записать в форме

oin = ^inO-ik^iMk.k "Ь (1 — 6,п) рг„ {^kjUi n -f- KnUni), (jSi.n). (11.40)

Учитывая выражения (II.7), (II.11) и (11.40), из соотно­ шений (11.34) для трансверсально-изотропного гиперупру­ гого тела находим

йгк= [~щ+^-,>-^+3 (-V-)e

Заметим, что согласно результатам гл. I при любой по­ становке задач осуществлен переход в коэффициентах урав­ нений состояния к алгебраическим инвариантам тензора деформаций Грина. Следовательно, приведенные в данном параграфе коэффициенты уравнений состояния для возму­ щений являются общими для всех постановок задач.

53

§ 5. Определение коэффициентов уравнений состояния для несжимаемого тела

Для несжимаемого гиперупругого анизотропного тела

В выражениях (11.43) и (11.44) компоненты Л*„ар тен­ зора четвертого ранга определяются по (11.32), а компонен­ ты V/nap из формулы

v/nap — Snptfia {(бз^Ч~ 2ез?) [(бей Ч- Ma,2) брр Ч-

4 “ (бар Ч* иа,р)брг] 4“ (бгр Ч" 2е2р) [(баз 4“ иа,з) б<$ -J*

Ч" (бае Ч" ua,q)брз1) — Gnpifol2 {(бзрЧ" 26^) [(6ai -J- Ua i) брр-f-

Ч* (бар Ч" Wa.p)6pi] 4“ (6ip Ч* 2в[р) [(баз Ч* Иа,з) бр^ Ч*

Ч" (бае Ч" ua.q) брз]}Ч~GnpifolZ {(629 Ч" %e2q) [(ба1 Ч" ua.l) брр -f- Ч* (бар Ч~иа.р) 6plJ Ч* (®1р Ч* 2б1р) [(ба24“ Ыа.2) брq Ч~

видом начального состояния и формой упругого потен­ циала.

Рассмотрим упрощения, которые возникают для транс­ версально-изотропного тела с осью изотропии, совпадаю­

где А г и А 2— алгебраические инварианты (1.30) тензора деформаций Грина: Л4s= /4; А ъ= / Б.

Таким образом, для трансверсально-изотропного гипер­ упругого несжимаемого тела величины A./nap (11.43) опре­

54

деляются по формуле (11.34), если в последней вместо Ф°

ввести Н7° и учесть, что W* не зависит от А%. В этом случае для нахождения к,тар (И.44) получаем формулу

Я/map — Фтп Ч* ^т,п) (Я|лар Ч* P°'v/пар) Ч* бат |®«р ^0 ь

Ч- 2е%— Ч- 6,з6рз— Ч- 4 - Ке°з Ч- е§|) (бд6р1 Ч- б/^рз) +

Ч- (е°з Ч" 632) (б,з^р2Ч- ^гбрз)]- j y j W° Ч- ^arnffiGo1. (П.47)

В выражении (11.47) величины Я/пор вычисляются по из­ ложенному правилу, а

Вслучае изотропного гиперупругого несжимаемого тела

вприведенных выше соотношениях необходимо учесть, что

W0 не зависит от А° и А\.

Рассмотрим упрощения, которые возникают для транс­ версально-изотропного гиперупругого несжимаемого тела для однородного начального состояния (11.7). Уравнение состояния в этом случае можно записать в виде

Оin = ^inOlk^ku k,k Ч- (1 — ®/л) Pin Q*iUl.n 4“ Я„Пл./) Ч"

С учетом выражений (II.7), (11.11), (11.13) и (11.49) по­ лучаем

Заметим, что согласно результатам гл. I при любой по­ становке задач осуществлен переход в коэффициентах урав­ нений состояния к алгебраическим инвариантам тензора

55

деформаций Грина. Таким образом, приведенные в данном параграфе коэффициенты уравнений состояния для возму­ щений являются общими для всех постановок задач.

§6. Основные статические

идинамические задачи для сжимаемого тела

Учитывая результаты предыдущих параграфов гл. II, сформулируем основные динамические и статические линеа­ ризированные задачи теории упругости конечных деформа­ ций сжимаемого тела.

Граничные условия в напряжениях на части поверхнос­ ти Si

Граничные условия в перемещениях на части поверхнос­ ти Ss

Граничные условия в случае граничных динамических задач

Начальные условия в случае смешанных динамических задач

Компоненты toiinap тензора четвертого ранга опреде­ ляются по формулам, приведенным в параграфе 4 данной главы.

56

Выражения (11.51) — (11.57) исчерпывают постановку статических и динамических линеаризированных задач для

статических и динамических линеаризированных задач

§7. Основные статические

идинамические задачи для несжимаемого тела

Учитывая результаты предыдущих параграфов этой главы, сформулируем основные статические и динамиче­ ские линеаризированные задачи теории упругости конеч­ ных деформаций несжимаемого тела.

57

Уравнения движения запишем в следующей форме:

Граничные условия на части поверхности Sx в напря­ жениях запишем в форме

лостью исчерпывают постановку основных динамических и статических линеаризированных задач для несжимаемого тела. Так, статические задачи сводятся к (11.65) — (11.68) л (11.55), динамические граничные задачи — к (11.64), -(11.66) — (11.68), (11.55) и (11.56), а динамические смешан­ ные задачи — к (11.64), (11.66) — (11.68), (11.55) и (11.57). Заметим, что линеаризированные задачи для сжимаемого тела (11.51) — (11.57) сводятся к задачам для трех функций ит, а линеаризированные задачи для несжимаемого тела (11.64) — (11.68) и (11.55) — (11.57) — для четырех функ­ ций и1г и2, «8 и р.

Можно сформулировать задачи, используя несимметрич­ ный тензор напряжений Кирхгофа. Соотношения (11.58), (11.59), (11.68), (11.61) — (11.63) и (11.55) — (11.57) остают­ ся в силе, однако необходимо иметь в виду, что все входя­ щие в них величины определяются по формулам, приве­

.58

денным в § 5 гл. II. Уравнения состояния для этого случая запишем в форме

Таким образом соотношения (11.58), (11.59), (11.61.) — (11.63), (11.55) — (11.57), (11.68) и (11.69) полностью исчер­ пывают постановку основных статических и динамических линеаризированных задач для несжимаемого тела. Так, статические задачи сводятся к соотношениям (11.59), (11.61) — (11.63), (11.68), (11.69) и (11.55), динамические граничные задачи — к (11.58), (11.61) — (11.63), (11.68), (11.69), (11.55) и (11.56), а динамические смешанные за­ дачи — к (11.58), (11.61) — (11.63), (11.68), (11.69), (11.55) и (11.57). Заметим, что в этом случае условие несжимаемости следует брать в виде

§ 8. Упрощения для случая малых деформаций. Классификация задач

Рассмотрим упрощения, которые возникают при малых деформациях, и проведем классификацию линеаризирован­ ных задач по степени упрощения основных соотношений. Поскольку возмущения значительно меньше соответствую­ щих величин начального состояния, то, говоря о малых де­ формациях, автоматически следует считать начальные де­ формации малыми.

Вначале исследуем упрощения для сжимаемых тел. Если предположить, что малыми являются удлинения и сдвиги (первый вариант теории малых начальных деформа­ ций), то имеют смысл упрощения (1.118). В этом случае соотношения, приведенные в § 4 и 6 гл. II, остаются в силе, если убрать в них индекс «*» и не учитывать изменение раз­ меров тела до и после деформации. При дальнейших упро­ щениях, кроме предположения о малости удлинений и сдви­ гов, принимаем предположение, что начальное состояние можно определить по геометрически линейной теории (вто­ рой вариант теории малых начальных деформаций). Для второго варианта теории малых начальных деформаций необходимо во всех соотношениях § 4 и 6 гл. 11опустить ин­ декс «*» и не делать различия между размерами тела до

59

и после деформации. Кроме того, во всех этих соотноше­ ниях необходимо принять

Дальнейшие упрощения заключаются в том, что, кроме предположения о малости относительных удлинений и сдвигов о возможности определения начального состояния по геометрически линейной теории, предполагается, что углы поворота также являются малыми величинами по сравнению с единицей (третий вариант теории малых начальных деформаций). Для получения основных со­ отношений в рамках третьего варианта теории малых на­ чальных деформаций необходимо, кроме упрощений пер­ вого и второго вариантов, ввести еще упрощения типа (1.119) — (1.123).

Рассмотрим упрощения для несжимаемых тел [11. Огра­ ничимся первым вариантом теории малых начальных деформаций, поскольку переход ко второму и третьему вариантам аналогичен соответствующим переходам для сжимаемого тела. Для несжимаемого тела упрсхцение по­ становки задач усложняется тем, что для теории малых деформаций изменение объема уже не определяется третим инвариантом тензора деформаций Грина, а первым ин­ вариантом (1.118). Условие несжимаемости записывается для возмущенного состояния в виде

Здесь величина hnap, определяется по формулам (П.32), (11.34) и (11.36), причем в двух последних необходимо иметь в виду, что для рассматриваемого варианта упроще­

ний упругий потенциал не зависит от А° в силу условий

60