Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Расчет и оптимизация оболочек с резными срединными поверхностями

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

9.96 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Рассмотрим обобщенный функционал Кастильяно
K*(6J=к(0)-				_	1PUQ» » .V		/3 .3 6 /
определенный на мноюteen	векторов			б ,	удовлетворяющих гранич-
тве	векторов			б ,	удовлетворяющих гранич-
н т условиям /2 Л 0 / .					_
Здесь К ( б ) функционал Кастильяно; Д - матрица штрафных
множителей	о	о	о	о
h	о	о	о	о
О *1 о о о
А= О	о	Яг	о	о
О	о	О я*		о
о	о	о	о	*3J
1 , - т ,		>-Jh			e=KW, » =	A	T -
1 , - т ,					e=KW, » =	A	T -
Используя основное интегральное				тождество /Я Л 4 /,		получаем
уравнения Эйлера функционала /3 .2 1 /.				Кроме соотношений /2 ,1 7 /,

/2 .1 9 /, они содержат следующее матричное уравнение:

< Г Д * Д = Г ' ц ' .

Очевидно, что при Л оно совпадает с натриvttai урав нением равновесия /2 .1 6 /. Таким образом, максимизацию функциона ла мокно_осуществить на множестве статически полудопустимых век торов Q , удовлетворяющих только статическим граничит условиям.

Предположим, что известно поле истинных перемещений Ц° . Тогда введи* функционал


= (f( § ) - J	J (С,8 (РгХ'‘0еf >Щ 6 + Р ш .			/3 .2 7 /
Уравнения Эйлера этого функционала состоят из соотношений
/2 .1 6 /, /2 .1 7	/, /2 .1 9 / и	не зависят	от штрафного множителя Я.
В случае	однородной	оболочки и	непрерывно изменяющейся

внешней и краевой нагрузок для представления приближенного реше

ния на криволинейном четырехугольном элементе Q e /ркс.	3 .1 /
воспользуемся аналогично параграфу 3.1 ооотношением
6	/3 .2 6 /
Здесь
A ft#» W - • J»

t f - ] .

Выполним д м ее.	аналогично пар>аграфу З3 .Л1 , дискресизац»
функционала Ад и	получим систему линейных алгебраических

уравнений для определения неизвестных узловых значений усилий и мочентов.

Для исследования схемы ИЮ в усилиях рассмотрим тестовые задачи.

Пипер 3 ,2 . Границы пртенимости построенной схемы, хах и для случая в перемещениях, определяются отношением наибольше го и нааденыпего коэффициентов при разных членах основного


функционала /записанного в безразмерном				вед е/. Для обобщенного
функционала Кастияьяно тал ам		коэффициентами являются 1/&				и
A/D	. Омовение этих значений,		равное	XG/D , служит крите
рием	прдаениыости схемы в усилиях.
	Исследуем зависимость приближенного решения от штрафного
множителя А . Пусть сферическая			оболочка радиуса		R	на
ходится под внутренним давлением			р . В оболочке возникают
мембранные усилия Т= pR/2		. Так как		последние два уравне
ния равновесия из /2 .1 0 / удовлетворяотся				тождественно,	то	ь

обобщенном функционале Касткльяно рассматриваемой задачи отсут

ствует член		Л/D	. Таким образом, характер поведения					прибли
женного решения зависит				только от штрафного, множителя				А •	На
ряс.	3 .5 изображен график отношения приближенного решения к
аналитическому в зависимости ос X. Расчеты проводили на
ЭВМ БЭСМ-б /длина представления числовых данных равна 1 ,5									стан
дартного слова/ для			трех	значений	толщины ’ flj		в 0 , 4 ;	в	0 ,2 ;
ftj	- 0,0 4 и	параметров		оболочки	R = 1 ;	^ ■	0 .3 . Графики для
всех значений толщин в рамках заданного масштаба совпадают.
"Срывы” приближенного решения наступают при						А* 10		и не з а

висят от толщины оболочки. Это		объясняется тем, что отсутствует
изгиб, и толшигз	h является	общим множителем в обобщен
ном фунгцяпнале	Касмльяно для	©форы.

	Pro.	3 .5 .
Реши теперь задачу определенил напряженного состояния в
полосе-пластине /см . параграф 2 .2 / длины				Zt ,	жестко закреп
ленной по краям, находящейся под равномернда давлением						р .
В пластине возникают перерезываюшее усилие				Q=-/)o(y		и изги
бающий момент	М= (p/2)f(i j3)~сСi ) . Исследуем значения отно
шений Qn/Q' 100		/рис. 3 . 6 / к	MjM’fOQ		/рис.	3 , 7 / в
зависимости от штрафного множителя			А в	точке	dLj^i	,где
аналитические решения достиг® т максимального значения / I -
h - 0 ,4 ; 2 - ft - 0 ,2 ; 3 - / 7 - 0 ,0 4 /.
Графики	/рис.	3 .6 / свидетельствуют о		том,	что ".срывы*1при

ближенного решения наступают при А* 10е и не зависят от тодцинн оболочки; чего следовало ожидать, учитывая специфику функционала описанной задачи.

Аналогичные результаты подучены для моментов. При этом область допустимых значений штрафного множителя ограничена

сверху вн&чениеи А** 101 .
Исходя ив подученных данных можно предположить,			что	при
расчете ободочек по схеме	в усилиях /при точности длины			1,5
машинного .слова/ значение	л	не должно лревшать	10	т *

Пф-видимому, это значение определяет границы применимое** схе мы в усилиях и при условии, что изгибное и мембранное состояние не разделяются. В этом случае необходимо выполнение

Рис. 3.6.

ftic. 3.7.

Интересен также способ приближения численного радения к аналитическому с увеличением штрафного множителя Л . При. малнг значениях Л получаем решение, близкое к тождественному ну ле. Зтот факт обусловлен тем, что в данном елудав вес слагае мого со штрафом малый. Следовательно, уравнения равновесия

удовлетворяются плохо, и максимум обобщенного функционала		близок
к максимуму функционала Кастильпнс без	штрафа. Последний,	как
известно, достигается-ка тождественном	нуле, С ростом Л уве

личивается вес штрафного	слагаемого и при X* * / 0 - 109 происхо
дит сближение численного	н аналитического решения задачи.

Пример 3 .3 . Сходимость схемы МКЭ в усилиях исследуем на примере задачи об упругом равновесии круговой цилиндрической

оболочки радиуса к “ / , длины	1 = 2	и толщины	fl=0,05 ,
находящейся под внутренним давлением. Края оболочки шарнир:о
оперты.
В процессе проведения вычислений для указанной задачи би
ло отмечено /как и для схемы в	перемещениях/, что		сходимость,
предложенной схемы зависит от	отношения	Л (т/д ,	с ростом кото

рого ухудшается скорость сходимости приближенного решения к аналитическому. Для повшения скорости сходимости используем технику сокращенного интегрирования, рассмотренную в параграфе

Э. 2 для схемы в перемещениях. Нетрудно заметить,	что член
\(cl6 v )4 ,(c i6 P )d p ,	/3 .2 9 /
где

отвечает по своей дифференциальной структуре сдвиговому слагае мому функционала Лагранжа. Кроме того, этот член имеет и макси мальный вес в функционале /3 .2 6 /. Таким образом, при вычислении соответствующих интегралов целесообразно использовать квадратур ные формулы Гаусса низшего порядка точности.


Отметим, что выражение /3 .2 9 /						включает два последних урав
нения равновесия. Отсюда следует не						только чисто внешнее сходст
во его	со	сдвиговые		членом функционала Лагранжа. Общим для них
является и		то, что		при переходе в уравнениях типа Тимошенко к
пределу, которьм являются уравнения						типа Кярхгофа-Лява, эти
члены устремляются				в коль.
В табл.			3 .2 приведены расчетные значения напряжений бц
в табл.	3 ,3		напряжений б^		на внешней поверхности цилиндри
ческой	оболочки. Как видим,				понижение порядка интегрирования ука

занных членов существенно удушает сходимость приближенного ре шения.

Прюер 3 .4 . Рассмотрим задачу о напряженном состоянии торои дальной .оболочки, находящейся под внутренним давлением. Решение ее подучено при следующих параметрах: радиус направляющей сен

d-i			6 J P
		2		3

8.0625	О	О		О	О	О
	8,7778	7,6275	7,5143		11,8499	8,624*.
0 ;i2 5	11,4444		10,76.47			11,4935
0,1875	10,6778	8,4298	10,9232		8,1283	10,7479
0 ,? 5	8,3896		9,2817			6,3833
0 ,Л 2 Б	5,7772	5,7521	6,8741		3,3416	5 7973
0,375	3,4775		4,4427			3,4763
0,4375	к	2,8081	2	4007	0,4996	1,7446
0 ,5			0,9219			0,5887
0,5625	-0,ЦВД7	0,5380	0,0078		-0,4401	4),0698
С)б25	-0)3686		-0,4367			-0,3694
О!6675	-0,4446	-0,6088	.4 ,5 4 3 2		-0,3614	“ ,4455
0 ,7 5	-0,3983		4),4470			Я
0,8125	-0 3043	-1,0116	-0	2610	-0,1762	-0,3025
0,875	-О 2109		4 )	0719		-0,2083
0,9375	-О 1458	-1,1253	-О,0631		-0,1044	-0,1446
1 .0	-0,1227		-0,1115			-0,1223

П р и м е ч а н и е : !			-	аналитическое* решение;					2 -	решение,
подученное па 8-пи		конечных элементах;				3 - на 16-ти		конечных
вхеыент&х; 4, 5 - аналогично				2 ,3 ,	но с	цривлечениеы		техники
сокращенного интегрирована к.
						Т а 6 л	в		ц а	3 .3
< *<				т	а '

8	2,0632	0,9057		1,5768		2,0332			2,0616
	Ж	0,3214		0,8404		0,0935			0,8346
И .- 8 Р				0,2119					0,0923
8 ;Г 5	-0,2852	-0,1866		-0,1449		-0,4570			-0,2057.
	Ш			-0,364В					-0,4196
0,3125		-0,2386		-0,4022		-0,3069			-0,4024
0,375	-0.3257			-0,3725					-0,3269
0,4375	-О 2292	-0,2293		-0,2869		-0,1449			-0,2280
h r	Ш			.-0,1917					-О ,1415
		-0,1396				- 0,0200			Ш
	-О 0271			-0,0004
,6875	- 0,00001					0,0180			-0,0003
0,75	0,0128	-0,0480		W					8;olio
W	О 0159	4),0204				0,0109
	8 ;Г			м .					ж
0)9375		0,0				О
1 .0	0,0			0,0					0 ,0
П р и м е ч а н и е ;			1 - аналитическое решение; 2 - реше
нье, порученное на 8-ык конечных элементах; 3-на							16-		1»	конечных
еламенейvex;	4 , 5 »	аналогично		2, 3,	но с при)влечением				техники

с»’ граг,е:«эго i<hWjMpoBriiiift

тора	/? =	1 ,5 ; радиус образующей			Г	= I ; толщина		fl. =	0,06,
коэффициент Пуассона			V =	0,3 . Использовалась техника еокра-
щешюго^интегрироввния. Значение штрафного множителя									Л рав
но	10* .	Вследствие наличия плоскости симметрии рассматрива
ли только		половику тора. В табл.			3 .4	приведено значение напря
жения		на внешней поверхности тороидальной оболочки
вдоль образующей от			внутренней ее		точки к внешней.
						Т а б л и ц е			3. 4
	ot i	_______________ .бн/Р					~	_______
		1	:	2		:	3	:	4
		52,6825		50,5244		48,7476		48,88266
«				44,6169		47,0863		47,59335
						43,2258		44,14636
0,569049		33,1288		37,4338		39,0163		39	36656
0,785396						36	5819	34,33469
0,901748				33,5659		33,2254		31	ЗИ81
1,178097						32,0497		31,27191
1,374447		21,0779		25,5160		31,7215		31	£1166
1,570796						26	9699	28,13678
1,767146				19,2941		21,0488		23,72920
1,963495						19	5206	20,56905
2,159845		20,2552		18,3734		18,5372		19,54124
2,356194						18,7853		19,70805
2,552544				19,1799		19,6006		20 ОЗОН
2.74В894						20,3096		20,11891
2,945243		19,9592		19,8404		20,2766		20,04510
3,141593						20,0110		20,00391

П р и м е ч а н и е : 1 - решение, полученное с использо

ванием двух конечных элементов, 2, 3 - ч евд ех л восьми элемен тов соответственно; 4 - полученное на основе теории Кирхгофа-Лк-

ва в С88, 8 9 у .

Анализ решений подтверждает сходимость' и достаточную точ ность предложенной схемы.

Сравним схемы в перемещениях с рассмотренной схемой. Если пределы применимости первой определится отноиением Gfj) , то для другой таким отношением является ЛG/D, что ка четыре по рядка больше. Таким образом, при расчете оболочек в рамкех схемы МКЭ в усилиях необходимо проводить. вычисления с большим количеством знаков мантиссы, чем При расчете п перемещениях. Этоявляется главньм недостатком такой о х о т .

Преимуществом схемы в усилиях является бол^е высокая точность приближенных значений напряжений. Иллюстрацией этого

служит табл. 3 .5, где приведены значения напряжения	на
внешней поверхности цилиндрическойоболочки.

л <	;—		~^W
л <	;—
8>0625;°г	0,0	4,347	1,904		0,614	0,0	0,0
8>0625;°г	8,7781	9,453	7 839		9,256	И ,851	8,824
0,125	И . 4444	9,453	12,57В		11,691	И ,851	11.452
0 J 1875	10,8778	10,076	10,513		10,766	8,134	1 0 ,/4 0
О 25	В, 3896	10,076	8,459		8,387	8,134	8,386
0,3125	5,7772	3,821	5,867		5,730	3,341	5,796
О, J75	3,4775	3,821	3	259	3,417	3,341	3,467
0,4375	Ж	-0,141	I	845	1,687	0,500	1,744
0 ,5	Ж	-0,141	0,416		0*550	0,500	0,590
0,5625	-0 0657	-0 .272	-0,012		-6 .9 5	-0,440	-0,069
0,625	J0\|3666	-0 .272	-0,446		-0,386	-0,440	-0,369
0,6875	-0,4446	-0,509	-0,428		-0,453	-0,361	-0,446
0*75	-0,3982	-0,509			-0,401	-0,361	-0,397
0,8125	-0,3043	-0 ,?1 3	-0,199		и >;зо з	-0,176	-0,302
0,875	-0,2109	-0 ,?1 3	-0,199		-0,208	-0,176	-О 208
0^9375	-0Д 458	-0,044	-0,152		-0,142	-0,104	-0,145
1*0	-0,1227	-0,044	-0,105		-О, И В	-0,104	-0Д 22

П р и м е ч а н и е ;		1 -	аналитическое решение;		2	- реше
ние на 6-ми конечных элементах по				схеме в перемещениях;		3 ,4 - на
1 6 -ом и	32-х элементах по схеме		в	перемещениях, 5, 6	-	на 6-ми
и 16-ти	элементах по схеме	в усилиях.

Как было отмечено в параграфе Э .З, схема ЫКЭ в усилиях имеет ?о преимущество, что с ее помощь» можно более точно опре делить интересующие нас в конечном счете усилия и моменты. Но она не лишена и недостатков, связанных,в частности, с выборок Я ,

Избежать этого можно, зная поле истинных перемещений U . Тогда при любом Я максимум фуншионала / 3 .2 7 / на множестве стаг тическк допустимых функций О сообщает истинное решение О °

Комбинированный метод перемещений и усилий включает сле дующие моменты. На первом шаге определяем поле перемещений в

ободочке.		Подставляя полученные аппроксимацф^							ип в функцио
нал /3 .2 7 /		на место истинных перемещений						U ,	приходим к воз
мущенному функционалу					Яд	. Из условий максимума функционала
	на пространстве конечне-злец^нтных аппроксимаций поля
1татнчеехц^ролудопустимых усилий О							находим приближенное
реыенпе	(Э .		Отметим,		что	при Я —* * 00 член			Д U умень
шается	по	сравнению с		Р . Таким образом,				при вычислениях на
ЭВМ параметром			Я	можно регулировать			степень		возмущения функ
ционала.
Реализация			предложенной схемы усложняется						тем,	ч*о необхо
димо реле.ть последовательно две задачи:							определять			конечно-
ол'^энтпую аппроксимацию поля перемещений								и ”	и по нему

шпроксииацюо	поля усилий (Э ^ . Но при этом нет необходимос
ти устремлять	X в бесконечность, что повышает устойчивость

счета на ЭВМ и расширяет границы применимости предложенной схемы» Ццея использования другого функционала для нахождения

поля усилий предложена ъ f					94 J t где			О л		определяем из воз
мущенного функционала Ройсенера.
	Пример 3 ,5 ,		В	табл.	3 .6	приведены результаты значения
напряжения			на внешней поверхности задачи о напряженном
состоянии цилиндрической оболочки,							описанной вш е .
									Т а б л и ц а			3, 6
	<*1	:---- f		г		б « / Д
8											5 .
	,0	0,0		1,904		0 .0			0 .0	0,0		0,0
	,0625	8,7781		7,839	8,122			в ,$96		8,801		8,231
0	125	И , 4444		12,578	10,306				,435	11,443		12,100
		10,6778	10,513		9 453			Й 696		10,713		10 509
0,1875
О	25	8,3896		8,459	7,318			8,370		8,375		8,456
0,3125		5,7772		5,867	5 133			5	773	5	776	5,841
0,375		3,4775		3,259	3	339		3,461		3,463		3,301
0,4375		1,7427		1,845	2,131			1,735		1,740		1,839
0	5	0,5933		О 416	1,441			0,586		61506		6 436
0,5625		-0,0657	- 0,012		1,143			-0*070		4),071		4),008
О 625		-0,3686	-0,446		1,100			-0	369	-0*369		4),444
0,6875		4),4446	-0,428		1,188			4 ), 445		-0,445		-0,425
0,75		4 ), 3982	-0,412		I	330		-0,396		4 )\| 396		-0,416
0,8125		4 ) 13043	-0,306		1,469			4)	303	-0,303		4 ), 304
0,875		-0,2109	-О 199		1,581			-0,209		-0,209		-О 203
? :Г б		-0,1458	-0,152		1,650			4 ), 144		-0,144		-0,153
		-0,1227	4),105		1,674			1:Р		-0,121		-0,109
				0)б07	1,225					0,012		О 229
	П р и		а	н	1 - аналитическое решение; 2 - реше
ние МКЭ на 16-ти			элементах по схеме				в	перемещениях; 3,				5 -

В последней строке таблицы приведена среднеквадратичная погреш

ность )\| 6 jj - б %\|\|	. Она характеризует точность полученного
приближенного решения.

3 .5 . Суперэлементный подход к расчету составных оболочек

Расчет составных конструкций 1№Э сопряжен с решением систем линейных алгебраических уравнений больших размерностей, матри цы которых ниепт значительную ширину ленты ненулевых элементов. Это представляет определенные трудности, обусловленные ограни чениями на объем оперативной памяти ЭВМ п сравнительно малой скоростью обмена о внешней памятью. Их можно избежать, предста вив матрицы разрешающих систем уравнений в виде суперпозиции матриц, сформированных для отдельных частей составной конструк ции. В данном параграфе огмсан алгоритм решения систем алгебраи ческих уравнений МНЭ, в котором полная матрица конструкции не формируется

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

Предположим,

что

ааполнение матрицы

таково,

что_все

5$ ненулевые элементы можно выписать в

веде двух матриц

Кг

значительно

меньшей размерно сук,

чем размерность матрицы

. Цусть_размер£рсть

матрицы К

равна

П ,

а размернос

ти матриц

Кг

равны

/1, и

Пг

соответственно. Ясно,

что

П1+ Пг>П

но

если

П/ * £ • ,

Hzvjr

и объем _

оперативной памяти_ЭВМ не

позволяет вместить

в нее матрицу

а матрицы

К1

Кг _там

вмещаются,

то очевэднн преимущества

расчленения матрицы

Пусть эли4онты матрицы’			К
0	(м Е 3jl			е 321)
О, ОСУ»!	(м Е 3jl	к	/	е 321)	•™
к/л, *сга	(т &	и	j	& 3f)	или
		n - it .
*mf< Kfr, если	[ШС-Зц e j c			J2)	ИЛИ

jeO A.

- / « Й

»-i*. i - ii,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги