книги / Расчет и оптимизация оболочек с резными срединными поверхностями

С этой точки зрения

весьма удобно рассматривать новый

класс

оболочек с резньыи

поверхностями, включающими, как у с т ­

ные

случаи, многие известные ободочки канонических форм. Пря­

/подобластей/ в

плоскости

Е2 ,

отнесенных к ортогональным

криволинейна* координатам о ( # ,

cCgi

*

Рассмотрим составную

оболочку,

срединная поверхность

О пкоторой представлена в ви­

де Объединения поверхностей 0^.*

(HJ Oi

. Каждая из

поверх­

ностей выбирается как резная поверхность /см . параграф 1 .1 /.

Они являются образом Q j

при некотором, отображении

ви­

да /1 .2 /

£2i-*+~0i. Толщина оболочки задается набором функций

hifaiitctsi)

•

В качестве математической модели,

описывающей напряженно-

деформируемое состояние оболочек,

выберем сдвиговую модель типа

Бмошекко.

Обозначим части границы оболочки,

на. которых, вадакы крае­

вые усилия и краевые перемещения,

черва

Г / ,

еоответот-

Л

“ foiict-a,o lg i) , • . . , / ? / } (cLjntoCgff

f

<<рииадлежащую области

поиска

ds{k'. hi

Д Г .-« Ж*

i-iajs.e/

Обозначим через

множества номеров подоблас­

тей

&j

, в которых учтены соответственно массовые»

жестноспше

и прочностные характеристики. Далее для подобластей

£2^ ,

i

Мо* №$ введем некоторые

скалярные функции от перемещений

Tiiull‘)

и напряжений

Qi(6 ±(cL^tcLgi)).

Критерием оптимизации служит один из следующих функциона­

лов,

определенных в

области

Ъ

а /

объем материала или масса

конструкции

teMf Ju(hi) I

/5 .9 /

б/

функционал от перемещений

J2(h)s max

max U(UM)i

/5 .1 0 /

l**t

fii

в /

функционал от напряжений

J3(h h

max

max gt (6 ±).

I * * ;

Hi

/5 . И /

Учитываем следующие ограничения на характеристики обадоч-

кн:

JiM

4

я

J T 4

* о ;

/5 .1 2 /

i e y / ;

/5 .1 3 /

v 2i _

=

г 0

" / * 0 ,

t ^ n y ,

/5 .1 4 /

O

ftfl

»|0w j f

И*

Допустимые значения.

Jf .

*>2£.

'/у/

“

Задача оптимизации

зам ечается в определении функции управ­

ления

Л * ив условия

минтума функционала

Jo(h) **

(ft)*

К £ {1,2,3 j

/5 .1 5 /

при ограничениях

#

V/i<0, /*{12,3}, /Фк,

/ 5 - 16/

Наряду с задачей условной

оптимизации /5 .1 5 /- /5 .1 6 /

поста­

вим также обратные задачи /"5 8 J,

состоящие в определении тако­

го закона изменения толщины Л

« для которого удовлетворяются

условия /5 .1 6 /. При этом целевую

функцию /5 .1 5 /

не рассматри­

ваем.

Наедем решение задачи /5 .1 5 /- /5 Л 6 / в

конечномерном

про­

странстве управлений. Аппроксимируй тощину оболочки

(ы-аЛп

в каждой из подобластей

, 1=1,П полиномиальным функциями

(d Ht dziL

При этом по некоторому набору узловых значе­

ний толщин

hsi

higl] Tt-й подобласти

определим зна­

чение толщины

во

всей подобласти £2^

hsl~hsi(nitd.n,dzi^ в

Р0ЛИ

ввкюра Ъ

управляющих парамет­

ров выступает вектор узловых толщин

%-[Hf,...,Rn] T-[Zl........Z „]\

/5 .1 7 /

Ьринадлежащий области

поиска

ds = [% :z l< 2 t < Zf,

/5 .1 8 /

J0 ( Z ) - J K ( Z ) ,

К £ { 1 2 , 3 }

/5,19/

при ограничениях

j

V/i(2)<0, /£{1,2.3},

j*K , i c f f l ’/ . /

/5 .2 0 /

t. n H

r D' \4 aB'e'Ca>Ou'A,Ai ddudd.n -

Ш ) =

- J SM%A,A,ddLudcC,r\ (Si'U“>}T6?drf

/5 w

ftt

ПШ ul

ri°

на классе функций

и £п

* удовлетворяющих геометрическим

граничнш условиям на краях

Г^,

___

Произведем дискретизацию каждой из подобластей

1=1,П

ной сетки Q ? I

-

/Уу‘ Q ®. На границах каждого

четырехуголь­

ника выберем восемь узловых

точек: четыре в его вершинах и по

одной на каждой стороне. Затем

на каждом элементе

с помо­

щью биквадратичных

нэопараыетрических преобразований /см .п а­

раграф

З Л /

переходим от

переменных

сСц, cC^i

к переыеннш

I f I ^2 i

в

которых конечные элементы являются квадратами

* Нри этом

внутренность Q?

переходит во

внутренность квадрата,

а

узды элемента

U^

вершины и

середины сторон квадрата. Вектор перемещений

на каждом

конечном элементе будем аппроксимировать о помощью тех хе

биквадратичных функций

д

— е

'

'

ЬгЩу.

/5 .2 2/

Здесь

йц -

вектор искомых пер&дещений-угяов поворота в узле

}

«онйного

влаю нта

Q

| ;

Mj -

набор базисных функций..

Толщину ободочки

fl*i

на

каждом конечном элементе'

вьйирают постоянной

hf=h$t/оС^.оС^Точка (ctft tdLj j

преобразовании. Вычислив базисные функции

Nj

при ^

= О,

■

0 ,

получим значения координат

точки

где

/,

/

л

/ = М л в

элемента

Q fl

(оС/у, dtyj, / 3 7,

координаты узлов

,

Назовем суперэлементом

5 р

нулевого уровня

группу эле­

ментов /или

один элемент/,

образующих связное множество, на

котором ободочка имеет одинаковую толщину,

и их матрицы жест­

кости /№ /

можно обработать в оперативной памяти /СП/ ЭВМ.

Разобьем

каждую из подобластей

1ж1,П

на

супер - я

элементы

Sp

и произведем их нумерацию. Тогда

р =

где

Ml

-

количество суперелемеитов нулевого

уровня в данной**1

Просуммировав функционалы /5 .2 6 / по цупервлементам

Sf ,

придем к дискретнацу аналогу функционала анергия /5 .2 1 /

состав­

ной оболочки

L=qTKq-(iTPt

/5.эо/

где ф

-

вектор узловых перемещений-углов поворота в кон­

струкции;

А

- MX конструкции;

F

- вектор

правых частей.

При формировании /5 .3 0 /

сопряжение оболочек в суперуэлах,

лежащих на линии пересечения подобластей £2^

, .Q у ,

происхо­

дит путем перехода к общей,

связанной с линией пересечения обо­

лочек,

системе координат /см .

параграф 3 .3 /.

Записывая необходимые условия минимума

квадратичной фор­

мы /5 .3 0 /

относительно вектора

Ц ,

приходим к разрешающей сис­

теме линейных алгебраических уравнений с симметричной матри­

цей

_

_

K q=F.

/5*ззс/

Решение

/5 .3 1 / осуществлял! по схеме, описанной в

парагра­

элементами

Sp , р =

17В нулевого уровня являются

конечные

элементы со

значениями

толщин

tlpt

р * 1 ,8 . В третьей под­

области имеется два

суперэлемента нулевого уровня Sg ,

,

которые объединяют третий и второй конечные элементы.^Тоопцины

на суперелементах

Sg

, S%

равны между собой - tlgmh^o

Суперэлементц первого и высших уровней определяют таким обра­

зом, чтобы их Шможно было обработать в ОП.

MX и вектор правых частей суперелементов нулевого,уровня

представляем

в виде /5 .2 В /, /5 .2 9 /,

Их слагаемые Kpi,l(p3 ,FpofFp3

при первом расчете

записываем во ВЗУ. Далее на суперелементах

толщины

hp' С учетом

/ 5 .2 / , / 5 .3 /,

/ 5 .6 / , /5 .2 2 /

представши

вектор усилий-моментов

О

еулерелементов

черев узло­

вые значения перемещений-углов поворота

6 p = f f p y p ;

/ б . з г /

/?р - Й р й р # *Й р Й р г * Й ! Й рз,-

/Б ,3 3 /

пШ

пН)

К.Р

Rpj

"P i

h i> 2 %3. / 5e3^

9

п (*р)

j\w

[Яр

_

__

U}pj

J

8Kp*5Kpl

Здесь _ й - 1 ftp.^

у

=

2,3

- матрицы размерности

Rp\Rp} -

матрицы размерности

8*5Кр ,

относящиеся к

К-й*

точке

суперэлемента

5 р

,

в которой нычислптся напряжения;

Кр

-

количество

точек

суперэлемента

5р , где определяются

напряжения.

Учитывая представление / 5 .6 /

матрицы, заметим, что

в матри­

цах

ОД*/

ненуяевдаи являются только

первые три

строки, о ш е -

деляющие усилия

7у ,

7*g.

5

в

If—й точке. В матрицах

Кр*

ненулевые

только четвертая и пятая строки, с помощью которых

находят усилия

Q-f,

в

К-й точке. В матрицах

Rps нену­

левые

последние

три строки,

соответствующие моментам

в 0 К-й

точке. На основании этого образуем на суперелементах

Sp ,

рж1,Мбазисные

матрицы

Нр

,

не зависящие от

толщ -

При определении усилий-моментов

согласно /2 .3 2 / считываем

с ВЗУ матрицы

Rp

и вычисляв^ матрицы

путем умножения

соответствующих строц^матрицы

Кр

т

tip * Jlp •

~

Имея матрицы

Rр , несложно найти поля напряжений

6 р

/5 .7 / . В /С-й точке суперзлемента

Sр

компоненты вектора

* [6 jf,

* 6

21 >@13

] Гна. лицевых поверхностях

di3 =2± Лр/2

определяют соотношениями

в р '= а р 'ц р ;

/5.36/

8 $ ♦

i2 d 3 8%

м

п<*>=

B jg + 1Z d ,R $

1 2d J%

Up

i f e *

■

/5,37/

Пт I

P i

8 1*i

U

К1

gM

ps

](K

1,8 -

соответствующие строки матрицы

где кЛ1pi

np

)

/5.38/

при ограничениях

ifi(z)* О,

i'-УТет

/5.39/

и ограничениях на управляющие параметры /5.37/

Zy « Zy < Z

, ,

У-1 н.

/5.40/

Функциональные ограничения и ограничения на управляющие

переменные записаны отдельно в связи о раздичнши способами

ях учета.

_

__

Рассмотрим способ построения функций ft (2j,

i~ О, ffl.

В качестве целевой функции

lfo(Z)

выберем безразмерную функ­

цию,

подученную из /5.19/

где

f o i z h m

w . .

JQ - некоторое /начальное/ значение сдункционала JQ[t) .

Функцию

(2J , задающую ограничение интегрального ти­

па на объем материала /5.12/ запишем в виде

г* в

х ■ -

.

/читывать ограничения на перемещения и напряжения /локаль­

ного характера/ довольно трудно,

тех как их необходимо удовлетво-