книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости

Пособи по курсу творив упругости является переработанный и дополненным курсом лекций, пропитанным в Пермском политехпкпеском институте студентам специальности "Динамика и прочность мамин"• Однако пособие может быть полезно студентам друг*!?, спе­

циальностей, изучающим механику сплошных сред. Кроме того, изла­ гаемый курс лекций может быть использован инженерно-техническими работниками; занимающимися прикладными вопросами математической теории упругости.

Отв. редактор доктор техн.наук, профессор А.А.ПОЗДЕЕВ

Лит. редактор Н.Г.ВАЖЕНИНА Техн. редактор Г.Я.ШИЛОНОСОВА

Корректор Н.А.ТОЕШСКАЯ

Подписано к печати 1Т/-Ш-1974 г.

ЛБ 02070. Формат 60x84/16. Объем 13 п*л. Тираж 170. Заказ 88. Цена 3 руб.

Редакционно-издательский отдел ПЛИ Ротапринт Пермского политехнического института

П Р Е Д И С Л О В И Я

При проектировании и производстве отдельных уникальных из­ делии и изделий массового производства уменьшение ил веса слу­ жит поточиикон значительной экономим. Уменьшение веса может быть достигнуто в результате тщательного анализа напряженно-дефор­ мированного состояния отдельных деталей и узлов неделей. Без та­ кого анализа, вообще говоря, невозможно правильное решение це­ лого ряда технических проблей.

Знание полной картины распределения напряжений особенно занно при проектировании и отработке различных тепловых двигате­ лей, паровых.и разовых турбин, современных транспортных конст­ рукций, ракет и других машин и сооружений. В связи с этим воп­ росам экспериментально-теоретического исследования вапряхениодефориаровапного состояния (НДС) различных деталей ж узлов машин должно быть уделено самое серьезное внимание как при подго­ товка инженеров, так и в научно-носледоватедьской .работе.

В настоящее время наиболее полное представление об хахеверных методах расчета напряжений и перемещений в твердых телах оп­

графической редкостью. Кроме того, в них не освещены значитель­

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СЕН-ВЕНАНА, РАСТЯЖЕНИЕ И ЧИСТЫЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЯ

§ 1з1. Пр ш -ш и п Сен-Венана

Задача Сен-Бенана о равновесии упругого призматического стержня под действием произвольной нагруэки, заданной на его торцах, яв­ ляется одной из важнейших задач теории упругости, поскольку ее решение дает возможность оценить точность элементарной теории изгиба, рассматривавшейся в сопротивлении материалов, аГтакке позволяет исследовать проблему кручения' стержней, которая не. мо­ жет быть решена элементарными приемами. С математической точки зрения задача Сен-Венана решена далеко не полно. Однако в силу так называемого принципа Сен-Венана ее решение, излагаемое ниже, может рассматриваться (хотя и с некоторыми оговорками) как исчер­ пывающее.

Прежде чем сформулировать принцип Сен-Венана, кратко оста­ новился на полуобратном методе Сен-Венана. Пряная.задача теории упругости, т.е. определение перемещений и напряжений упругого тела по заданным внешним силам и условиям*закрепления, даже в линейной ее постановке весьма трудна,и в настоящее время нет зффектпвного общего метода ее аналитического реиения. Иными сло­ вами} сформулировав какую-либо конкретную задачу этой теории ма­ тематически, мы часто не имеем достаточных математических средств для того, чтобы ее решить, если не говорить о приближенных мето­ дах интегрирования или об использовании вычислительных машин. Однако поскольку всякая задача теории упругости является по су­ ществу физической задачей, к её решению уместно привлекать не только математические, но и физические соображения. Именно этим путем и было решено большинство задач теории упругости, представ­ ляющих наибольший практически» интерес.

Классическим тому примером является задача Сен-Венана, при­ менительно к которой этот выдающийся ученый прошлого века раз-

- 6 -

вид свой метод, подучивший название "полуобратного'ч. Сущность данного метода состоит в том, что. руководствуясь физический су­ ществом рассматриваемой конкретной проблемы теории упругости, предугадывают основные черты ее математического решения, прини­ мая те вдн иные качественные закономерности для перемещений ядм напряжений (идк для тех и других). Затем, пользуясь ут.е матема­ тическим аппаратом теории упругости, проверяют, не противоречат ли сделанные предположения соответствующим дпффорзгшиадьныи ураь» ‘Зчаям, иа которых затем находят количественные значения искомых

Важным вспомогательным средством для решении задач теории упругости (справедливым не только для линейных, но и для нели­ нейных за^ч) является тек называемый принцип Сен-Венава» З и т принцип утверждает, что.если некоторая совокупность внешних сил,

этих раяличных нагрузок будет (на достаточном удалении от моста ' приложения сил) одинаковые, т.е. поля напряжений, соответствую­ щие данным двум нагрузкам, будут отличаться друг от друга только

в непосредственной близости от района действия сил.

Прж атом под термином "малая площадка" следует понимать пло­ щадку, пренебрежимо малую по сравнению со всей площадью поверх­ ности тела. Наибольший ее линейный размер це должен существенно превосходить наименьмего характерного разнера тела (толщины, ес­ ли речь идет о пластине нди оболочке; наименьшего размера профи­ ля - если речь идет о стержне).

Принцип-Сен-Венана до сих пор не имеет исчерпывающего тео­ ретического обоснования. Существующие в этом направлении попытки посвящены преимущественно рассмотрению бесконечно большого-тела, не учаотке поверхности которого приложены внешние силы, распре­ деленные по тому иди иному закону,, Результаты исследований поз­ воляй! подойти к оценке погрешности принципа Сец-Венана приме­ нительно к массивным телам (т.е. таким телам, всэ размеры которые являются величинами одного порядка). Более труден вопрос об оцеиче этой погрешности при расчете напряжений в гибких телах (стерж­ нях, пластинах, ободочках), он разработав слабо. Ноэтому на прин­ цип Сен-Венана следует смотреть как на положение, зыдвивутое

Значавив .ьразиь-ы -эа-Вевана в Теории упругости состоит в

'том, что о» HUPB&W я :'V0KHi’B заданную аа ограниченной учаотхе чаверхноотк те«< и - : друге* негруэхо# (старчески эхвнва-

денткой предадуще^.. *"•о ю многих случаях эиа^гтедьно упрощает математическое ре*ег,:»г. задачи,

Принцип Сен- г-н ;р.в кох&о распространить и ча объемные силы, сформулировав его г«.акесли имеемся лэксторая система сил, рас­ пределенная в пръ.чдах' дг.огатс^ес ^ .oro объемного элемента тр да; те деформации ?«зв‘он'Ч№- твш п. силами, будут (1всп голо* рить о достаточно •ч '^ ж раостсявиях от.центра расоматрнвячмог объёмного' алойвята) ';-ов.мчЧтело oi/.ччаться от деформаций, нкк-Л&бой другой системе# сил» сткгнчеоки эквивалентной в р е д я ­ щей снотеме я расположенной в пределах того же элемента

ьАас|ф.ед^Дввнрмн

Требуется найти поло напряжений и деформаций в ^ й я а я г а с к о м стержне произвольного поперечного сечения, возяв1<яеи:а: п^д

пренебрегают. Данная задача теории упругое*^(в ужанавной общей

«о постановке) весьма трудна и до сих пор еще не рамена. К ее

- 8 -

компоненты главного вектора и главного момента данной поверхност­ ной нагрузки

-Ft mI f ? „ d s - f f f x d s ,

s S

Здесь за точну приведения берется точка пересечения, оси,,? с торцовой плоскостью Z = б , т.е. центр тяжести поперечного се­ чения; интегрирование же распространено по всей площади торца.

Главный вектор и главный момент сил, действующих на противополож­ ный торец <2 - О , однозначно определяются из условий равновесия стержня как целого под действием нагрузок, приложенных к. его тор­ цам. Если считать стержень достаточно длинный и, соответственно, площадь его торца малой по сравнению с боховой поверхностью, то воспользовавшись принципом Сен-Венана, можно утверждать, что все системы нагрузок, для которых правые части (I.I) одинаковы, бу­ дут вызывать в стержне (за жсключениаы районов, непосредственно прилегающих к торцам) одинаковые поля напряжений и деформаций.

Тон санки впзс'то заданной нагрузки можно рассматривать любую Другую* ай статически эквивалентную в выбранную хз соображений удобства решения задачи*

Для дальнейшего упрочения рассуждений можно, кроме того, эоелолъзоватъon принципов наложения, позволяющим рассматривать

сзершзя парами сел, прыяозепшши на его конце и, наконец, компо- . навте Ns « кручение стержня приложенной на его конце парой сил.

Таким образом задача Сен-Яенана распадается на четыре зада­ чи (на рио, 1.2 соответственно):

а) растяжение; б) изг иб парой; в) вручение;

г) изгиб поперечной силой.

Сформулированная в ш е {^прощенная задача Сен-Венана не толь­ ко проста, ко ■ практически целесообравнн. Деко в -том, что на

- 10 -

практике бывает чрезвычайно трудно выяснить истинный закон рас­ пределения сил на торце стержня. Выестэ с теп главный вектор и главный моиент сил, передаваемые на стержень, обычно известны с достаточной точностью.

Таким образом, даже если когда-нибудь ценою больших наганатических усилий удастся найти решение задачи Сен-Венана в общей ее постановке, то использовать данный результат будет почти не­ возможно. Большой заслугой Сен-Венана является именно то, что он поставил и решил свою задачу в строгом соответствии с требова­

ниями практики, сосредоточив внимание на главном и отбросив вто­

делением напряжений на торце, статически эквивалентным указанным

Проверка показывает, что такое предположение не противоре­ чит ви уравнениям равновесия, ни уравнениям совместности дефор­ маций, ни граничным условиям на боковой поверхности стержня. На торцах отержня, выполняются условие(1.2)и равенства