книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости

<4

■ V - ^ ’ - р ~

;

.(*.92)

HOCZQ оарйДбВвнйя

Л

я <? *s

условий

(4.91)

швом

г

а2

л

2

-г

d _ д.

/ У ~ Л - ^ д-р, - 6 p t

^г~ 6 e- *:i

г2

■

-б2-а--

’

(*.93)

, - _ а *6 * • - У - р, .

^

о - a 3

t 2 >

З г - а г

При редонвд гсой вадачя

мы сдвжаяв «допущение,

положив

вара-

рее б - и с ?

Цмея^грк пронэвсшьиыо постоянные

А, В

ж С

л

доа

усяовнс

(4*91)» ж когда бы'ронять

залату

а при других допущениях,,' Однако

tioseo

дававеаь*

что

действжтедьноиу

ззпчвпт

возражений

соответствует ре- ~

s$E.ae Ддае.

Особенность данной аадачк вахгвча-

еася

я том,.

чтЬ мы шеек дехо

6 двух-

.озювгк:

коптувок» воскольжу

сачопае ^

трубы

ограввчсно

двумя ваккпутшы

хрн-

вгкп,

so

аереовкаедшнся между собой.

Рнс. 4.13

При величин

д в у х т о м н о г о

XXH МВ0Г0СВЯ8—

□ого' понтура рененне еадачж,

вообще

говоря,

осложняется

■

воекожна многозначность раненая.

Это затруднение можно обойтж

двумя-способами.

-

Первый способ вопожьвуется

при решения

есдачи

в кареие-

щбнкяКо

хогда задача

сводкой

ж реневию дифференциального

уразнеыЕя

второго

порядна - отноохтеяьно

и .. В втом

одучае

в уразпопки (4*93) войдут мик»

две произвольные пботояниые,

определяемые

ив усжозпй (4.91).

Этот

.способ

обычно приводит-

оя в пупсах

оопротявхевяя материалов.

Второй оыоооб

можно

пршенжть

при р ен ет

вадачж i на- -

ного

уравнения значительно уже,

чем

класс

решения

уравнения

? г( * г + * в ) * 0 -

из полученного

уравнения

выпадут

решения,

не

соответствувдив

осесимметричной

задаче,

а

среди, них

находится

и

то,

которое

соответствует

значению

3

f- О.

§ 4.9. Сила, действующая на острие клина

Рассмотрю!

характерные

задачи,

для

решения

которых совершен­

но

исключаются

(хотя бы даже

в

качестве

попытки

первого'

приближения)

применение каких-либо

элементарных решений из

теории

сопротивления материалов.

Поэтому

приводимые

ниже за­

дачи' можно

считать классическими

в

теории

упругости [ 3] .

Рассмотрим *симметричный

клин,,

показанный

на рис. 4.1*.

Толщина

клина

в направлении,

перпендикулярном

к

плоскости

ху , примем равной единице. В

направлении

оси

ох

протя­

женность

клина

бесконечна.

На

.острие

клина

приложена си­

ла

Р , равномерно распределенная

по

толщине. Это

так

называе­

мая погонная сила;' ее

размерность

-

сила

на

единицу длины.

Случай

потери

упругой

устойчивости

ив

рассмотрения

исключав!

В этой задаче представляется абст­

ракцией как "сила на острие", тек

и бесконечная протяженность кли­

на. Однако

пользуясь

формально

репением

такой

абстрактной зада­

чи,

можно

перейти

к реальным за­

дачам

о действии

непрерывно рас­

пределенных

нагрузок

на

тело

с реальными

граничными условия­

ми (без острия, с конечной про­

тяженностью

и

т.д.).

В рассматриваемой задаче, ха­

рактерной для использования урав­

нений

плоской задачи

в

полярных

координатах,

также

неприменимо

элементарное

ранение

из

сопротИ'

дения материалов.

-

133 -

Предположим

сначала

(и это

окажется

верным),

что проис­

ходит простое

радиальное

распределение

напряжений; допустим,

что элемент

С

на расстоянии

г

от точки приложения

силы

Р

испытывает

простое*

радиальное

сжатие в радиальном направле­

нии. Это сжатие тем меньше,

чем больше

г

и чем больше

величина

г

отклонена

от линии действия

силы.

Другими сло­

вами,

пусть

cosд •

<6

,

(*.9*0

= - / < Р --- -----

где

.<

- определяемый

коэффициент.

Тангенциальное

напряжение

и касательное Zze

в этом'

случае для упомянутого элемента равны нулю. Докажем,

что

решение

(*.9*)

является

точным * и что

его

можно

вывести при

помощи

следующей

функции

напряжений:

- г в SCO с?.

(*•95)

Такая функции может быть

функцией

напряжений,

так как

она

удовлетворяет

уравнению

неразрывности

2 2. ;0 ,

(*.95')

где

д

+

1

д г

(*.96*)

' д ч 2

d z

г 1 ' д в г

Действительно,

J J L

= О,

/

д и

, 1

д 1и

_

кР

г дг * г г д в 2

--- cos в

д г г

г

и при подстановке (*.95) в (*.95') и (^.Эб') получаем тождество.

Напряжения

. _

/

д и ~

/

д , и

_ _

* Р

COS 0,

*

г

дь

гг

ао *

"

"

д-/1

ди

(*.96)

д гг

=0’

С<-{

дг 1' гZ дв ■

элемент a S ~ n о поверхности

(см., рис. 4.14).

( а б - /) а

В=С\ х.d в cos В .

Итак, имеем

/S pec s "В

Z CL В -

с\ = -

—

■ %

А

(при .х,- -- ) распределять

под некоторым углом; при ^ = — имеем

^

о

Р

'

е

.

" = ----

;—

= --------

.

W

*

JLi

r

t 5 7 x

Значит, для расчета можно принять условно, что груз J равно­

мерно

распределяется

на площадку длиною

около 1,6 х ;

это

соответствует углу

Р = 38°

(рис. 4.16),

*

*

Приведенное

решение

примени­

мо

и в

том,случав, если ось клина

IP

расположить горизонтально, а ли-

ицпптп)>7

\ Г77Т: ■■ п А ч

нию действия силы

Р - вертикаль­

\

но.

Значение* коэффициента К

в

этом случае определяется по_

формуле

/

е -------- --------- -

-\'с 7-Л>-

Рис. 4.J6

Это напряжение

вдвое

больше,

чем

напряжение

в.

центре

диска

без

отверстия.

Таким

образом, наличие

в

диске

отвер­

стия, хотя

бы малого, существенно

уменьшает

прочность

диска

вследствие

концентрации

напряжений

.у края

отверстия.

6

^

'

В

современной

технике.

вращающиеся

диски постоян­

ной

толщины

используются.

редко;

гораздо

большее

применение

находят

диски

переменной

толщины, убы­

вающей

от

ступицы

к обо­

ду. При

расчете

такого

диска

его

обычно

разби­

вают

на ряд концентричес­

ких кольцеобразных дисков,

причем толщину

каждого

из

этих дисков

считают

постоянной.

Если зависимость толщины диска от радиуса может быть

выражена

несложной

формулой,

то

целесообразно

решать

задачу,

непосредственно

для

диска

переменной толщины.

Другим практически

важным,

случаем

дисков

переменной

толщины является джек

равной

прочности,

в

котором