книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости

-

16Г -

Для получения отображения однолистной области на однолист­

ную,

необходимо

и достаточно, чтобы

( Ч

~/ ) а , +(aL2 ~0

а 2. *

- ^

а п

= Я-

Теперь,

если подставить

в выражение (5.13)

найденные выше

значения

а^

и

и выполнить

инверсию (положив —

- вместо ■<? ),

получим функцию

z = d ( ^ ) t

отображающую плоскость

с прямоуголь­

ным

отверстием

на внутренность

единичного

круга:

^

, .

г

/

а+а.

(a-af

з

(a2-a)(a-a.)

s

1

t <

2

2 i

в О

^

696

■, , r ,

I .

( 5 < н )

где

^

J-

2кЭи

_

-2KX-L

а =е

,

а =е

Поскольку

/а / =1,

то ряд (5.14)

сходится внёчале

очень

быстро

и мы всегда

можем

выбрать такое

число

членов ряда,

чтобы удовлетворить требуемой точности отклонения контура

отверстия от

прямоугольника.

При

отображении

внешности правильного

л

- угольника

на

внутренность ■ единичного

круга

отображающая

функция

записы­

вается при

/7

так:

Z

с ( ^

п (п Ч ^

-

л-2

2л ~/

772( 2 л - /)

*

(5.15)

(л ~ 2 ) ( 2 п - 2 )

in -t

(п-2 )(2 п -2 )(дп

~2 )

tn -f

где

2n3( 5 n - f )

*

/2л*(4л-/)

*

77 * 5, 4 ,

5 , •••

<2f = / ;

‘

-9

"

' •

а п

= е

= п ’

2

•’

77

-

число сторон правильного

многоугольника.

Из условия нормировки следует,

что 0о = 0 . Переходим в'

области

к полярным

координатам и, воспользовавшись формулой

Эйлеоа

п , L& \П

ГГ

.

(5 *1 8 )

^ = ( ъе

J •= г

(cos л&)+± л п л &),

перепишем

выражение

отображающей

функции:

(5.20)

£/= Z ZZ гп{ansij7 п & + 6n cos п&).

Обычно мы определяем коэффициенты

а

п >бп по заданным

координатам контура % ,у . Поэтому

нам

.необходимо обратить

уравнения (5.20); Для этого от бесконечной системы уравнений

перейдем

к конечной •(полиному

степени

т ). Разобьем окружность

/ $:/

на /77. равных частей

(рис. 5.IO).

ходят

значения

координат

точек

ха

яуд в первом приближении;

2)

подставляя

х0 , у р в

(5.23),

находят в первом прибли­

жении

коэффициенты А-

я д;

, а значит,

и отображающую Функ­

цию

-

У

/

'3) .пользуясь

этой

отображающей

функцией^в первом

приближении),

находят

координаты

промежуточных узловых Точек;

4)

сносят внекоктурные

промежуточные

узловые точки

но

одному

из

способов на контур отображаемой области и

снесенные точки принимают за исходиые узловые

точки при

построении

)во втором

приближении

и т.д., процесс повто­

ряют

до

тех пор,

пока

все точки не уместятся

на контуре

области.

Существуют

следующие

способы

сноса

внеконтурных узло­

вых

точек

на,-контур,

отображаемой

области.

1.

Снос

внеконтурной

точки

по

кратчайшему,

расстоянию -

по

нормали

на

контур.

Этот

способ

наиболее надежен,

широко

изучен

и применяется

"чаще других.

Большим

преимуществом

способа'

сноса

по

нормали является

то,

что

он может быть

сравнительно

просто

выполнен аналитически и, следовательно,-

запрограммирован-

на ЭВ1Л.

2.

Снос внеконтурной

точки

по радиусу-вектору, проведен­

ному

в

геометрический

центр

отобракаемой_ области.

В случае

графического

сноса способ

является более

простым

по выпол­

нению,

однако менее

целесообразным.

3. Способ сноса внеконтурных точек вдоль пряной, парал­

лельной лучу

наиболее простой, если прибегать к проз­

рачной

палетке-шаблону.

Иногда

при этом способе не выполняют

всей операции

сноса,

а пользуясь прозрачной

палеткой,

берут

отсчет координат . снесенной точки.

Двухступенчатый

снос

внеконтурных точек,

предложенный

П.ф.фильчаковым

и основанный

на результатах

сноса

в двух

предыдущих приближениях.

Он позволяет уменьшить

общее число

приближений итерационного

процесса

и сэкономить времн, необ­

ходимое

для

построения

одного

приближения. Двухступенчатый

снос удобнее

всего

применять

там,

где

при данном

т

два-

три шага

итерационного

процесса

не дают удовлетворительных

результатов.

Идея двухступенчатого сноса видна

из рис. 5.II.

~ж

ж

но нормали во втором приб­

На этом рисунке г п - Zn - снос

лижении; TLS - зьШ - снос по

методу

П.Ф.Фцльчакова.

В заключение описания методов

сноса

следует

отметить,

что

сходимость

итерационного

процесса

существенно

зависит

от ме­

тодики

сноса

приближенных точек

на контур;

поэтому,

чтобы ’для

конкретной области

выбрать

наиболее эффективный

способ

сноса,

иногда приходится опробовать

все перечисленные

выше способы. .

Однако,

как

уже указывалось,

самым

надежным

способом

яв­

ляется

снос

по

нормали

на

контур.

§ 5.9. Графический метод П.ВГ.Иедеитьева

В инженерной

практике

очень часто

контур

той'области,

на ко­

торую

требуется

отобразить

круг,

задается

графически.

По­

этому

применение

методов конформного

преобразования,

требую­

щих аналитического

задания

контура, становится

либо

практи-.

чески невозможным,

либо

требует

затрат

дополнительного

труда

на составление

его

уравнения.

Кроме* того,

если

уравнение

кон­

тура сложно,

то (хотя и применение

аналитических методов

остает­

ся в принципе возможны*)

выкладки, связанные

с

этими

методами,

оказываются

настолько

затруднительными,

что бывает предпочти­

тельнее

обратиться к

графическим

методам [20] . Тем более,

что точность

задания контура

графически

будет,

ло-видимому,

соответствовать

графическим

построениям,

связанным

с методом

П.В.Мелентьева.

6 *

Пусть

круг

единичного

радиуса

отображается на область

функцией

п=0

■с„ ша-п*£бп ■

Условия нормировки

(5.24)

(5.25)

Правая часть равенства

(5.24)

дает

п р и - ^ = 1

разложение

в ряд Фурье

вещественной

и мнимой

компонент

числа

Z

2 1 ]

/ я

со$(п+ /)е-6пs in (n +1)Э ^

,

п- О

L п

п

(5.26)

tлп(/?+

.

■у- TZ,\бпco$(n+l)e+a-n

/1=0 I

т

Для-удобства вычислений П.В.Мелентьев

предлагает рассматри­

вать

зависимость

не между

% ,у

и

в

, а между

в

и другими

величинами

-U

и

<Х %Поведение

функций

U

и & для» простых облас­

тей более

однообразно,

в

то

время

как для облаоти,

близкой

к окружности,

поведение величин

х

и ^-близко

к поведению -

тригонометрических

функций.

2

п

= —

- T Z C „ ^

(5.27)

1

<

/ 1 = 0

.

Чтобы

по. известному

2

найти

U

и

, надо из начала ко­

ординат

.провести

луч

под углом

в

и

из 2

на этот

луч

опустить

перпендикуляр.

Из рис. 5.12 видно, что,если

контур S

будет близок

к

окружности,

то величина U будет близка

к ра­

диусу, а

< >*0 „

- 168 -

Яри

/ = I из равенства (5.27) следует

u= т

( а п cosп в ~6П sin

Л в ) ,

/7

V

П

(5.28)

j = х и

(4

cos п в * ап s *n

п в -

п-0

На использовании двух последних

зависимостей и будут по­

строены

все вычисления.

Если

одна

из функций

известна,

то

ввиду

их сопряженности,

вторую мовно

определить

с точ­

ностью

до коэффициента

60 ;-последний

равен

сумме

всех

осталь­

ных Sv

, взятых с обратным

знаком.

тральный угол 2 Х

в плоскости 2

делят

на т

равных

частей.

Ваяв

для

соответствующих

значений

X

,

X

__

9=2— , к —

2Х

т

/п

одну

из

величин U или 2Г , например, U

будем

иметь

т

ип = £ 2

(ак cos ^ - n k - 6 K s i n l £ - nk).

(5 ,29)

169

и 6K t

Решая эти уравнения относительно коэффициентов

получим

Теперь по найденный

значениям

а л

и 5^ можно

найти

Ор

Общий

порядок построения отображений

следующий:

1.

Разбивают

центральный угол

2JC

в плоскости г

на т

равных

частей. Чтобы

привести функцию

в тригонометрическому

полиному,

нужно

иметь

ее

коэффициенты

Фурье,

а

для

это­

го можно

знать

значение

функции только

в некоторых точках.

2.

Находят в

нулевом приближении

значения

функций

V

и

должен

быть вычерчен

в

соответствующем

масштабе.

3.

По известным

значениям, например

£7, определяют по фор­

мулам (5.30)

величины коэффициентов. а п , 6п ■

4.

Коэффициенты

а п >6п

подотавлявт

в формулу

(5.31) и

находят

(?п *

(2П , графическим

5.

Получив

значения

путем определяют

новые значения

длн irm i

и продолжают

вычисления таким образом

до тех пор, цока

все

полученные, точки не улягутся

на контур

отображаемой

области.

&п равны нулю,

В

случае

симметричных

областей

члены с

поэтому

все

вычисления

значительно

упрощаются.

Общий норя-