книги / Теория упрочняющегося пластического тела

Отметим, что теоремы и следствия, установленные не­ посредственно для идеально-пластического материала, мо­ гут не совпадать с утверждениями, следующими из теорем и следствий для упрочняющегося материала при предель­ ном переходе к случаю идеальной пластичности (1.123), (1.124). Модель идеально-пластического тела, введенная непосредственно, обладает большим многообразием свойств, чем модель, полученная в результате указанных предель­ ных переходов.

ГЛ;АВА II

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРОЧНЯЮЩЕГОСЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА

§1. Общие соотношения и условия

Вэтой главе рассмотрены основные свойства уравне­ ний теории пластического течения, выведены соотношения на различных поверхностях разрыва и установлены усло­

вия существования этих поверхностей.

Анализ проводится в лагранжевой системе координат, деформации предполагаются малыми. Плотность сплош­ ной среды считается постоянной, условие сплошности обеспечивается непрерывностью перемещений.

Рассмотрим в сплошной среде некоторый произволь­ ный объем F, ограниченный поверхностью S. Пусть Ft — объемные силы, a p t = o^rij — поверхностные силы, rij — единичный вектор внешней нормали к поверхности 5.

Для того чтобы объем V находился в равновесии, необ­ ходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент всех внешних действующих на объем сил были равны нулю. Эти условия запишем в виде:

ность 2 разбивает объем V на две части Vx и V2. Объем Vx ограничен поверхностью Sx и 2, a V2 — поверхностью S2 и 2, S *= Sx + S2. Обозна­

чим через Oj\ и оji — предель­ ные значения функций ал на поверхности 2 со стороны объ­ емов Vx и V2 соответственно.

где vf — единичный вектор нормали к поверхности 2, на­ правленный в сторону объема V2.

После перехода от поверхностных интегралов к объем­

Так как объем F произвольный, то из соотношений (2.5) следует, что в областях Fx и F2 напряжения будут удовлетворять уравнениям равновесия

обращаются в нуль, а само равенство (2.6) будет выполне­

где /|f = d/W /d^.

Для упруго-пластических тел полные деформации складываются из упругих и пластических частей, то есть

eii — eij “Ь efjj — &ij + efy. (2.12)

Упругие деформации связаны с напряжениями зако­ ном Гука, который для тел, обладающих изотропными упругими свойствами, можно записать в виде:

где Л,, |д. — упругие постоянные Ламе.

Малые деформации выразим через перемещения по

Так как выбор объема V и части поверхности разрыва 2, по которой производится интегрирование в соотношении (2.26), произволен, то из равенства (2.26) следует, что на поверхности разрыва должно выполняться условие

а скачки их производных связаны с кинематическими и геометрическими условиями совместности г)

*) Вывод кинематических и геометрических условий совместно­ сти содержится в Добавлении.

Скачки полных деформаций складываются из упругих и пластических частей

Подставляя значения 1ец\ из (2.34) в (2.33) и учитывая, что для упругих деформаций и напряжений имеет место условие взаимности

Подставляя значение [cfijVi] Vj из (2.36) в соотношение (2.27), окончательно получим, что на поверхности разры­ ва должно иметь место условие

JP+

§ 2. Непрерывность напряжений и скоростей перемещений в упрочняющихся упруго-пластических телах

Поверхностью сильного разрыва 2 в сплошной среде будем называть поверхность, на которой перемещения не­ прерывны, а скорости перемещений и напряжения претер­ певают разрыв. В общем случае поверхность 2 может пе­ ремещаться в пространстве.

В дальнейшем поверхность сильного разрыва будем интерпретировать как предел тонкого сдоя при стремле­ нии к нулю толщины этого слоя, в котором скорости пере­ мещений и напряжения претерпевают быстрое, но непре­ рывное изменение. Наряду с 2 рассмотрим две движущие­ ся близкие поверхности 2 Хи 2 2, параллельные и отстоя­ щие от 2 по нормали на расстоянии V2 А. Предполагается,