книги / Теория упрочняющегося пластического тела

§ 11. Теория малых упруго-пластических деформаций

Деформационная теория, определяемая соотношения­ ми при нагружении

получила название теории малых упруго-пластических деформаций *).

Соотношения теории малых упруго-пластических де­ формаций при нагружении в ортогональной системе ко-

X^(ex—ev)2+(ev—,ez)3-f (^2—,ex)2 + 6(<?21/+ 4 2+<&)-

(4.161)

Вид выражений or,-, et обусловливается тем, что при одно­ осном растяжении цилиндрического образца вдоль оси

*) Как следует из результатов § 9 этой главы, соотношения (4.159) являются следствием соотношений теории пластического течения при гладких поверхностях нагружения только для жесткопластического материала при специальном виде нагружения.

z имеет место о* = crz, et = ez, ех = еу = — осталь­ ные компоненты напряжений и деформаций равны нулю.

Как было показано выше, соотношения теории малых упруго-пластических деформаций при определенных ус­ ловиях могут являться следствием теории пластического течения при гладких и кусочно гладких поверхностях

нагружения.

Нагружение, при котором направляющие тензоры напряжений и пластических деформаций фиксированы, имеет специальный характер. Однако положение упроща­ ется для несжимаемого материала в случае степенной

Тогда из условий равновесия следует, что внешние силы

Подобное пропорциональное нагружение получило наз­ вание простого нагружения.

Покажем необходимость степенной зависимости (4.162) при условиях пропорционального нагружения (4.164) и пропорционального возрастания деформаций (4.133).

Остальные четыре соотношения получаются из (4.166) круговой перестановкой индексов. После подстановки в (4.166) соотношений (4.159) с учетом (4.165) получим

где

» г - < м й ) « г .

Соотношения (4.167) должны быть выполнены при любом значении параметра а, следовательно, все коэффи­ циенты при ап в (4.167) должны быть равны нулю:

Предположим, что существует два коэффициента ар, aq (р ф q), не равных нулю, тогда из (4.168) следует

Уравнения (4.169) являются условиями совместности для компонент деформации, выраженных через напряжения согласно соотношениям

Аналогично уравнения (4.170) являются условиями сов­ местности для компонент деформации, выраженных че­ рез напряжения согласно соотношениям

Выполнение условий совместности (4.169), (4.170) обеспе­ чивает независимость законов упрочнения (4.171), (4.172).

и того же материала. Следовательпо, предположение о существовании хотя бы двух коэффициентов ар, ая, от­

личных от нуля одновременно, приводит к противоречию. Отличным от нуля в разложении (4.165) может быть лишь один коэффициент ап, что и требовалось доказать.

Если поле напряжений однородно, то условия сов­ местности деформаций выполняются тождественно и со­ отношения теории малых упруго-пластических деформа­ ций при пропорциональном нагружении имеют место при любом законе упрочнения.

Использование теории малых упруго-пластических деформаций основано на допущении, что при простом нагружении или близком к простому теории пластичес­ кого течения приводят к ре­ зультатам, практически сов­ падающим с результатами расчетов по теории малых упруго-пластических дефор­ маций.

§ 12. Деформационные модели теории пластичности

исложных с р е д

В§ 4 этой главы рассмот­ рено построение моделей пла­ стических и сложных сред, основанное на использовании динамических аналогий и дву­

мерных моделей. Указанное

Рис. 25.

построение приводит к пла­ стическим механизмам, пове­

дение которых описывается теориями пластического те­ чения.

Тем же одномерным моделям могут быть поставлены в соответствие двумерные модели, приводящие к дефор­ мационным теориям пластичности.

Рассмотрим основные механизмы упругости, пластич­ ности и вязкости, динамические модели которых представ­ лены на рис. 18. Указанные модели можно представить в несколько другом виде, удобном для дальнейших обоб­ щений. Представим себе, что упругий элемент соединен посредством гибкой нерастяжимой нити, перекинутой

через идеальный блок, с элементом, расположенным на горизонтальной плоскости без трения, и к которому при­ ложено усилие Т (рис. 25, а). Очевидно, по своим свой­ ствам эта механическая модель не отличается от модели, изображенной на рис. 18, а. Аналогично могут быть вве­ дены механические модели вязкости и трения (рис. 25, а, б, в). Очевидно, что в моделях, изображенных на рис.

может быть использована для введения модели, элемен­ том которой служит груз весом Р (рис. 26). В этом слу­ чае, очевидно диаграмма сила-перемещение при нагру­ жении имеет вид, аналогичный модели с трением (рис. 25, в), но процессы нагрузки и разгрузки обратимы и до существу имеют место явления, характерные для нели­ нейно упругих тел. Отметим, что использование элемента тяжести не вносит каких-либо принципиальных моментов для определения моделей упругих тел: пружины с нели­ нейными характеристиками и переменное поле тяжести (эквивалентное состояние достигается, например, изме­ нением массы груза) приводят к моделям с одинаковыми механическими свойствами.

Схема с вертикально расположенными механизмами позволяет ввести двумерные модели пластических, упруго­ пластических и других сложных сред, отличные от рас­ смотренных ранее и свойства которых могут быть поло­ жены в основу обоснования деформационных теорий сложных сред.

Представим двумерную модель упругого тела: на горизонтальной плоскости к гибкой нерастяжимой нити в точке А приложено усилие Т с составляющими Тг, Т2. Приращение перемещения точки обозначим через Ае с

составляющими Аех, Де2. Величину е = ^ Т + е\ назо­ вем интенсивностью перемещений. Нить АВ проходит через отверстие в начале координат и соединяется в точке

В с вертикально расположенной упругой пружиной (рис. 27, а). На рис. 27,6 та же модель представлена в схемати­

Для всех последующих моделей (рис. 28) независимо от природы механизмов будет также иметь место пропор­

но, имеют вид (4.174), (4.176). Перемещения е19 е2 не яв­ ляются в общем случае остаточными. Мерой остаточной деформации служит величина интенсивности перемещений

е = (el + е\)/ -

Перемещения элемента при постоянной интенсивности перемещений (нейтральное нагружение) вдоль окружно­ сти АА' (рис. 29) происходят без со­ вершения работы усилий на переме­ щениях (это обстоятельство харак­ терно для всех введенных двумер­ ных моделей). Процесс нейтрального нагружения является полностью об­ ратимым.

Рассмотрим нагружение, приво­ дящее к перемещениям из точки А в точку А х (рис. 29). Перемещения АА х слагаются из векторной суммы пе­

Очевидно, что перемещения элемента трения (пластич­ ности) вызывают только приращения нормальных пере­ мещений, в этом смысле справедлив закон пластического

где Ае?, Ае£ — нормальные приращения перемещений, вызывающие перемещение элемента пластичности.

Следует иметь в виду, что мерой остаточных деформа­ ций будет величина приращения интенсивности переме­ щений

Сами приращения нормальных перемещений Де™, Ае% путем нейтрального нагружения могут быть изменены обратимым образом.

Разгрузка может быть определена различным спосо­ бом. Можно предположить, что гибкая нить в модели способна передавать усилия в обратном направлении. Тогда рассматриваемая модель ведет себя как жестко­ пластическое тело. Разгрузка имеет место, когда усилия обеспечивают приращение интенсивности перемещений Ае обратного знака, при этом выполняются соотношения (4.174), (4.176).

Предположим, что элемент получил перемещения ин­ тенсивности е, а затем нагрузки сняты. Элемент в гори­ зонтальной плоскости без работы усилий может занять любое положение при постоянной интенсивности е (любое положение на окружности АА' рис. 29).

До некоторой степени аналогом подобного поведения среды служит поведение идеальной жидкости, изолиро­ ванный элемент которой может произвольно изменять форму. Заметим, кстати, что двумерной моделью, иллю­ стрирующей свойства идеальной жидкости, может слу­ жить тело на гладкой горизонтальной поверхности.

Для несжимаемого упругого тела также существует