книги / Теория упрочняющегося пластического тела

Соотношения (2.304) в этом случае преобразуются к виду:

и? Фо и (4 ф о.

поверхностью нагружения совпадают с соответствующими соотношениями в случае гладкой поверхности нагруже­ ния, и поэтому отпадает необходимость анализа этих случаев.

Пусть на характеристической поверхности е?;- = О,

то есть [xj = 0 и р,2 = 0. На характеристической поверх­ ности в этом случае имеет место равенство (2.284), кото­ рое запишем в виде:

Визотропной среде главные оси тензора ф*;- совпадают

сглавными осями тензора напряжений, а главные зна­ чения имеют вид:

Анализ соотношений (2.306) ничем не отличается от анализа уравнений (2.244), откуда следует, что харак­ теристические площадки в нзотропно-упрочняющейся среде с сингулярной поверхностью нагружения (2.303) совпадают с площадками максимального касательного напряжения.

Не представляет затруднений определить условия су­ ществования и виды характеристических элементов и для аниэотропно-упрочняющейся среды, поверхность

Xi = 0) материал изотропный, то поверхность нагруже­ ния можно представить в виде:

Из ассоциированного закона течения для материала пер­ воначально изотропного следует, что направляющие ко­ синусы главных осей тензора скоростей деформаций совпадают с направляющими косинусами тензора ttj. Поэтому все выводы, сделанные для изотропных тел в на­ стоящем параграфе, получаются после аналогичных рассуждений и для анизотропно-упрочняющихся тел, только главные значения и направляющие косинусы тензора Оц заменяются главными значениями и направляющими ко­ синусами тензора ttj.

В ы в о д ы : 1) В изотропно-упрочняющейся среде с

выпуклой поверхностью нагружения при eg ф 0 не суще­ ствует характеристических элементов и поверхностей разрыва производных напряжений и скоростей деформаций.

2) В изотропно-упрочняющейся среде с кусочно линей­ ной поверхностью нагружения при напряженном состоянии, соответствующем грани поверхности нагружения, и при

eg ф 0 в каждой точке среды имеются три взаимно пер­ пендикулярные характеристические площадки, которых попарно касаются главные направления тензоров напря­ жений и скоростей деформаций.

3) Если в изотропно-упрочняющейся среде с гладкой

поверхностью нагружения eg = 0, то при некоторых условиях, установленных выше, существуют характеристи­ ческие площадки, совпадающие с площадками максималь­ ных касательных напряжений.

4) Все эти выводы справедливы и для анизотропно-упроч­ няющихся сред после замены тензора Сц на тензор ttj = = ®ij

В этой главе рассматриваются теоремы единственно­ сти и экстремальные теоремы для случая упрочняющегося упруго-пластического и жестко-пластического материалов. В основе доказательств общих теорем лежит уравнение виртуальных работ либо аналогичные уравнения: ско­ рости виртуальных работ и т. и.

Рассмотрим тело объемом V, ограниченное поверхно­ стью S. Обозначим через Ft массовые силы, действующие на единицу объема. Уравнения равновесия имеют вид:

Перемещения ut и компоненты тензора деформации свя­ заны соотношениями Коши

где rij — вектор единичной нормали к поверхности S. Соотношение (3.3) носит название уравнения виртуаль­

ных работ. Для справедливости уравнения виртуальных работ (3.3) необходимо и достаточно, чтобы имели место соотношения (3.1), (3.2), форма связи между компонен­ тами oireu несущественна.

Продифференцируем соотношения (3.1), (3.2) по вре­ мени, получим

Подобным образом, исходя из (3.4), (3.5), можно получить

Из (3.1), (3.5) и (3.4), (3.2) следует соотношение:

Уравнения (3.6), (3.7) вполне аналогичны уравнению виртуальных работ (3.3). Соотношение (3.7)' носит наз­ вание уравнения скорости виртуальных работ. Приве­ денные интегральные соотношения являются основой до­ казательства всех общих теорем теории пластичности.

Как известно, в теории упруго-пластического тела полные деформации и скорости деформации слагаются^из упругих и пластических:

Объемные интегралы в левых частях соотношений (3.3), (3.6), (3.7) могут быть представлены в виде двух слагаемых

Выражение (3.9) представляют положительно определен­ ные квадратичные формы. Если не все компоненты Оц, а

также Gij равны нулю, имеют место неравенства:

теорем для упруго-пластических тел существенно связа­ но с положительностью выражений (3.10), поэтому ниже для упруго-пластических материалов будут использова­ ны уравнения (3.3), (3.6).

Рассмотрим краевые условия на боковой поверхности тела. Сформулируем краевую задачу для напряжений Gij и перемещений ии Поверхность S будем считать со­

нагрузки Pi, на Su определены перемещения ui0, на Spu определены проекция перемещения щ на какое-либо нап­ равление, определяемое единичным вектором Z*, и рав­ нодействующая усилий pt в плоскости, ортогональной Z*.

Таким образом, краевые условия могут быть записаны

Vi = Ui. Поверхность S разобьем в этом случае на три части S = Sg + Sv -f- Sgv, причём на части поверхности Sg определены скорости изменения удельных поверхност­ ных нагрузок gi = ри на Sv определены скорости пере­ мещения vi0l на Sgv определены проекция скорости пере­ мещения Vi на направление, определяемое единичным вектором Z*, и равнодействующая скоростей изменения усилий gi в плоскости, ортогональной Z*.

Таким образом, краевые условия могут быть записаны в виде:

Очевидно, что области определения усилий и скоро­ стей изменения усилий, а также перемещений и скоростей перемещений совпадают между собой: Sp = Sg1 Su = Sv. Что же касается частей поверхности Spu, Sgv1 то они бу­ дут совпадать в случае, если направление 1Хфиксирова­ но, что в дальнейшем и будет принято.

Наконец, рассмотрим краевую задачу для напряже­ ний о и и скоростей перемещений Vi. Поверхность S бу­ дем считать состоящей из трех частей S = Sp + Sv + Spv, так что краевые условия могут быть записаны в виде:

и параметры данного напряженного и деформированного состояния. Пусть, далее, <з$, е§}, и[г) и 6$, е$, и\2) — два различных решения, соответствующих одной и той же краевой задаче (3.13). Другими словами, допускается, что при достижении некоторого напряженного и дефор­ мированного состояния имеет место разветвление реше­ ния при данном процессе нагружения.

мости функций упрочнения /г, hg от скорости изменения напряжений Таким образом, при сделанных предпо­ ложениях, согласно граничным условиям (3.13), а также (3.16), (3.18), (3.19), правая часть соотношения^(3.15) равна нулю, левая — положительна. Из полученного противоречия следует, что скорости изменения напряже­ ний определяются единственным образом, то есть

скоростей деформации для упруго-пластического упроч­ няющегося материала

е0) = (е Г = е Г , eg* = eg*). (3.21)

Неравенство (1.120) обеспечивает справедливость при­ веденного доказательства единственности скоростей изме­ нения напряжений для идеального упруго-пластического материала. Однако аналогичное заключение для скоростей изменения пластических деформаций и, следовательно, скоростей изменения деформаций вообще для идеального упруго-пластического материала сделать нельзя. В са­ мом деле, согласно (1.117)

ных скоростей деформации при граничных^ условиях:

Ду* = г4г) — = 0 на Sv, проекция на направ­ ление It на Spv равна нулю. Таким^образом, компоненты

в|Р для случая идеального упруго-пластического мате­ риала определяются с точностью до Де£.

Это отсутствие единственности обусловлено самим оп­ ределением идеально-пластического тела. Уже при од­ ноосном растяжении |идеально-пластического тела оче -

видно,^что при, данном напряжении пластические дефор­ мации могут быть различными в зависимости от работы, совершенной усилиями. Единственность компонент е<;- может бытьдустановлена, если рассматривать идеальный упруго-пластический материал как предельный случай упрочняющегося упруго-пластического материала.

2. Единственность напряжений и деформаций. По­ кажем, что единственность распределения напряжений будет иметь место при некоторых определенных условиях.

Пусть а-у}, efj, иа[*\ uffi — компоненты напряже­ ний, деформаций и перемещений, удовлетворяющие усло­ виям краевой задачи. Из уравнения виртуальных^работ (3.3) получим

^ (<# - 4?) («8* - еТ ) dV + J (б»5- <#) ( $ )р - e$)p)dV=

= ^ — o(if) щ (u[l) — u f) dS. (3.22)

Интеграл в правой части (3.22), согласно граничным ус­ ловиям (3.12), равен нулю.

при olf =f= о§\ и, следовательно, интеграл (3.22) положи­ телен.

Из полученного противоречия следует, что при задан­ ном распределении^ пластических деформаций efj рас­ пределение напряжений единственно х).

х) Собственно говоря, приведенное доказательство никак не связано с пластическими свойствами материала. Существенно, что

деформации могут быть представлены из двух частей е?. + ^ii п

пластических, вязко-пластических и т. п. составляющих дефор­ мации.

Рассмотрим другие возможности определения исход­ ных условий, при которых справедлива теорема единствен­ ности. Аналогично можно было бы предположить, что наряду с граничными условиями (3.12) вместо распреде­ ления пластических деформаций в теле задано распре­

Однако в общем случае мы не располагаем доказа­ тельством положительности подынтегрального выражения (3.24), следствием которого явилась бы единственность напряжений. Поэтому данное распределение упругих деформаций наряду с граничными условиями (3.12) не определяет единственным образом распределение напря­ жений.

е-2), у-2) удовлетворяют граничным условиям (3.14), мож­ но получить

Подынтегральное выражение первого слагаемого (3.25) может принимать как положительное, так и отрицатель­ ное значение. Поэтому примем, что распределение ско­

ростей упругих составляющих деформаций дано е$)с = = е-2)е = е^. Тогда соотношение (3.25) примет вид:

V

Для идеально-пластического материала в случае вы­ пуклых поверхностей текучести, согласно (1.120), при

ф o[f подынтегральное выражение (3.26) строго по­ ложительно. Поэтому из (3.26) могут быть получены след­ ствия для идеального упруго-пластического материала: