Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

8.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Задача 7,19 (для самостоятельного	решения). Построить кав-
диоиду	р
г = 2а (1 -f- cos ср)	(а > 0).

Задача 7,20 (для самостоятельного решения). Построить ги перболическую спираль

' = £ ( * > 0).

ВОСЬМОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

С о д е р ж а ние: Составление уравнения кривой по ее геометрическим свой ствам.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Составить уравнение линии на плоскости в выбранной систе ме координат — это значит составить такое уравнение с двумя

переменными, которому удовле
творяют	координаты любой
точки, лежащей на этой линии,
и не удовлетворяют			координа
ты точек, которые на этой ли
нии не лежат (это определение
следует	-усвоить,	так	как оно
неоднократно в дальнейшем ис
пользуется).		уравнения ли
Для	вывода
нии поступают так:
1. Выбирают		на	плоскости	Фиг. 8,1.
систему координат.

2. На линии, уравнение которой выводится, берут произволь ную точку. Координаты этой точки обозначают через х н у , если уравнение линии выводится в прямоугольных координатах, или через г и ср, если оно выводится в полярных координатах. Осно вываясь на заданном свойстве всех точек, лежащих на линии, составляют уравнение, связывающее координаты произвольной точки с некоторыми постоянными величинами, данными в задаче. Найденное уравнение и будет искомым.

Задача 8, 1. Составить уравнение окружности, проходящей через полюс системы координат, центр которой С лежит на по

лярной оси, а радиус равен R (фиг. 8,1), и найти уравнение этой окружности в прямоугольных координатах.

Для вывода уравнения окружности, указанной в задаче, возь

мем на окружности	произвольную точку А (г, ср) и соединим ее с
точкой В — концом	диаметра. Угол ОАВ — прямой, а потому,

так кад диаметр равен 2R, из прямоугольного треугольника АОВ получаем r = 2R cos <р.

Эго и будет искомое уравнение. Теперь преобразуем это уравне ние к прямоугольным координатам. Используя формулы переход3 (7, 2), будем иметь

± У х 2+ у2 = 2R l y i r f -

Умножая обе части уравнения	на	± V x * + уг получим
х2+ у2 = 2Rx, или	х2 +	у2— 2Rx = 0.

Задача 8, 2 (для самостоятельного решения). Найти уравнение окружности радиуса R, проходящей через полюс, центр которой С лежит на прямой, перпендикулярной полярной оси и проходящей

через полюс (фиг. 8, 2). Найти урав-

r = 2R sin <р.

Уравнение этой окружности в прямоугольных координатах х2-f- у2— 2Ry = 0.

Задача 8, 3 (для самостоятельного решения). Найти уравнение

окружности радиуса а, центр которой находится в				полюсе.	На
писать уравнение этой окружности		в прямоугольной системе ко
ординат.
О т в ет . г — а\ в прямоугольной		системе	координат
х2+	у2 = а2.
Задача 8,4. Отрезок АВ неизменной длины 21 скользит своими
концами по сторонам прямого	угла. Из вершины			угла на	этот
отрезок опущен перпендикуляр	ОС. Найти		геометрическое		место

оснований таких перпендикуляров. Построить кривую и найти ее уравнение в прямоугольных координатах.

Р е ш е н и е .	Поместим полюс	полярной системы	координат в
вершину прямого угла, а полярную ось направим			по	одной из
сторон прямого	угла — например,	по стороне ОВ (фиг.		8,3).

Пусть	точка	С имеет полярные координаты г и <р. Тогда
			ВС = л tg <р
		______ А С =		г ctg ср_____
		В С + А С =		г (tg <р+ ctg ср),
НО	ВС + АС = 21 и			г (tg <р-J- ctg<р) = 21,
	ВС + АС = 21 и			г (tg <р-J- ctg<р) = 21,
а отсюда
f '	sin2 у +	cos2y _	2 1
	sin у • cos у		'
г--.—-—	= 21,	или г =	/ sin 2®.
— sin 2у

Это и есть искомое уравнение. Значит, наше геометрическое место имеет уравнение

г = I sin 2<р.		Фиг. 8,4.
Кривая— четырехлепестковая	роза (фиг.	8,4).
Теперь постройте кривую	(полярному	углу у придавать значе
ния от ср = 0 до <р = 2% через	промежуток а =		Найдем урав

нение этой кривой в прямоугольной системе координат. Уравне ние кривой перепишем в виде r = 2isincpcos ср (sin 2ср = 2sin<pX х cos <f). Используя формулы (7,2) для перехода от полярной си стемы координат к прямоугольной, получим

± V x 2+ У* - 2/ ± у хг ± yi • ± у хъ+

а отсюда, возводя в квадрат обе части равенства, будем иметь окончательно

(х2+ у2)3= 412х2у2.

Сравнивая уравнение нашей кривой в прямоугольных крординатах с ее уравнением в полярных координатах

г = / sin 2<р,

мы усматриваем, что последнее значительно проще. Кривая по лучается поворотом на 45° кривой, изображенной на фиг. 7,13.

Задача 8,5. Найти уравнение геометрического места точек, произведение расстояний которых до двух данных точек А и В есть величина постоянная, равная а2. Длину АВ считать рав ной 2а.

Р е ш е н и е . Проведем вывод уравнения в прямоугольных ко

ординатах.	Направим ось Ох по прямой, соединяющей А и В,
как обычно,	вправо, начало	координат поместим в средине	оТт
резка АВ, ось Оу направим		вверх по перпендикуляру к оси	Ох-

Длина отрезка АВ по условию равна 2а(АВ = 2а); тогда точки А и В будут иметь координаты: А (—а, 0); В (а, ОД Пусть точка М

принадлежит	кривой.	Ее	координаты	обозначим через х и У
(фиг. 8, 5).	задачи	AM	ВМ = а2.	По формуле расстояния
Из условия

между двумя точками

AM = У (х + а)2+ у2, ВМ = У (х — а)2 + У2.

	Значит,
	У (х + а)2+	у2х
	X У ( х ~ а)2 +~У' =		а2.
	Возведем обе части этого урав
	нения в квадрат:
	К* + а? + У*\ [{х — а)2 +
	+ Уг\ = а \
или	у2 + а2) + 2ах\ [(х2+ у2 + а2) — 2ах1 =
[(х2+	у2 + а2) + 2ах\ [(х2+ у2 + а2) — 2ах1 =	а4;
	(х2+ у2 + а2)2 — 4а2х2= а4.
Упрощая,	получаем
	(х2+ г/2)2= 2а2(х2— у2).
Это и есть искомое уравнение.		координатам,
Преобразуем теперь это уравнение к полярным		координатам,
поместив полюс полярной системы координат в начале			прямо

угольной системы координат, а полярную ось направим по поло

жительной полуоси Ох.			Подставляя в последнее уравнение зна
чения х и у	из	формул	перехода	(7, 1),	будем иметь
		г4=	2a2r2 (cos2<р— sin2<р).
Замечая,	что	cos2<р — sin2<р =		cos 2ср,	и сокращая на г2, полу
чим окончательно			г2= 2a2cos 2ср.
			г2= 2a2cos 2ср.

Кривая, определяемая этим уравнением, называется лемниска той Бернулли. Постройте теперь эту кривую.

Так же, как в задаче 7, 12, составьте таблицу значений г по известным значениям <р, имея в виду, что так как полярный ра диус может принимать только действительные значения, то кривая не может быть расположена в тех секторах, где полярный ра диус имеет мнимые значения.

Это будет	иметь	место	для значений	<р от 9 =		-^до<р = — л
и от tp =	—и до	—	а поэтому в этих		секторах точек		кри
вой нет. На фиг.		8, 6 эти секторы заштрихованы,				а кривая	изо
			бражена на фиг. 8, 7.
		•Р
			г	Г	2*	Г	г
	Фиг. 8,6.				Фиг. 8,7.
	ДЕВЯТОЕ		ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
С о д е р ж а н и е :		Продолжение упражнений			в составлении уравнений
линий.

Это практическое занятие является продолжением предыду щего. Мы будем составлять уравнение линии по извест

ному свойству, общему всем ее точкам. Задача 9 ,1. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух

данных точек.

Решение. Возьмем прямоуголь ную систему координат и пусть две данные точки В и С лежат на оси абсцисс и имеют координаты (хъ 0) и (хъ 0) (фиг. 9, 1). Пусть точка А при

надлежит	искомому	геометрическому
месту. Обозначим ее координаты через
х и у: А (х,	у).				Фиг. 9,1.
На основании формулы для определения					расстояния	между
двумя точками
АВ = У (-!)* + if, АС = V ( x - x t f + y\
и значит, так как по условию				ЛВ = ЛС, мы	можем написать,
что	К(ЗГГI t f +		P	= J/ { х - х 2)* + у \
	К(ЗГГI t f +		P	= J/ { х - х 2)* + у \
Это и есть	уравнение	искомого		геометрического места.		будем
Возводя	в квадрат обе		части последнего		равенства,	будем
иметь

(х ~ х х)2 + У2 = (х — x tf + у \

После очевидных упрощений получим

2х (х2— *i) = (х2— хг) (х2+ X,);

сокращая на х2— х2 (х2— хх =?£=()),					имеем
или		2х — xt +			хй,

				1 +2 2		'
Это уравнение прямой,		перпендикулярной					оси	Ох	и прохо
дящей через середину отрезка ВС.					местом является			прямая, пер
Итак, искомым	геометрическим
пендикулярная к	отрезку	ВС,		соединяющему			данные точки, и
проходящая через	его средину.
З а м е ч а н и е .	При решении задачи нам пришлось уничтожить
радикалы в уравнении искомого геометрического места
V {х — *i)2+ У2 = У (х — х2)24- г/2,									(Л)
в результате чего было получено					уравнение
		v _		1+ 2					(fi)
		л	“	2		*
Из алгебры известно,		что	возведение обеих				частей		уравнения

в квадрат может привести к уравнению, которое не равносильно (не эквивалентно) исходному. Это значит, что уравнение, полу ченное от возведения в квадрат обеих частей исходного уравнения, может иметь решения, не удовлетворяющие исходному уравнению, т. е. иметь так называемые «посторонние» корни. Поэтому всегда

в тех случаях, когда обе части уравнения				приходится		возводить
в квадрат, следует ставить вопрос об			эквивалентности			получен
ного и исходного уравнений.
В интересующем нас случае вопрос			ставится так:			не	содер
жит ли линия (В) точек, которых нет			на линии (Л), т. е. таких,
координаты которых	не удовлетворяют		уравнению- (Л) и таким
образом не удовлетворяют исходному условию АВ = АС.
Чтобы убедиться	в том,	что линия	(В)	не	содержит		точек,
которых нет в линии	(Л),	надо показать, что			уравнение		(В) мо

жет быть преобразовано в уравнение (Л).

Произведя в обратном порядке операции, с помощью которых

было получено уравнение (В),		мы придем к уравнению
	{х — * i)2 + уй=		(х — х2)2 + у2,
откуда следует,	что
у	{X — x j 2+ у2=		± V {х — х2)2+ у 2.	(С)
т. е. что АВ — ± АС; отсюда		видно, что или АВ — АС = 0,		или
А В + А С = 0.


Но	Л В > О		и ЛС> 0, а следовательно,			ЛВ + ЛС=£0, так
Как сумма двух			положительных	величин	не	может быть		равна
нулю,	а	потому остается		только	одно	равенство		АВ —
•— АС = 0,		т. е. АВ = АС, и знак минус перед корнем					в правой
части	уравнения (С) должен быть отброшен. Поскольку						из	урав
нения	(Л)	получается уравнение (В) и			обратно — из уравнения

(В) следует уравнение (Л), то эти уравнения равносильны (экви валентны). Таким образом, поставленный нами вопрос решен: линия (В) не содержит таких точек, которых нет на линии (Л).

Фиг. 9,2.		Фиг. 9,3.
При решении следующих задач этого практического			занятия
нам придется часто обе части	исходного	уравнения возводить
в квадрат. Учащийся должен	знать, что	всякий раз	в таком

случае перед ним должен возникать вопрос об эквивалентности полученного и исходного уравнений. Однако мы во всех по следующих задачах этим заниматься не будем, а заметим только, что эквивалентность исходного и окончательного уравнений в этих задачах действительно имеет место.

Задача 9, 2 (для самостоятельного решения). Найти уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от начала

координат и от точки Л (—3, 4)			(фиг.	9 ,2).
О т в е т . 6х — 8 у + 2 5 = 0.					отрезку АО и
Проверьте, что эта прямая перпендикулярна
проходит через	его	середину.		решения).	Найти	геомет
Задача 9,3	(для	самостоятельного
рическое место точек, одинаково			удаленных от		прямой	х = —4

иточки Л (6, 0).

Ук а з а н и е . Пусть точка В (х, у) принадлежит искомому геомет

рическому месту (фиг. 9, 3). По условию расстояния от точки В до прямой х = —4 и до точки А (6, 0) между собою равны, т. е.

Л В = ВС. По формуле для определения расстояния между двумя

точками	__________
	АВ = У (х — 6)2+	у2, а ВС = х + 4
и	V (x — 6)2+	«/2= х + 4.


О т в ет . */2=	20(лс— 1). Эскиз кривой				показан		на	фиг.	9,4*
Как увидим в дальнейшем, это •*—уравнение						параболы и зна
чит, искомым геометрическим местом является						парабола.
Задача 9,4 (для самостоятельного решения).						Определить тра
екторию точки,	которая движется так, что				ее расстояние от точки
(2,3) равно ее расстоянию			до прямой Зл: + 4у — 5 =				0.
У к а з а н и е . Пусть точка В (х, у) принадлежит искомому геомет
рическому месту	(фиг. 9, 5). По условию				ВС = АВ. Расстояние
ВС от точки В (*,		у) до	прямой	Зх +	4г/— 5 = 0			найти по
правилу определения		расстояния от		точки до прямой (см. за
			дачу	5,2).	Получим —				~~-5=

Это и есть уравнение искомого геометрического места. Воз водя в квадрат обе части уравнения*, освобождаясь от дробей и перенося все члены уравнения в его правую часть, получим окончательно

16л2 — 24ху 4- 9уг — 70л: — 1 Юу + 300 = 0.

Геометрическое место, уравнение которого мы нашли, есть парабола.

Следует запомнить, что геометрическим, местом точек, равно удаленных от данной точки и от данной прямой, является парабола.

Задача 9,5 (для самостоятельного решения). Найти уравнение геометрического места точек, равноудаленных от прямой х-\- у—


— 2 = 0 и точки (1, —1).	У2+	8у = 0.
О т в е т . Парабола х2— 2ху +				уравнение
Задача 9, 6 (для самостоятельного		решения). Найти
траектории точки А, которая движется			так, что ее	расстояние
от точки С (—5, 2) всегда равно	7 (фиг.		9,6).

*По иоводу возведения в квадрат обеих частей уравнения, см. замечание

кзадаче 9,1.

Ответ. Траектория — окружность хг -f у1-f ю* — 4t/ — 20= О

с центром в точке С (—5, 2) и радиус ее		R — 1.
Задача 9,7. Найти траекторию точки		А,	которая движется
Так, что ее расстояние до точки В (2, 4)	в	два	раза меньше,, чем
до точки	С (—6, 2).

У к а з а н и е .		Обозначить координаты точки А, как всегда,
через х н у	(фиг. 9, 7). По условию АС = 2АВ.
АС = К (* + 6)2+ ( « / - 2 ) 2; AB = V ( x - 2 y + ( y - A ) \
Значит, из	АС =	2АВ получаем,
что	6)2+ 0/ - 2)2=
/ ( * +
= 2 ]/ (* — 2)2+ (г/ — 4)2.
О т в е т .	Траекторией является
окружность	З2+ 3у2— 28 —

— 28у + 40 = 0 с центром в точке

(т* т)’ а ее РадиУс г~ 5»5-

Задача 9, 8 (для самостоятель
ного решения).	Точка	А	дви	Фиг. 9,8.
жется так, что отношение ее рас				Фиг. 9,8.
жется так, что отношение ее рас
стояния до точки	В (2,	3)	к ее

расстоянию до		прямой * + 2«/ — 4 = 0 равно у . Найти уравнение
траектории	точки.			координаты точки		А	через	х н у
У к а з а н и е . Обозначить
(фиг. 9,8).	Расстояние		точки	А (х, у) до	точки		В (2,3)	А В =
= У (х — 2)2+		(f/ — З)2,	а ее расстояние АС		до	прямой * + 2у —
:—4 = 0 будет равно			»г	\|*-ф‘2у— 41

	АВ	1		Г" У Ъ ~ Г
П О условию
		= у .

Отсюда	Г (х -2 )» + (у -3 )«	2 е
	х 4- 2у — 4	2 е

/ 5

Ответ . Уравнение траектории 19л;2 — 4ху + 16у2— 72х — 104у + 244 = 0.

Задача 9, 9 (для самостоятельного решения). Найти уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых от точек

F1(2, 3) и F2(4, 5)

есть

величина

постоянная,

равная

(фиг. 9,9).

О тв е т . 24х2 — 2ху+2Ау2— 136л;— 18 6 */ + 1= 0

(э л л и п с ).

Задача 9,10

(для самостоятельного решения). Найти уравнение

геометрического

места

точек,

расстояние каждой

из

которых

от

данной прямой АВ в два раза

мень

ше расстояния от данной точки

С,

не

лежащей

на этой

прямой.

Ох по

У к а з а н и е .

Направить ось

данной прямой АВ , а ось

Оу по пер

пендикуляру к оси Ох, проходящему

через данную точку С. Координаты точ

ки

С пусть

будут (0, Ь)

(Ь Ф 0).

Ответ,

л;2— 3у2— 2by + Ъ2= 0 (ги

пербола).

иметь в виду, что уравнение

Следует

геометрического места в выбранной систе

ме координат может оказаться более или

менее сложным

в зависимости от расположения координатных осей

в выбранной системе координат. В данном

случае,

если

бы мы

направили ось Оу не через

точку

С,

то абсцисса точки

С уже

была бы равна

не нулю,

скажем, а, и уравнение геометри

ческого

места оказалось

бы

более

сложным.

Следует,

однако,

помнить,

что в

зависимости от того

или иного

расположения ко

ординатных осей может измениться

только

уравнение линии,

но

не сама

линия.

Задача 9,11

(для самостоятельного решения). Найти

геоме

трическое место оснований перпендикуляров,

опущенных из

на

чала координат

на прямые,

проходящие через

точку (а,

6),

О тв ет . Окружность

х2+ у2— ах — by = 0.

ДЕСЯТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

С о д е р ж а н и е : Кривые второго порядка: окружность, эллипс.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

1. Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки.

Уравнение окружности имеет вид (х — а)2+ (у — Ь)2 = г2, (10,1)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги