книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
.pdfУ\ = ахI |
(Е) |
Этим и заканчивается преобразование исходного уравнения. |
|
Легко заметить, что полученное |
уравнение (Е) действительно |
значительно проще исходного: в нем нет первой степени текущей координаты хг и нет свободного члена.
Таким образом, |
требование |
задачи выполнено: |
1) преобразо |
||||||||
ванное уравнение |
не содержит |
члена с первой степенью абсциссы |
|||||||||
и 2) оно не содержит свободного члена. |
|
|
|
|
|||||||
Полученное |
уравнение у\ = ах2 есть уравнение параболы, вер |
||||||||||
шина |
которой |
находится |
в |
новом |
начале |
координат — точке |
|||||
|
|
|
|
можем сделать такое заключение: |
|||||||
Графиком квадратичной функции |
у = ах2 + Ьх + с |
при аФ О |
|||||||||
является парабола, вершина которой находится в точке 01 |
|||||||||||
4ас — Ь2\ |
а ее ось |
симметрии |
параллельна оси Оу. Для построе |
||||||||
— ^ |
U |
||||||||||
ния этой |
параболы следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) определить координаты ее вершины Ох\ |
|
и через нее |
|||||||||
2) точку 0г принять за |
новое начало |
координат |
|||||||||
провести координатные оси 0гхг и |
0хуъ |
параллельные первона |
|||||||||
чальным осям координат и одинаково с ними направленные; |
|||||||||||
3) в новой системе координат построить |
параболу |
ух = ах |
|||||||||
Не следует запоминать координаты вершины параболы — фор |
|||||||||||
мулы |
(С), |
а проделывать каждый раз |
указанные простые выклад |
ки. Решение последующих задач основано на выделении полного квадрата из квадратного, трехчлена, а потому эта операция дол жна быть хорошо усвоена. После решения нескольких задач эти преобразования не будут вызывать никаких затруднений.
Решенная нами задача иногда формулируется иначе:'уравне ние кривой у = ах2+ Ьх + с (аФ 0) упростить так, чтобы в нем отсутствовал член с первой степенью текущей координаты и сво бодный член, а иногда и еще короче: привести уравнение кривой у = ах2+ Ьх + с к каноническому виду. В дальнейшем мы будем пользоваться и этими формулировками. После того как показано, что уравнение у = ах2+ Ьх + с определяет параболу, можно за ключить: упрощение этого уравнения достигнуто параллельным переносом первоначальной системы координат так, что новое начало координат находится в вершине параболы, а новая координатная ось Огух совпадает с осью симметрии параболы.
Следует также иметь в виду, что если в уравнении у = ах2+ + Ьх + с коэффициент а положителен, то ветвь параболы направ лена вверх (так называемая «восходящая» парабола), а при отри цательном а — вниз («нисходящая» парабола).
Форма параболы определяется только коэффициентом а. Числа же b и с на форму параболы влияния не оказывают, и измене ние их при одном и том же а влияет только на расположение параболы на плоскости. Заметим также, что чем больше а по
абсолютной величине, |
тем сильнее парабола прижата к оси сим |
||||
метрии; наоборот, чем |
меньше а по абсолютной величине, |
тем |
|||
«шире» будет парабола. |
|
|
|
|
|
Решим теперь |
ряд задач с числовыми значениями а, b и с и |
||||
|
|
начертим эскизы |
нескольких |
||
|
|
парабол (с построением эски |
|||
|
|
за параболы по ее уравнению |
|||
|
|
приходится очень часто встре |
|||
|
|
чаться, |
например, при изу |
||
|
|
чении сопротивления матери |
|||
|
|
алов). |
|
|
|
|
|
Задача 12,6. Упростить |
|||
|
|
уравнение параболы у = х2— |
|||
|
|
— 7х + |
12, найти координаты |
||
|
|
ее вершины и начертить эскиз |
|||
|
|
кривой. |
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Выделим |
в |
|
Фиг. |
12,2. |
правой части уравнения у = |
|||
— х2— 7х + 12 полный |
квадрат по способу, |
указанному в преды |
|||
дущей задаче, и получим |
|
|
|
или
у + \ = [х—■§■)•
Положим
Xi = x - ^ - , y l = y -\-~
Отсюда из сравнения с формулами (12, 2) координаты нового
начала, т. е. вершины параболы, будут х0 = ^-, |
у0 = — -L. Пос- |
|
ле переноса начала координат в точку |
О ^ у , — у j уравнение па |
|
раболы примет наиболее простой вид у\ |
= х\. Эскиз кривой пред |
|
ставлен на фиг. 12, 2. |
|
|
Задача 12, 7. Привести к простейшему виду |
уравнение пара |
болы
у= 2х2+ 4х -f 5
инаити координаты ее вершины.
|
Р е ш е н и е . |
Уравнение у = 2х2+ 4х -Ь 5 преобразуем, выделив |
||||||||||||||
в правой части полный квадрат: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
У = 2 (хг + 2х) + |
5, |
|
у = |
2 [(х + |
I)2— 1] + 5, |
у = 2 ( ^ + 1 )2+ 3, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
у |
- |
3 = 2(х+1)*; |
|
|
|
|
||||
пусть теперь *i = x + l , |
У\ — У ~ 3. |
Из сравнения с формулами |
||||||||||||||
(12, 2) координаты нового |
начала: х0 — —1; |
|
У |
|
||||||||||||
уп = 3. Уравнение параболы примет вид уг = |
|
|
||||||||||||||
= |
2xi. Эскиз параболы показан на фиг. 12, 3. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
Задача |
12, 8 (для самостоятельного |
реше |
|
|
|
|
|||||||||
ния). Уравнение параболы у = —Зх2+ 8х—6/s |
|
|
|
|
||||||||||||
преобразовать к простейшему виду и начер |
|
|
|
|
||||||||||||
тить |
ее эскиз. |
|
|
параболы находится в |
|
|
|
|
||||||||
|
О т в е т . |
Вершина |
|
|
L |
|
||||||||||
точке |
, |
y j . Преобразованное уравнение |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
будет иметь вид у\ |
«=— Зх?. |
Знак |
минус у |
|
|
О |
х |
|||||||||
коэффициента при |
х? указывает |
на то, |
что |
|
|
|||||||||||
парабола— «нисходящая» |
(фиг. 12,4). |
|
|
|
|
Фиг. 12,3. |
|
|||||||||
|
Самостоятельно |
решите несколько |
аналогичных задач |
и обя |
||||||||||||
зательно начертите эскизы этих |
парабол. |
|
|
|
|
|||||||||||
к |
Задача |
12,9 |
(для самостоятельного решения). Преобразовать |
|||||||||||||
простейшему |
виду |
уравнения |
|
парабол: |
1) |
у = 5х2 |
4х— 3 |
|||||||||
2) |
у = — 6г* + |
Зх + |
1; |
3) |
г/==2х2+ |
3х; |
4) |
|
у = — х2 + 1х; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
5) у = Зх2+ |
9х— 1. Начертить эскизы этих |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
парабол. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Ответ . |
Координаты вершины: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■>Н- -I): |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
* ( т ' т Н ( - 4 . - 4 ) * |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
(I, |
1); |
5) ( |
- |
f , |
— Щ . |
|
а |
к |
горизонту |
брошена |
Задача |
12,10. |
Из точки |
О под |
углом |
||||||||
материальная |
точка |
с |
начальной ско |
ростью v0. Найти: 1) уравнение траектории полета, 2) высоту подъема; 3) дальность полета (сопротивление воздуха в расчет не принимать).
Ре ш е н и е . Прежде всего определим траекторию полета. Пусть
вначальный момент t = 0 точка находилась в начале координат
юз
(фиг. 12, 5). Проекции начальной скорости на оси прямоугольной системы координат равны:
VQX = v0cos а, Voу = Vosin а.
По прошествии t секунд точка в горизонтальном направлении
пройдет путь * = |
u0cosa- t (так |
как |
скорость ее в |
горизонталь |
|
ном направлерии |
Vox — постоянна и равна n0cosa). В вертикаль |
||||
|
ном направлении точка пройдет за |
||||
|
то же |
время t |
путь, |
который мы |
|
|
получим, если из пройденного в |
||||
|
вертикальном |
направлении пути |
|||
|
|
• |
J. |
gt* |
|
|
v0sin a • t отнимем ^ — расстояние, |
||||
|
на которое опустится точка под |
||||
|
действием силы притяжения земли. |
||||
|
Значит, в вертикальном направле |
||||
|
нии за время t |
будет пройден путь |
|||
|
|
|
у = v0sin a t - * ? |
||
|
|
|
|
1 |
2* |
Уравнения |
x = u0cosa • t, |
i/ = |
t>0s in a* £ — gt2 |
|
и являются уравнениями траектории полета точки. Мы замечаем, что обе координаты х и у выражены здесь через одну и ту же переменную величину t. В этом случае говорят, что мы имеем параметрические уравнения траектории* (у нас параметром явля ется время t). Желая найти зависимость между координатами х и у, исключим из этих уравнений параметр t. Из первого урав
нения следует, что t = |
—-— . Подставим это |
значение t во вто- |
||||
■' |
U0 COS О |
|
|
|
|
|
рое уравнение и получим |
х |
|
|
|
|
|
у — v0sin a |
g |
|
X* |
|
||
V0cos a |
2 |
V Q |
cos2a |
’ |
||
или |
|
|
' |
|||
|
|
|
|
|
|
|
У = |
|
X* + |
|
tg a • x. |
(A) |
|
Положим |
2VQcos2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
= a, tg a = |
b, |
|
||
2I)Qcos2a |
|
|
|
|
||
и тогда |
у = |
— ахг + |
bx. |
|
|
|
|
|
|
* С параметрическими уравнениями |
линий мы будем часто встречаться |
в математическом анализе. В учебнике |
Привалова это вопрос освещен в § 5, |
гл. II. |
|
Легко усмотреть, что это уравнение параболы и, следовательно, траекторией “Точки является парабола. Так как в ее уравнении отсутствует свободный член, то парабола проходит через начало координат. Найдем теперь высоту полета точки. Для этого опре делим ординату вершины параболы. Так как коэффициент при х2 отрицателен, то парабола — «нисходящая», а вершина параболы
будет ее наиБысшей точкой. |
— ах2+ Ьх найдем, что абсцисса |
Из уравнения траектории у = |
|
вершины х0=* Ya - |
|
ПодставлИя сюда |
|
а == |
b = tg a, |
2v2 cos2a 1
получим
tig sin 2a
*0= _ 2T ‘
После подстановки этого значения xQв уравнение траектории
(А) получим ординату вершины параболы и тем самым высоту полета
V2 • 2
QSin a
Как легко усмотреть, дальность полета / равна удвоенной абсциссе
вершины, т. е. / = 2х0, |
или |
sin 2a |
||
/ = — -— . |
||||
Дальность |
полета I |
будет наибольшей, если sin 2а, входящий |
||
в выражение |
I, |
будет |
иметь наибольшее значение, т. е. при |
|
sin 2a = 1, а |
тогда a = |
45°. |
||
Задача 12, 11. |
Упростить уравнение кривой |
|||
|
|
Зх + |
2уг + 6г/ — 1 = 0. |
|
У к а з а н и е . |
Привести |
уравнение к виду |
х — — * У ■2У + Т
и поступить так же, как в предыдущих задачах.
О т в е т . |
Кривая — парабола у\ = |
— |
вершина параболы |
в точке |
— - |j (фиг. 12, 6). Ось |
параболы параллельна оси |
абсцисс.
Задача 12,12 (для самостоятельного решения). Упростить уравнение кривой х + Зг/2+ 8у + 2 = 0 и начертить ее эскиз.
|
2 |
I |
О т в е т . Простейшее уравнение кривой у i = |
— - j хъ координа |
|
ты вершины параболы Ох |
, — —j. Ось параболы параллельна |
оси абсцисс.
Мы выполнили ряд упражнений на упрощение уравнения па раболы у = ах2 + Ъх + с и видели, что упрощение этого уравне ния достигается параллельным переносом координатных осей без изменения их направления так, что но вое начало координат находится в вер шине параболы. Этим же преобразова
00нием координат (т. е. параллельным пе реносом) можно привести к простейшему (каноническому) виду уравнение любой линии второго порядка, если это урав нение не содержит члена с произведе нием текущих координат. Сейчас мы
выполним ряд таких упражнений. Задача 12, 13. Привести к простей
шему виду уравнение
|
х2 + |
2у2 — Ъх + 4у — 6 = 0. |
|||
Р е ш е н и е . Соберем члены уравнения, |
содержащие одну и ту |
||||
же переменную величину, и получим |
|
|
|
||
(х2 — Ъх) + (2у2 + 4г/) — 6 = |
0. |
||||
Из второй скобки вынесем коэффициент |
при у \ после чего |
||||
предыдущее уравнение примет вид |
|
|
|
|
|
(х2 — Ъх) + 2 (у2+ |
2г/) — 6 = |
0. |
|||
В каждой из скобок выделим полный квадрат и получим |
|||||
[(* ■ -| ) V- 7 ] + 2 Ki/ + |
I)2- |
И - |
6 = 0, |
||
или |
|
|
|
|
|
( * - 4 ) 2+ 2 (У+ |
1)2_ |
! _ |
2 _ 6 = 0, |
||
откуда следует, что |
|
|
|
|
|
( * - 4 ) ‘ + 2 |
( ! , + |
l)* |
= |
f . |
(Л)' |
Произведем теперь такую замену: положим, что
=У1 = У + Х-
Произведенная замена представляет собою не что иное, как преобразование координат всех точек плоскости параллельным
переносом координатных осей без изменения их направления. Сравнение последних соотношений с формулами (12, 2) показыва
ет, что новое начало координат находится в точке 02 —1j,
а уравнение (Л) принимает вид
*i + 2#i — .
Разделив обе части этого уравнения на 57 получим канони
ческий (простейший) вид данного уравнения
У2 ,,2
— + — = 1
57 ^ 57 ь
Заданное уравнение определяет эллипс с полуосями а = / 57
Ъ= / 5 7 , центр которого находится в первоначальной системе
координат в точке 0 2^ , —1 j . Таким образом, упрощение
уравнения этой линии достигнуто параллельным переносом начала координат в ее центр.
Задача 12,14 (для самостоятельного решения). Упростить па раллельным переносом координатных осей без изменения их
направления |
уравнение линии х2— Зу2+ 4х — 5у + 1 = 0 . |
||
О тв ет . |
Линия — гипербола. |
Центр ее находится в точке |
|
Ох ^— 2, — -g-j. Ее каноническое |
уравнение |
||
|
2 |
2 |
|
|
fi |
£ » _ 1 |
|
|
и |
и — к |
|
|
12 |
36 |
|
Задача 12, 15 (для самостоятельного решения). Упростить уравнение кривой
2х2+ Зу2— х + у = 0.
Ответ . Кривая — эллипс с центром .в точке 02 — -jl)
в исходной системе координат. Простейшее уравнение кривой
х2 и2
J5 + 5_ ь
48 72
Задача 12,16 (для самостоятельного решения). Привести к ка ноническому виду уравнение линии
Ах2— у2— 8х — Зу — 9 = 0.
Ответ . |
Линия— гипербола |
с центром в |
точке 0(1, ^ 3 ) |
в исходной |
системе координат. |
Каноническое |
уравнение линии |
В задачах 12, 14—12,16, как и в задаче 12,13, упрощение уравнений линий достигнуто параллельным переносом начала координат в центр этих линий.
ТРИНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
С о д е р ж а н и е : Преобразование координат поворотом координатных осей без изменения начала координат.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Если ср — угол поворота, х и у — первоначальные координаты точки, хх и Ух— координаты той же точки в новой, повернутой системе координат, то имеют место формулы
х = ххcos <р— ухsin <pl
у = ххsin <р + |
yxcos <р/ |
и |
t/sintp |
хх ==A: COS с р + |
ух = — xsincp-f t/cos<p
(13,1)
(13, 2)
Задача 13,1. Чему будут равны координаты |
точки А (]/"3, |
2), |
||||||||||
если повернуть оси |
координат |
на угол |
+60° |
без |
изменения |
на |
||||||
чала координат. |
|
|
формулами (13,2). Тогда так |
как |
||||||||
Р е ш е н и е . |
Воспользуемся |
|||||||||||
|
|
|
cos 60° = у |
, a sin 60Q= ^ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Хг = УЪ- у |
+ 2 - ¥ : |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
*/1 = |
- ] / 3 . |
/ 3 |
2 |
1 . |
|
_1_ |
|
|
|
|
|
|
— |
+ 2 - т , |
i/i = — 2 * |
|
|
|
|||||
Задача 13,2. Координатные оси прямоугольной системы коор |
||||||||||||
динат |
переносятся |
без изменения |
направления |
осей |
в |
точку |
||||||
Ох (3, |
—1) и |
поворачиваются |
на угол 30°. Найти новые коор |
|||||||||
динаты точки А, если старые ее |
координаты |
были |
А (3, |
4) |
||||||||
(фиг. |
13, 1). |
перенесем |
параллельно |
координатные оси, |
не из |
|||||||
1) Сначала |
меняя их направления, в точку (3, —1). По формулам (12,2) получаем ух = 0; ух = 5.
2) Повернем теперь оси координат х101у1 на 30°; координаты точки в системе координат хг01у 2 найдутся по формулам (13,2), в которых надо заменить хг на х2, Ух на у2, х на х1г а у на ух.
Получаем
хг = ххcos <р+ |
yi sin <р, |
у2 = — XiSintp + уг cos<р. |
|
Подставляя в эти формулы sin <р= |
sin 30° = у ; cos 9 = cos 30° = |
1 з |
х2= 0; |
Ух = 5, будем иметь |
искомые координаты точки |
|
2 |
||||
|
|
|
||
|
|
х, |
5 / з |
|
|
|
2 • |
Оп р е д е л е н и е . Гипербола, определяемая уравнением х2— у2 =
=а2, называется равносторонней.
Задача 13, 3. |
Какой |
вид примет уравнение равносторонней ги |
|||||||||
перболы х2— у2 = а2, |
если |
оси |
координат |
повернуть |
на угол |
||||||
<р = — 45° (фиг. |
13,2)? |
|
9 = |
— 45°, то |
|
|
|
|
|||
Р е ш е н и е . |
Так |
как |
|
|
|
|
|||||
|
sin <р= |
|
/ 2 . |
|
— |
/ 2 |
|
|
|||
|
-----, |
cos 9 = |
, |
|
|
||||||
х — х г • |
/ 2 |
, |
|
/ 2 |
|
Y ? |
|
|
|||
— h Ух •— |
1I х = — ( Х х + у х ) ; |
|
|||||||||
|
|
/ 2 |
. |
|
/ 2 |
|
|
/ 2 . |
, . |
|
|
У — — Xi — |
+ У1 ~2~ ’ |
У — |
— (— *1 + У д |
|
|||||||
Подставляя |
эти |
значения |
х |
и у |
в уравнение |
гиперболы |
|||||
х2— у2 = а2, будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
= а*
у [(*1 + У1)2 — (УI — *i)2] = a2.
Отсюда получим
у (*1 + Ух — Ух + *i) (*1+ У1 + Ух — хд = а2.
окончательно
2х1у1 == а2, или ххух = у .
Это и есть искомое |
преобразованное |
уравнение |
равносторонней |
||
гиперболы. Так как |
у равносторонней гиперболы b = а, то урав- |
||||
|
ь |
ь |
и |
а примут |
вид |
нения ее асимптот у = —х и у = — —х |
при о = |
||||
У = х и у = — х. |
|
|
|
|
1-го |
Эти прямые перпендикулярны и являются биссектрисами |
и 2-го координатных углов. Значит, если асимптоты равносторон
ней гиперболы принять |
за координатные оси, то уравнение рав |
носторонней гиперболы |
(если опустить индексы у хх и у^ при |
мет вид |
а* |
|
|
|
ху = т . |
Это уравнение носит название уравнения равносторонней гипер болы относительно ее асимптот (фиг. 13,3). Его следует запомнить.
Если бы мы сделали поворот осей не на — 45°, а на -)- 45Q (фиг. 13,4), то уравнение гиперболы приняло бы вид
а2
Х1У1 = — у .
Опуская индексы в уравнении |
а2 |
= — у , мы получили бы |
уравнение равносторонней гиперболы относительно ее асимптот
по