книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

условию dt = 2d2,

ИЛИ

Зх + Ъу I

0 Ъх —Ъу

Отсюда или

/34

1

У34

5j/____„ 3* — Ъу

3*

(A)

УМ

~

/3 4 ’

или

Здс + Ъу

0 3* — Ъу

(B)

У34

~

У М '

Из

(Л)

следует,

что

Зх +

Ъу = —6* + Юг/; х = ^ у .

Из

(В)

вытекает,

что

6* — Юг/;

Зх -f Ъу =

Зле — 15г/ =

0;

х = 5г/.

Полученные соотношения

5

зависимости

х — Ъутлх = -^ у есть

между абсциссой и ординатой искомой точки.

Подставим сначала

х =

5у в уравнение данной гиперболы. Из условия задачи gg —

1,

2 Ъ £ _ У ± _ ,

откуда

01 =

ЗУ 2

ЗУ 2

у нас

х =

25

9

’

—Г", 02=

;

4

=

5г/,

т.

е.

\ъУ~2

х2=

15 У 2

как и х, а

потому, так как

абсцисса х

положительна,

ордината

не может быть отрицательной. Значение

у2 —

3

----- ^— должно

быть отброшено и окончательно

15 У 2

зУ 2

Ж= —4— . У ~ —

•

Убедитесь

самостоятельно,

что

зависимость

х =

у приводит к

мнимым значениям у. На этой гиперболе нет точки,

для которой

х =

у. Таким образом, есть только

одна

точка (

15 У 2 з У ! \

удовлетворяющая условию

задачи.

4

•

4 /’

решения).

Найти

острый

Задача

11,9 (для самостоятельного

угол

между асимптотами

гиперболы,

если

ее

эксцентриситет

равен

2.

У к а з а н и е .

Воспользоваться формулой (11,4) и

заменить в

ней с по формуле

(11, 2),

откуда

должно

получиться соотношение

4а2 = а2 +

ft2,

За2 = ft2,

ft= ± а У з ,

~

= ± УЗ .

Подставляя

это значение ~

в уравнения асимптот гиперболы

(11, 5),

получим

У = -f У З х и у = — У Зх .

Угол между асимптотами найдем по формуле

k\ --k%

tg 9 =

1 *ф- k\ft2

где

= У 3,

k2 — — У

3.

Отсюда заключаем, что угол <р = 60е*.

Задача 11,

10. Дана

равносторонняя гипербола

хг —у* = 8.

гиперболы, если

известно,

что

эллипс

проходит

через

точку

А (4, 6).

Уравнение

гиперболы

преобразуем

к

простей-

Р е ш е н и е .

у2

1, a2=

ft2= 8.

Из

соотношения

шему виду и получим-g-—

=

(11, 2) получаем,

что с = 4.

Значит, координаты фокусов

гипер­

болы F2(—4,0)

и Fx(4,0).

В

этих

точках находятся

фокусы эл­

липса. Обозначим

большую

и

малую

полуоси

эллипса

через at

и bv Расстояние между фокусами эллипса такое

же,

как

и рас­

стояние между

фокусами

гиперболы.

Поэтому

половину

этого

расстояния по-прежнему обозначаем

через с.

Но у эллипса

c = V

а \ - Ь \ ,

т .е .4 = j/'c i

=

6?

и а? — 6? =

16.

(А)

Для определения ах и Ьх нужно найти еще одно соотношение,

связывающее их. Искомое уравнение эллипса запишется

так:

х1

а-У 1 -

1

(В)

lа\

2

I"°\/,2

Поскольку

точка А (4,6)

лежит

на

эллипсе,

ее

координаты

* Угол между

асимптотами

может быть найден также

из таких сооб­

ражений: угловой

коэффициент

одной

асимптоты

kx = Y 3, а

другой

ki =

=f—V "3. Это значит, что асимптоты

составляют с положительным направле­

нием оси Ох углы в 60 и 120°, а

следовательно,

острый угол ср между

ними

равен 120 — 60° =

60°.

а? — Ь\ = 16

|

36а? +

166? = a?b?

1 *

откуда а? = 64; Ь? = 48. Подставляя эти значения в (В), находим

искомое уравнение

= 1.

ке

0,

)а директриса

АВ

имеет уравнение х =

—

Па­

рабола у2= 2рх расположена

так, как указано на фиг.

11,1

(запомните,

что фокус

пара­

болы лежит на ее оси сим­

метрии).

Задача 11, 11. Как распо­

ложена

относительно

коор­

динатных осей

линия

у2=

= — 2рх (р > 0)? Какая

это

линия?

Р е ш е н и е . Прежде всего

замечаем, что эта кривая про­

так

как

координаты

точки

(0, 0)

ходит через

начало

координат,

удовлетворяют ее уравнению.

значении у

Левая часть уравнения при любом вещественном

положительна, значит, и

правая часть

также должна быть

поло­

жительной. Так

как величина

/?>0 по условию, то это будет

иметь место

только

тогда,

когда

величина х не

является

поло­

жительной,

т. е.

когда

х <

0.

Значит, х не может принимать

положительных значений. Из

уравнения у2= — 2рх

видно,

что

при замене в нем у

на — у оно не изменится. Это говорит о том,

что кривая

расположена

симметрично

относительно оси Ох.

Ка­

кая это

кривая

линия?

Замена

в этом

уравнении х

на

Возьмем

параболу у2 = 2рх.

— х переводит параболу

в

кривую у 2= — 2рх.

Следовательно,

рассматриваемая

кривая

у2=

— 2рх

расположена

симметрично

параболе у2= 2рх

относительно

оси

Оу. Значит,

кривая

у2 =

= — 2рх — тоже

парабола. Ее фокус

и

директриса

симметричны

фокус имеет координаты

—-■ , о \ а директриса определяется

уравнением х =

(фиг.

11,2).

Составим теперь уравнение параболы, исходя из известного

У

F -----------

-с\М (х ;у)

0

расстояния

между двумя точками FM = j / ' х? + ^у — j3.

ри/)

(^ + зг)2’ координаты любой точки кривой удовлетво­

Исследуем теперь расположение

этой параболн относительно

координатных осей.

1. Точка с координатами (0,0)

лежит на параболе,

так как

из уравнения параболы усматриваем,

что при х = 0 и у = 0,

т. е. парабола у — ах2 проходит через начало координат,

являю­

щееся вершиной параболы.

у — ах2 не изменяется.

2. При замене х на —х уравнение

Фиг.

11,4.

Фиг.

11,5.

3.

Так

как по

предположению а >

0,

то

при любом

х,

как

положительном, так и отрицательном, будет

у >

0.

Это значит,

что кривая расположена над осью Ох.

4. При возрастании х по абсолютной величине будет воз­

растать

и

у.

Парабола у = ах2(а >

0)

имеет вид,

указанный

на фиг.

11,4.

Координаты фокуса этой

параболы

найдем

так:

у

нас

OF =

,

или с

учетом

того,

что ^

= а,

получим

р =

=

5й ’

Итак,

фокус

параболы

у — ах2

имеет

коорди­

наты

(о,

.

Если в уравнении параболы

у = ах2

у

заменить

Фиг. И,9.

Р еш ен и е . Так как

осью симметрии

параболы служит ось

Ох, а вершиной — начало

координат, то

парабола может быть

определена одним из уравнений у2= 2рх

и у2 = —2рх. Параметр

параболы р есть расстояние от директрисы

параболы до фокуса.

сом координатной системы без

изменения направления осей и

2) поворотом осей.

прямоугольных координат с Раз*

Если имеются две системы

У = У1+ Уо

(12, 1)

где х, у — координаты точки в первоначальной

системе коорди­

нат, хи уг— ее координаты в

новой системе

координат, а х0,

у0— координаты нового начала

0Х в первоначальной системе ко­

ординат.

Ху = х — х0

(12, 2)

У1 = У— Уо.

Первоначальную систему координат иногда называют исход­

ной, иногда — старой.

некоторой си­

Задача 12,1.

Координаты точки относительно

стемы координат х = 2, у = —1. Чему будут

равны координаты

этой точки, если, сохраняя направления

осей,

перенести

начало

координат в точку:

а) (7, - 4 ) ;

б)

(4, - 2); в)

(2, - 1); г)

( - 1,

- 4 ) .

Р е ш е н и е ,

а)

По

формулам

(12,2),

полагая

я них

х = 2,

*о = 7, У = —1, Уо= —4, получаем хг = 2 — 7;

= —1 — (—4)>

отсюда новые координаты точки хг = —5; ух = 3.

Случаи б), в) и г) решите самостоятельно.

О тв ет , б) ( - 2, 1);

в) (0, 0); г) (3,3).

Задача 12, 2. Относительно двух систем координат хОу и x ft^ i,

имеющих одно и то же направление осей,

координЗты некоторой

точки (12, —7)

и (0, 15). Чему равны координаты начала каждой

из этих систем относительно другой? Сделайте

чертеж.

Р е ш е н и е . По формулам (12, 1),

полагая в них х =

12, хх = О,

У — — 7, Ух— 15, получаем координаты нового начала

в системе

координат хОу:

12 = 0+ х0,

х0=

12,

—7 = 15 -Ь ^о,

у0 =

—22.

Ответ: (—8, 4).

Задача 12, 4

(для самостоятельного решения). Как изменятся

координаты любой

точки А (х, у), если за ось абсцисс принять

ось ординат,

а за

ось ординат — ось абсцисс?

Ответ .

Абсцисса и ордината точки поменяются местами.

Геометрический смысл квадратичной функции:

у = ах2+ Ьх + с.

Задача 12,5.

Уравнение у = ах2+ Ьх + с преобразовать так,

Р е ш е н и е . В учебнике Привалова на стр.

113 проведено ис­

следование кривой, определяемой уравнением

у = ах2-f- Ьх + с

Прибавим к нему

и вычтем

из него

, отчего выражение

не изменится. Получим,

что

*a + f * = ** + 2 ‘

— ( £ )•

Легко усмотреть,

что

сумма первых трех подчеркнутых ела*

гаемых равна |х +

,

а

потому

окончательно

2 ,

Ь

I

, ь у

Ьг

х2+ Т х = [х +Та) - 4 3 -

Тем самым мы из х2+

^ х выделили

полный квадрат суммы

двух слагаемых: (х +

.

Теперь выражение

(Л)

может быть переписано так:

лучим

/ .

ь у

б2

y =

a (X +

2i)

— Га+ С '

или

[ ,

Ь \2

,

4ас — Ь*

У=

а (* +

й )

+

4а

а отсюда следует, что

А

4ас — б2

= а ( * + й ) 2-

у------—

( В )

_

b

#f

Аас— Ь2

(С)

Х° ~

2а ’

Уо=

4а ’

Подставляя эти значения х0 и у0 в формулы (12, 1),

получрм

х — xi — Тп' У = У1 +

4а

1

или

4ас — Ь2

х1 = х + 23, У\ = У—

(D)

4а

‘