книги / Механика деформирования и разрушения горных пород

Для аппроксимации единой кривой ь работе [31 ] предлагается использовать параболу

где к2 — коэффициент, значения которого для различных типов пород приведены в работах [31, 32].

Рассмотренные выше особенности пластического дефор­ мирования горных пород, а также приведенные в работах [31, 32], позволяют сформулировать уравнения пластического деформирования горных пород. Традиционно при этом они могут быть записаны в рамках деформационной теории пластичности или теории пластического течения.

Уравнения деформационной теории пластичности. Основные положения деформационной теории пластичности горных пород:

1)тело изотропно;

2)относительное остаточное изменение объема горной по­ роды при пластическом деформировании может быть записано

ввиде зависимостей (1.22)—(1.26), что следует из результатов экспериментальных исследований;

3)тензор деформации ТЕ является функцией тензора на­ пряжений Т0

Выбирая в качестве тензоров девиаторы напряжений и де­ формаций, можно показать [32], что в самом общем виде связь между ними для любого изотропного нелинейного тела может быть представлена в виде

где Dt, Da— девиаторы деформаций и напряжений; Т ,— еди­ ничный тензор; /2(£>0) — второй инвариант девиатора напряже­ ний; х, Y — некоторые искомые функции инвариантов девиатора напряжений.

Опытами установлено, что при простом нагружении имеет место подобие напряженного и деформированного состояний. В этом случае между девиаторами деформаций Dz и напряжет ний Da существует линейная связь

Уравнение связи (1.48) получило широкое распространение. При простом цагруясении или близком к нему, результаты расчетов по деформационной теории пластичности и теории пластического Течения согласуются;

4) упрочнение пород в процессе пластического течения описывается единой кривой деформации независимо от вида

напряженного состояния, определяемого показателем с. В ка­ честве кривой может быть принята одна из зависимостей, определяемых уравнениями (1.43) или (1.44).

В предельном состоянии компоненты напряжений удовлет­ воряют одному из приведенных выше условий пластичности, которые служат для определения искомой функции %. Полные деформации при пластическом деформировании складываются из пластических и упругих составляющих:

где efj, 0е— соответственно упругие составляющие деформации

иизменения объема, определяемые на основе закона Гука.

Уравнения теории пластического течения. Запишем уравнения

теории в скоростях деформирования. Исходя из особенностей процесса пластического деформирования горных пород примем следующие основные положения теории:

тело изотропно; скорость остаточного изменения объема горных пород при

пластическом деформировании может быть записана в виде уравнения (1.27) или (1.28);

девиатор скорости пластической деформации Д связан

сдевиатором напряжения Д„ зависимостью, аналогичной (1.47),

вкоторой вместо Д нужно записать Д . При этом в первом приближении могут быть использованы связи вида (1.48).

Полные скорости деформации ёи при пластическом дефор­ мировании складываются из скоростей пластических èfj и уп­ ругих èf) составляющих:

Инкрементальный закон пластического деформирования. Для описания пластического течения и дилатансии горных пород в работе [43 ] предлагается использовать инкрементальные соотношения, которые для плоской деформации имеют вид

d efj = {ац + Н 8и sin p sinv—1 /2ач ôfJ- ( 1 + sin p sinv)} d X, (1.51)

где p, v— соответственно угол внутреннего трения и угол дилатансии; Я — сцепление; а — коэффициент внутреннего тре­ ния; defy— приращение пластической, деформации.

При этом условия пластичности и дилатансии имеют вид:

Основная система уравнений плоской и осесимметричной задачи теории пластического течения при условии пластичности (1.2) рассмотрена в работах [22, 23]. Получены уравнения характеристик и соотношения вдоль них. Например, для плоской задачи

совпадающую с аналогичной, имеющей место в случае со средой Кулона. Поэтому ряд важных и интересных следствий

при разрушении условию (1.2). В частности, в рассматриваемом случае справедливы предельные теоремы Гвоздева — Хилла.

Аналогичный вывод вытекает из анализа осесимметричной задачи в режиме Хаара — Кармана.

<л,мпа

-250

Рис. 2.2. Зависимость предельного напряжения мрамора т„ от скорости дефор­ мирования éj при различных значениях бокового давления ст2

На основании обработки результатов методами матема­ тической статистики и достоверностью не ниже разброса частных определений удалось [32] их представить в коор­ динатах lgèj и х в виде пучка лучей, выходящего из одного полюса. Каждый луч в этом пучке относится к одному

ходящие из одного общего полюса с координатой lgèt = 33. Каждая точка на графике построена в результате усреднения 5— 12 независимых испытаний такого же количества идентич­ ных образцов. Аналогичные зависимости получены и для пределов упругости. Разброс точек в этом случае оказался несколько больше, но не превышал 20%.

Экспериментальные точки, полученные в опытах при боковом давлении ст2 = 150МПа, не легли на луч, выходящий из общего полюса. Прочность мрамора при этом давлении с ростом

Таким образом, аппроксимация с помощью единого уравнения

10+2 с-1 экспериментальные точки легли не на луч с абсциссой

полюса lgèx = 33, а на пучок лучей с абсциссой lgèi=T,25, имеющих более крутой наклон. Результат, аналогичный дан­

ному, был получен А. Кумаррй (1968 г.) на образцах гранита, при исследовании которых в диапазоне скоростей lgèx = 3-^3,5 обнаружена более сильная зависимость прочности от скорости деформирования по сравнению с более низкими скоростями. Данный результат отвергает аппроксимацию результатов с по­ мощью единого уравнения.

На рис. 2.3 показана зависимость остаточной продольной деформации е", полученной при напряжениях на пределе прочности, от скорости деформирования Igèj. На рис. 2.4 по аналогии с рис. 2.3 показаны зависимости остаточного увеличе­ ния объема на пределе прочности 0" от lgèx.

При боковом давлении ст2 = 0 предельная пластичность достигает максимального значения е"=4 10-3 при èj = 102 с—1

получено при èx = 10 с-1 При всех других скоростях е"=(10-М5) 10-3 При ст2= 100 МПа (см. рис. 2.3, б) зависимость е" от lgèx имеет два максимума: один рри высокой скорости (ёх=с-1),

больше, чем при высоких скоростях. В промежутке между этими максимумами имеем е" = (204-30) 10-3.

Зависимость е" от lgèx при ст2 = 150МПа не имеет явно выраженных максимумов. По мере увеличения скорости пла­

скоростей пластичность в этой серии опытов стала несколько

Рис. 2.4. Зависимость предельных объем­ ных деформаций расширения мрамора 0Л от скорости деформирования èj при различных значениях бокового давления

<*2

разрыхление 0". Эти две величины связаны между собой с помощью коэффициента поперечной остаточной деформации, который является функцией бокового давления а 2 и не зависит от деформирования е".

На рис. 2.5 показана зависимость прочности диабаза от скорости деформирования. Каждая точка на графике — резуль­ тат усреднения 6— 12 независимых опытов, проведенных'с та­ ким же числом идентичных образцов.

Так же, как и в описанных выше результатах исследования на образцах мрамора, экспериментальные точки удовлетворительно легли на лучи, выходящие из одного полюса с абсциссой

lgèj = 30. Луч, относящийся к ст2 = 250 МПа, построен по трем точкам, которых в принципе недостаточно, чтобы по ним можно было бы с высокой достоверностью построить луч. Однако наличие соседних лучей ♦позволяет провести и этот, так как известна координата общего полюса.

Рис. 2.10. Экспериментальные зависимости, по­ лученные на образцах природной каменной соли Старобинского месторождения в условиях одноосного сжатия при различных скоростях деформирования:

а — пределы прочности 1 и упругости 2; б — пре­ дельные осевые деформации; в — предельные объемные деформации разрыхления

хорошо расположились на лучах, выходящих из одного полюса с координатой lgè1 = 19,5c-1

Предельная пластичность е" и разрыхленность 0" для этой

скорости пластичность в этой серии опытов снижается. Кривые разрыхления (рис. 2.9, б) качественно похожи на кривые пла­ стичности. Обращает на себя внимание значение разрыхления песчаника при сг2 = 100МПа, пористость которого составляет 20%. Даже столь высокая пористость в этих условиях опыта не может компенсировать эффекта разрыхления, приводящего к возникновению новых микротрещин и пустот. Явление закрытия существующих пор и пустот, безусловно, должно иметь место при боковом давлении а 2 = 100МПа, однако количественный эффект закрытия пор оказался подавленным эффектом разрыхления. В аналогичных условиях были ис­ следованы невыбросоопасный (НВО) и выбросоопасный (ВО) песчаники Донбасса, каменная соль Старобинского месторож­ дения, каменная соль из Таджикистана, калийная соль Ста­ робинского месторождения [32].

На рис. 2.10 показана зависимость пределов прочности каменной соли Старобинского месторождения .от скорости