книги / Теория химических реакторов. Введение в основные разделы курса

Рис. 18. Комбинированная модель с циркуляцией и зонами вытеснения

Рис. 19. Комбинированная модель с циркуляцией по трем замкнутым контурам (см. рис. 1)

71

гдеr = v1 + v2 + v3 – объемная скоростьциркуляции; N – число рециклов.

Отклик системы на импульсное возмущение (выходная концентрация) может быть вычислен по выражению

или, при переходе в Re-пространство,

то же для ступенчатой σ-функции Хевисайда:

6.4. Функции отклика некоторых типов реакторов

Выражения (117) и (118) позволяют найти функции отклика на возмущения различного типа для любого реактора, для которого установлен вид передаточной функции W(p).

Рассмотрим реактор идеального перемешивания, описываемый передаточной функциейW ( p) = 1+1τp . В соответствии с уравнением

(117) относительная концентрация на выходе при подаче на вход реактора импульсного концентрационного возбуждения может быть

представлена в пространстве изображений в видеc( p) = 1+1τp . Про-

72

здесь a – доля возвращаемого потока. Черта сверху над индексом а символизирует задержку по времени для введенного на вход импульсного возмущения, которое появляется на выходе из реактора

через время τ .

Это выражение не может быть непосредственно подвергнуто обратному преобразованию Лапласа, поэтому преобразуем его, для чего проведем простое деление «уголком» единицы на знаменатель,

который представим в виде разложения в ряд Маклорена (символ τ заменен на Т):

Получившееся при делении выражение может быть легко подвергнуто обратному преобразованию Лапласа, в результате чего получится формула, описывающая реакцию реактора идеального вытеснения с обратной связью на импульсный сигнал на входе:

Получается, что сначала с задержкой 1Т появляется единичный импульс размера а0, затем с задержкой 2Т появляется единичный импульс размера а1, далее с задержкой 3Т – импульс размера а2 и т.д.

76

Иначе говоря, реакция системы представляет собой бесконечный цуг равноудаленных импульсов, уменьшающихся по размеру в геометрической прогрессии.

Используя выражение (118), можно вычислить реакцию реактора идеального вытеснения с рециркуляцией на возбуждение в виде единичной ступеньки. Эта возможность предоставляется читателю.

Наибольший интерес вызывает реакция на стандартные типы возбуждений для реактора, не относящегося ни к одному из идеальных типов, т.е. к реактору с известным критерием Пекле.

В примере (19) приведено математическое выражение, позволяющее, в принципе, описать эту реакцию, однако во всех случаях неопределенными являются начальные условия А и В для решения дифференциального уравнения, что связано, в данном случае, с разницей понятий начальных и граничных условий. В связи с этим для решения этой задачи воспользуемся замечанием, резюмирующим поведение δ-импульса в реакторе идеального вытеснения, зафиксированном после уравнения (65): поведение следующих за фронтовым слоев будет просто повторять его поведение.

Вначале рассмотрим поведение одиночного δ-импульса в реакторе, характеризующемся собственным значением критерия Пекле.

Поведение порции индикатора, попавшей внутрь реактора, может быть описано двумя процессами: во-первых, она переносится потоком в сторону выхода из реактора со средней скоростью w, м/с, во-вторых, она постепенно размывается по объему реактора за счет диффузии. В случае реального реактора следует говорить, что это «размывание» связано с коэффициентом эффективной диффузии (Def), включающей в себя как истинную молекулярную диффузию, так и перемешивание за счет микроконвекционного движения в жидкости. В некоторых пределах можно считать, что такое перемешивание описывается уравнением типа Фика для молекулярной диффузии, в связи с чем для анализа можно воспользоваться классическим решением для обычной диффузии:

77

центрация ее практически равна нулю. Через 5 с максимум концентрации смещается вправо и значительно уменьшается по амплитуде. На выходе из реактора (x = 50) появляется аналитически определяемая концентрация метки, которая значительно увеличивается к 10-й секунде. Но уже к 16-й секунде концентрация метки, проходя через максимум, вновь снижается и далее, очевидно, достигает практически нулевой величины. Обращает на себя внимание, что снижение концентрации на выходе начинается после прохождения максимума кривой через координату выхода из реактора. Формально можно считать, что левый край кривой концентрации фактически приводит к появлению внутренней рециркуляции метки (или химического реагента).

Рис. 24. Смещение и диффузионное размывание концентрации метки, введенной на вход реактора

в виде δ-функции. C14(z): τ = 1, x = 4; C520(z): τ = 5, x = 20;

С1040(z): τ = 10, x = 40; C1664(z): τ = 16, x = 64; L = 50 (м); w = 4 м/с; Def = 1· 101

На рис. 25 показана выходная зависимость концентрации метки для параметров реактора, принятых для рис. 24.

79

Рис. 25. Реакция реактора с внутренним перемешиванием (Def = 10, L = 50, w = 4 м/с) на импульсное возмущение (концентрация на выходе)

На рис. 26 показано влияние критерия Пекле на скорость «размывания» концентрационного пика. Видно, что при большой величине Def (ближе к реактору идеального перемешивания, Pe – мал) пик размывается сильно, в то время как при большом значении критерия Пекле (Def – мало) он размывается слабо.

Рис. 26. Влияние критерия Пекле на интенсивность размывания импульсной пробы индикатора.

Сv(z) – локализация пробы индикатора при значении Def = 0,05 (модель вытеснения);

Csm(z) – Def = 5 (модель смешения); τ = 5 c, w = 4 м/с

80