книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела

Э.И. ГРИГОЛЮК В. И. ШАЛАШ ИДИН

ПРОБЛЕМЫ

НЕЛИНЕЙНОГО

ДЕФОРМИРОВАНИЯ

МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ

В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА

МОСКВА "НАУКА”

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 9 8 8

ВВЕДЕНИЕ.

В.1. Две формы метода продолжения решения по параметру В.2. Проблема выбора параметра продолжения я се связь с поведением реше­

ния в окрестности особых точек. :

Гл а в а I. ОБОБЩЕННЫЕ ФОРМЫ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ

1.1.Обобщенные формы непрерывного продолжения решения

1.2.Обобщенные формы дискретного продолжения решения

1.3.Примеры применения различных форм метода продолжения решения

1.4. Оптимальный и близкие к нему параметры продолжения решения. . . . .

1.5.Формы метода продолжения решения с частичной оптимизацией парамет­ ра продолжения .

Г л а в а 2. ПРОДОЛЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТЯХ ОСОБЫХ

ТОЧЕК.......................................................................................................................................

2.1.Классификация особых точек

2.2.Простейшая форма уравнений разветвления

Г л а в а 3. МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО^АЙАМЁТРУ В НЕЛИ­ НЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННШГДИФФЕРЕНЦИАЛЬ­ НЫХ УРАВНЕНИЙ...............................................................................................................

3.1. Непрерывное продолжение решения в нелинейных одномерных краевых

задачах. . . . ....................................................

3.2.Дискретног продолжение решения в нелинейных одномерных краевых задачах............................................................

3.3.Дискретная ортогональная прогонка..............................

3.4.Алгоритмы непрерывного и дискретного продолжения по параметру ре­ шения нелинейных одномерных краевых задач. .

4.2.Устойчивость нерастяжимой круговой арки под равномерным давле­ нием ...........................

4.3.Алгоритмы метода продолжения решения по параметру для больших про­ гибов круговой арки..................

4.4.Большие прогибы круговой орки при взаимодействии с жесткой полу­

4.6.Тороидальная оболочка кругового сечения под равномерным внешни давлением.

Г л а в а 5. МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ В ЗАДАЧАХ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК, ФОРМА КО­ ТОРЫХ ОТОБРАЖАЕТСЯ НА КАНОНИЧЕСКУЮ....................................................

5.1.Общая формулировка метода продолжения по параметру в задачах на собственные значения'

5.2.Собственные колебания параллслограммной в плане мембраны

5.3.Собственные колебания трапециевидной в плане мембраны. .

5.4. Задачи на собственные значения для однородных и трехслойных пластин и сферических панелей параллслограммной и трапециевидной формы в плане. Мембранная аналогия . . .

5.5. Решение методом возмущений для параллслограммной в плане мембраны

ПРИЛОЖЕНИЯ

I. ОБЗОР РАБОТ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕ­ ШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ ТВЕР­ ДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА....................................................

1.1.Общая формулировка метода продолжения решения по параметру

1.2.Продолжение решения в окрестности особых точек и проблема выбора

1.3.Различные формы метода продолжения решения.

1.4.Применение к геометрически нелинейным системам

1.5.Использование метода продолжения совместно с методом конечных

1.6.Метод продолжения в физически нелинейных задачах.

1.7.Сравнение различных форм метода продолжения

Интерес к нелинейным задачам н механике подкреплен и усилен сейчас теми возможностями, которые предоставили вычислительные машины. В этих условиях актуально создание таких методов решения, которые могли бы быть применены к возможно более широкому классу задач. Один из таких классов образуют нелинейные задачи с параметром. Для них, как правило, существен вопрос об изменении решения по мере изме­ нения параметра. Поэтому метод продолжения решения по параметру для них представляется естественным и в определенной степени универсаль­ ным инструментом исследования. В настоящей книге изложен опыт и ре­ зультаты применения этого метода к близкому авторам классу нелиней­ ных задач механики твердого деформируемого тела.

Во Введении представлены две формы метода: непрерывное продолже­ ние, основанное на интегрировании задачи Коши по параметру с помощью явных схем, и дискретное продолжение, реализующее шаговые процессы по параметру с итерационным уточнением решения на каждом шаге. Здесь же обсуждаются трудности, возникающие при продолжении решения в ок­ рестности особых точек, и ставится проблема выбора параметра про­ должения.

В главе 1 построены обобщенные формы метода, обеспечивающие едино­ образие процесса продолжения решения в регулярных и предельных точках множества решений. Показано, что проблема выбора параметра связана с решением линеаризованных систем уравнений традиционным методом исключения и что она не возникает при использовании для этого метода ортогоналиэации. Показано также, как строить процесс продолжения ре­ шения, чтобы линеаризованные системы были максимально обусловлен­ ными, и как выбирать оптимальный в этом смысле параметр продолжения. Здесь.рассмотрены примеры применения метода к таким модельным зада­ чам, как пологая арка и трехстержневая ферма.

Глава 2 посвящена анализу поведения решения в окрестности особых точек на основе разложения решения в ряд Тейлора по обобщенному па­ раметру в окрестности особых точек. Построена простейшая форма урав­ нений разветвления и рассмотрен простейший случай ветвления, когда оно происходит в двумерном подпространстве пространства переменных и па-

раметра, а также проведен анализ ветвления в трехмерном подпростран­ стве.

В главе 3 рассмотрены нелинейные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Использование метода прогонки для реше­ ния линеаризованных краевых задач позволило отобразить функциональ­ ное множество решений нелинейной задачи на кривую в векторном прост­ ранстве малой размерности, а это, в свою очередь, дало возможность обоб­ щить методы гл. 1 на нелинейные краевые задачи.

В главе 4 методы гл. 3 использованы для построения решений в задачах о больших прогибах арок и больших осесимметричных прогибах оболочек вращения. В частности, приведены результаты численных расчетов для круговых арок и круговых торообразных панелей.

Вглаве 5 рассмотрен пример применения метода продолжения решения по параметру в задачах устойчивости и колебаний пластин и оболочек, имеющих неканоническую форму в плане, отклонение которой от канони­ ческой (прямоугольник, круг и т.п.) определяется некоторым парамет­ ром. Задача рассмотрена на примере колебаний мембран параллслограммной или трапециевидной форм. С помощью мембранной аналогии резуль­ таты обобщены на задачи колебаний и устойчивости плоских и пологих сферических панелей. В такого рода задачах часто применяется метод возмущений. Поэтому проведено сравнение методов возмущения и продол­ жения решения по параметру.

ВПриложении I дан обзор исследований, в которых метод продолжения решения по параметру непосредственно использован для решения нелиней­

ных задач механики твердого деформируемого тела, а также тех работ, где использовались шаговые процессы построения решения, которые мо­ гут быть отнесены к той или иной форме этого метода.

При выборе степени общности изложения материала авторы останови­ лись на той, которая требует от читателя знания математики в объеме, традиционном для технического ВУЗа. Некоторые необходимые для чте­ ния книги дополнительные сведения об алгебре векторных пространств даны в Приложении II.

Книга подводит итог публикаций авторов начиная с 1976 г. Работа по ее написанию распределилась следующим образом: В.И. Шалашилин на­ писал гл. 13 и 5 ,остальные разделы написаны авторами совместно.

Авторы благодарят члена-корреспондента АН СССР профессора И.И. Воровича и профессора А.С. Кравчука за труд по рецензированию рукописи; высказанные ими замечания учтены в окончательной редакции книги и, несомненно, способствовали ее улучшению. Авторы также признательны А.Я. Бородину за помощь в проведении численных расчетов.

ВВЕДЕНИЕ

Многие задачи механики твердого деформируемого тела сводятся или могут быть сведены к решению систем нелинейных алгебраических, транс­ цендентных, дифференциальных или интегральных уравнений, содержащих в явном виде параметр. Это задачи статического нелинейного деформиро­ вания, устойчивости, оптимизации и др. Параметр, входящий в такие нели­ нейные уравнения, может быть параметром нагрузки,температурного поля, геометрическим или конструктивным параметром и тл.

Исторически первой задачей такого рода была возникшая и исследован­ ная в трудах Я. Бернулли, Л. Эйлера, Ж.Л. Лагранжа задача деформирова­ ния гибких стержней (задача эластики), являющая пример геометрически нелинейной задачи, сводящейся к краевой задаче для нелинейного диффе­ ренциального уравнения

Трудности, возникающие в геометрически нелинейных системах, видны уже при анализе процесса деформирования простейшей двухстержневой

системы - фермы Мизеса, показанной на рис. В.1. Уравнение равновесия узла А фермы имеет вид

где ТУ - сжимающие усилия в стержнях, а - угол между стержнем и вертикаль!Ь. Если а в недеформированном состоянии равен Оо. го укорочение

стержней равно

аа

При деформации стержней в пределах закона Гука связь между усилиями N и укорочением стержней линейна:

N10

(в)

ЕР

где Р, /0 - площадь сечения и недеформированная длина стержня, Е —мо­ дуль упругости материала при растяжении. Для фермы Мизеса наиболее наглядную информацию о ее свойствах дает диаграмма, связывающая уси­ лие Р с вертикальным перемещением V узла А, показанная на рис. В. 2. К ней можно перейти, добавив к соотношениям (а) - (в) связь между углом а и перемещением в :

Однако аналитическая форма решения может быть получена лишь в исклю­ чительных случаях. Даже если в этой же задаче рассмотреть неидеальные стержни и учесть их продольный изгиб, то аналитическое решение стано­ вится невозможным. В этом случае соотношение (в) заменяется на следую­ щие зависимости:

N10

Д/ =

Здесь предполагается, что начальная' форма неидеальных стержней имеет вид полуволны синусоиды

N - критическая сила для стержня. (Подробно соотношения (д) построены и рассмотрены в § 1.3.)

Диаграмма Р(р) существенно усложняется н принимает вид, показан­ ный на рис. В.З. Кривая 0 - 2 - 3 - 4 - б соответствует деформации фермы с идеально прямыми стержнями без учета^ютери ими устойчивости, кривая 0 - 1 - 3 - 5 - 6 показывает деформацию такой же фермы, но с учетом потери устойчивости стержней (участок 1 - 3 - 5 ) . Кривая 0 - 7 - 3 - 8 -6 демонстрирует деформацию фермы с неидеальными стержнями.

Уравнения (а), (б), (г), (д) представляют собой систему пяти алгебраи­ ческих и трансцендентных уравнений относительно шести неизвестных величин /’.УУ, Д/, а, V. н\ Как правило, системы таких уравнений нельзя решить аналитически н их решают численно. При этом задаются рядом значений одной из неизвестных величин, принимая ее за параметр, а осталь­ ные неизвестные находят. Уже в этом простом примере видно, что в качест­ ве параметра предпочтительнее выбрать смещение о, так как для некоторых значений Р система имеет три решения. Последнее обстоятельство сущест­ венно осложняет процесс численного построения решения.

Еще большие трудности возникают при решении задач деформирова­ ния таких систем, как пологие арки и пологие оболочки. В частности, как это показано в работе [107], для пологой арки (рис. В.4) связь между нагрузкой ^ и усилием распора N имеет вид петлеобразной кривой (рис. В.5) . Уравнение, связывающее ?иЛ г,приведено в § 1.3.

Аналогичные особенности имеют решения для пологих оболочек (рис. В.б). Поведение таких оболочек, как известно (см., например, [65]), описывается известной системой нелинейных уравнений Маргерра - Власо-