книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела

Новое предложение по прохождению предельной точки высказано в работах [386, 375], где для этого предлагается использовать экстраполя­ цию в виде степенного ряда. Но дальнейшие исследования, по-видимому, показали неэффективность такого подхода, и уже в следующей работе [385] авторы использовали алгоритмы со сменой параметра. Сходный алгоритм, а также анализ эффективности различных параметров продол­ жения даны в [56].

В статье [332] подробно исследован один из предложенных в [353, 113] способов задания параметра продолжения. В статьях [333, 264] использованы также и другие алгоритмы из [353, 113], но уже без ссылок на эти работы.

Общий случай ветвления кривых в настоящее время не исследован. Результаты для случая, когда компоненты вектор-функции являются ана­ литическими функциями неизвестных и параметра и начало которым поло­ жили известные исследования А.М. Ляпунова [240] и Е. Шмидта [505], приводятся в монографиях [147, 53, 212].

Особый интерес для приложений в механике твердого деформируемого тела представляет случай, когда существует такая функция V, что компо­ ненты вектор-функции Р выражаются в виде

Э V

Основы исследования этого случая заложил А. Пуанкаре [403]. Оно было продолжено работами Н.Г. Четаева [346], Литтлетона [453] н др. Для упругих систем анализ поведения решения вблизи точек бифуркации мето­ дом возмущений дал Койтер. Полученные им результаты суммированы в работе [441]. Подход Койтера использовался и развивался в большом количестве исследований, обзор которых дан самим Контером [442].

Наиболее полный анализ поведения упругих систем с конечным числом степеней свободы в окрестности точек бифуркации для случая, когда в особой точке ответвляется только одно решение , провел Томпсон [521, 522]. Он подробно исследовал признаки, отличающие предельные точки от точек ветвления, исследовал характер ветвления и поведение возму­ щенных решений. Результаты этих исследований суммированы в моно­

Исследованию более сложных случаев ветвления, осложненных крат­ ностью корней, посвящены работы [503, 504, 359,487,424].

В теории ветвления стали привлекаться методы теории катастроф

[524,331,444,445].

Метод продолжения решения для деформируемых систем в окрестности точки бифуркации равновесия, основанный на методе возмущений с удер­ жанием членов разложения в ряд Тейлора до второй степени, рассмотрен и реализован Терстоном [527, 528]. Такой подход позволил в простейшем случае бифуркации разделить ветви решения и продолжить решение вдоль одной из них.

Классификации особых точек для нелинейных уравнений деформируе­ мых сред и особенности продолжения решения в их окрестности обсужда­ лись и исследовались в целом ряде работ киевских ученых [52, 80, 23, 25] и др. Эти работы обобщены в монографии [129]. Отметим здесь также книги [123,317].

Широкий круг вопросов, связанных с ветвлением решений для нелиней­ ных дифференциальных уравнений, в том числе и уравнений для различных задач упругого деформирования, рассмотрен в сборнике статей [387] и в статьях [44,17,234].

Вариант численного анализа поведения системы в окрестности особой точки предложен в [411], где на основе касательных матриц жесткости в точках до и после особой точки строится задача на собственные значения для разделения бифуркационных ветвей.

1.3.Различные формы метода продолжения решения

Впервые для анализа деформируемой системы метод продолжения ре­ шения по параметру применил, по-видимому, Х.-Х. Лин [452]. Он рассмот­ рел поведение неидеальной продольно сжатой стойки с реальной диаграм­ мой о(е). Были сформулированы уравнения в приращениях с учетом сдвига нейтральной линии в области неупругого поведения материала и прослежена деформация стойки по параметру возрастающей сжимающей нагрузки.'

Общая формулировка метода продолжения решения по параметру для нелинейныхдеформируемых систем была высказана в двух работах [276, 232], которые определили две различные формы метода.

В.В. Петров [276], развивая идею В.З. Власова, разбил процесс нагру­ жения оболочки на серию последовательных нагружений, в каждом из кото­ рых приращение нагрузки мало. В предположении, что на каждом шаге нагружения приращение прогиба и функции напряжений также малы, им сформулирована рекуррентная последовательность линейных краевых задач для этих приращений.

Для описания нелинейного поведения оболочек были использованы уравнения конечных прогибов пологой тонкой упругой оболочки Маргерра, краевая задача для которых может быть записана в вице

Здесь кроме традиционных обозначений (см., например, [65]) введены следующие: Р — параметр нагрузки, форма которой определяется функ­ цией 2 (х, у); Г (IV, Ф) |п - совокупность линейных относительно функ­ ций прогиба IV и усилий Фи не зависящих от параметра нагрузки условий на граничном контуре П оболочки. Изложенный ниже подход без труда обобщается на нелинейные и зависящие от параметра нагрузки граничные условия.

Обозначим производные от Ф, IV и/* по некоторому парамефу X через соответствующие строчные буквы, т.е.

Параметр X выберем так, чтобы ненагруженной оболочке соответство­ вало X = 0. Тогда

Продифференцируем по X уравнения (1.3.1), с учетом принятых обозна­ чений (1.3.2) получим

Соотношения (1.3.2), (1.3.3) могут быть поняты как задача Коши по пара­ метру X, к интегрированию которой применимы известные вычислительные схемы (см., например, [35, 244]). Так, интегрирование методом Эйлера при отождествлении параметра продолжения X с параметром нагрузки Р

Г ( ^ , , ^ | п =0.

Эти уравнения в точности совпадают с уравнениями для приращений метода последовательных нагружений, построенными В.В. Петровым [276]. Изложенный здесь подход с точки зрения метода продолжения решения по параметру,' позволяющий легко строить различные уточненные (как явные, так и неявные) вычислительные схемы интегрирования задачи Коши и варьировать параметры продолжения, дан в работах [173, 348]. Уточненные схемы метода последовательных нагружений предлагались также в статьях [176, 14, 177, 181, 180]. Подробное изложение метода последовательных нагружений и полученных с его помощью результатов дан в монографии [284].

Отметим, что применение метода продолжения решения в изложенной выше форме требует решения на каждом шаге по параметру линейных краевых задач вида (1.3.7).

Другая форма метода дана А.А. Курдюмовым [232]. Для решения систем нелинейных алгебраических уравнений вида (1.1.1), полученных методом Ритца, он предложил использовать непрерывное продолжение по параметру нагрузки. В работе [69] эта же форма продолжения по парамет­ ру применена к нелинейным уравнениям метода Бубнова. Во избежание вычислительных, трудностей в окрестности предельной точки продолжение решения предлагается осуществлять по некоторому комплексному пара­ метру, в частности сделана попытка использовать в качестве параметра продолжения решения длину кривой решений К.

Связь между этими двумя формами метода продолжения решения уста­ новлена В.В. Петровым [278]. Он установил, что система линейных урав­ нений, полученная методом Бубнова из уравнений в вариациях, совпадает с линеаризованной системой типа (1.1.5), которая построена из нелинейных уравнений, полученных из уравнений исходной задачи методом Бубнова. При этом система аппроксимирующих базовых функций должна быть, разумеется, одна и та же. Численное сравнение проведено в работе [14].

Следует отметить, что применение метода продолжения решения непо­ средственно к уравнениям краевой задачи не связывает его численную реализацию с каким-либо конкретным способом алгебраизации исходной задачи и открывает возможности использования самых различных методов для решения пошаговых линейных краевых задач.

В рамках метода конечных элементов метод продолжения решения впервые был применен, по-видимому, в работе [529]. На основе идеи последовательных нагружений предложено для определения приращений обобщенных координат строить касательную матрицу жесткости с исполь­ зованием полученных на предыдущем шаге значений координат и усилий. Этот подход, по существу, равносилен интегрированию задачи Коши по параметру нагрузки методом Эйлера.

Отметим также раннее использование идеи продолжения решения по параметру нагрузки в статьях [200, 201] для решения нелинейных алгебраи­ ческих уравнений, порожденных применением вариационных методов к нелинейным уравнениям теории оболочек. В [200] последовательные нагружения сочетаются с экстраполяцией по параметру нагрузки, что явля­ ется одной из возможных явных схем интегрирования задачи Коши.по параметру. В работе [201] предлагается на каждом шаге получать решение методом последовательных приближений, что соответствует одной из воз­ можных неявных схем интегрирования начальной задачи. Эти подходы обобщены в монографии [199].

В [230] используется вариация по параметрам деформативности систе­ мы с конечным числом степеней свободы. Такой подход позволил рас­ пространить метод продолжения решения на задачи проектирования. Рас­ смотрены, в частности, вантовые системы и пологие оболочки.

Различные схемы метода продолжения решения, в том числе метод в форме Д.Ф. Давиденко, обсуждаются в работе [304] с точки зрения органи­ зации итерационных процессов при шаговом подходе к решению нелиней­ ных задач. Эти результаты развиты и обобщены в [305—307], где предла184

гаются различные способы ускорения сходимости итерационных про­ цессов типа метода Ньютона—Рафсона. Отметим, что эти предложения могут быть поняты как варианты неявных схем интегрирования задачи Коши по параметру.

Некоторые модификации явных схем интегрирования начальной задачи

.по параметру, связанные с уточнением традиционной схемы метода после­ довательных нагружений, предложены в работах [231, 256, 321]. В первый из них, по существу, предлагается процесс интегрирования по методу Эйле­ ра дополнить одной итерацией метода Ньютона-Рафсона. Позже такая мо­ дификация шагового процесса использовалась в [290]. В статье [256] обратную матрицу Якоби линеаризованной пошаговой задачи предлагается строить также путем продолжения на основе разложения ее в ряд Тейлора в окрестности предыдущего значения параметра. Такой подход позволяет не обращать матрицу Якоби на каждом шаге интегрирования.

Вопросы автоматизации выбора шага по параметру продолжения при применении метода последовательных нагружений рассмотрены в статьях [85-87].

1.4.Применение к геометрически нелинейным системам

Большое число результатов относится к применению метода последо­ вательных нагружений в форме, предложенной В.В. Петровым [276]. Они отличаются как содержанием конкретных задач, так и методами решения пошаговых линейных краевых задач для вариаций (приращений) переме­ щений и функции усилий (напряжений).

Первые результаты [278—280, 314, 315] были получены для уравнений Феппля-Кармана или Маргерра. При этом пошаговые линейные краевые задачи решались методом Бубнова в варианте Власова, т.е. с независимой аппроксимацией приращений прогиба и функции напряжений. Этот же метод применялся в работах [297, 298]. Использование метода Бубнова в варианте Папковича затруднительно, так как линейное уравнение совмест­ ности для приращений прогиба и функции напряжений содержит перемен­ ные коэффициенты и, как правило, не может быть проинтегрировано ана­ литически.

Использование метода Бубнова-Власова для сведения двумерных ли­ нейных краевых задач относительно приращений неизвестных к одномер­ ным позволило свести определение приращений к краевым задачам для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэф­ фициентами. В работах [281, 287, 36] решение получено путем усреднения этих коэффициентов. Точность такого приема была оценена численно на основе сравнения с решением методом типа прогонки [13]. Различные варианты метода прогонки использовались в работах [13, 8, 222, 11, 183, 12]. Прогонка осуществлялась методом начальных параметров с исполь­ зованием метода Рунге-Кутта. Вопросы сходимости метода последо­ вательных нагружений в сочетании с методом Бубнова-Власова для све­ дения двумерных линейных пошаговых задач к одномерным обсуждались в работах [222,10,7,263,223].

Интересен итерационный метод уточнения решения пошаговых линейных краевых задач [259], заключающийся в применении к ним одночленной

аппроксимации типа Бубнова-Власова попеременно то в одном, то в дру­ гом направлении. Причем при перемене направления в качестве аппрокси­ мирующей выбирается функция, построенная на предьщущей итерации методом прогонки. Такой итерационный процесс, названный методом вариационных итераций, позволяет строить решения для произвольных граничных условий и (если сходимость имеет место) получать, по-види­ мому, наилучшее одночленное приближение метода Бубнова-Власова. Метод вариационных итераций' применялся и исследовался в работах [15,182, 224, 288, 292, 293, 338, 258].

Сочетание. метода последовательных нагружений с методом конечных разностей для решения пошаговых линейных краевых задач использо­ вано в работах [283,9,143,4, 5].

Изложенные выше методы применялись для решения геометрических и одновременно физически нелинейных задач [145, 282, 283, 16, 84, 301, 267], а . также для исследования закритических деформаций пластин и пологих оболочек [184, 12, 213, 215, 219]. Причем для последних работ характерно введение малых возмущений формы пластины или оболочки, или нагрузки и смена параметра продолжения в окрестности предельной точки. Численный анализ метода последовательных нагружений в окрест­ ности особых точек проведен в статье [178].

Применительно к расчету вантовых систем на основе непрерывной модели уравнения в приращениях и интегрирование задачи Коши по параметру в форме последовательных нагружений (простой метод Эйлера) использовались в работах [247, 230]. М.Н. Скуратовский [309, 310] пока­ зал, что в области эллиптичности уравнений вантовой сети (т.е. когда все усилия в сети растягивающие) ломаная Эйлера сходится к интегральной кривой задачи Коши при уменьшении шага последовательных нагружений. Метод продолжения решения в форме Давиденко применен в работах [440,274,275] к расчету вантово-стержневых систем.

Подход Давиденко использован для исследования свойств операторов уравнений Феппля-Кармана в работе [440]. Отдельные задачи [514,462, 402, 38, 179, 39, 343, 300, 461, 187, 532] решены с помощью дифференци­ рования по параметру с применением различных явных схем разного по­ рядка точности и неявных схем интегрирования задачи Коши по параметру и методов типа прогонки для решения пошаговых линейных краевых задач.

Неявные схемы интегрирования задачи Коши по параметру (дискретное продолжение решения) реализованы в нескольких формах. Одна из них реализует шаговый процесс по параметру с итерационным уточнением решения по методу Ньютона—Рафсона, т.е. шаговый процесс Лазя [526, 322-326, 210, 174, 175, 46, 47, 78, 93-95, 285, 216-219, 439, 150, 221, 313,320,103,25,171,220,367,192,195,249] и др.

Модификация этого процесса с использованием для итерационного уточ­ нения модифицированного метода Ньютона использовалась также доста­ точно Широко [106, 98, 77, 78, 325, 105, 191, 167, 103] и др. В работах [482,483] проведено сравнение этих модификаций.

Другая форма шаговых процессов связана с использованием для уточ­ нения решения простой итерации [199-201, 193, 161-166, 149, 403, 415]

или итерационного процесса релаксационного типа [83, 509, 191, 134). В работе [421] для части переменных использован шаговый процесс Лазя, а для остальных —простая итерация.

Различные варианты схем типа предиктор-корректор использованы в статьях [202-209,273].

Большое число исследований связано с применением метода продол­ жения решения к классической нелинейной задаче конечных и больших прогибов оболочек вращения. Отметим лишь некоторые из них. В работе [434] для пологой сферической панели реализован алгоритм, близкий по форме к алгоритму Лазя [447, 448], с использованием метода типа началь­ ных параметров для решения нелинейных задач на каждом шаге продолже­ ния. Причем для удовлетворения граничных условий применялась проце­ дура метода. Ньютона. Подробно этот алгоритм разработан в [498, 433, 499]. Подобный алгоритм реализован также в ряде статей с участием Н.В. Валишвили и детально описан в книге [54].

Возникающие при применении этого алгоритма трудности, связанные с плохой обусловленностью задачи Коши и проявляющиеся при исследо­ вании непологнх оболочек, преодолены с помощью разбиения области интегрирования на подынтервалы [428, 54] (так называемый мультисегментный подход, который можно рассматривать как вариант метода конечных элементов). Терстон [526] использовал для интегрирования задачи Коши по параметру неявную схему с уточнением решения методом Ньютона—Рафсона (т.е., по существу, процесс Лаэя), применив ее не­ посредственно к уравнениям конечных перемещений пологой сферы. Линейные краевые задачи для поправок решались методом типа прогонки. Аналогичную схему продолжения выбрал Месколл [458, 459] и применил ее к уравнениям Рейсснера [491 ] для больших перемещений сферы. Линей­ ные краевые задачи для поправок метода Ньютона-Рафсона решались конечно-разностным методом с помощью схемы исключения Гаусса.

В работе [370] рассмотрены осесимметричные деформации пологой конической оболочки. Задача Коши по параметру интегрировалась по простой схеме Эйлера. Пошаговые линейные краевые задачи решались

нения Рейсснера [491].

Уточненная схема последовательных нагружений, аналогичная схеме интегрирования задачи Коши по параметру модифицированным методом Эйлера, использована в статье [20].

В работах [340, 273, 125, 175, 174, 105, 202, 203, 205, 103, 114, 116, 122, 124, 139, 403] для продолжения по параметру применен шаговый процесс с итерационным уточнением решения модифицированным методом Ньютона (модифицированный процесс Лаэя). Для решения промежуточ­ ных линейных краевых задач использован метод дискретной ортогональ­ ной прогонки С.К. Годунова [88].

Комбинация явных и неявных схем для интегрирования задачи Коши по параметру с дискретной ортогональной прогонкой для решения линеари­ зованных пошаговых краевых задач использовалась в работах [119, 351. 352, 354,356,358,361].

геометрии срединной поверхности. В работе [2] предлагается использовать этот подход в сочетании с методом последовательных нагружений Шаговые методы с корректировкой метрики срединной поверхности применяются в статьях [50, 128, 49, 97, 247, 148, 1, 33, 34]. При лом конечно-разност­ ный подход использован как по координатам, так и по параметру деформи­ рования оболочек. Разностные уравнения пошаговых линейных задач строятся автоматически на ЭВМ и решаются блочным методом Гаусса. При этом производные метрического тензора по параметру продолжения <в линеаризованных пошаговых краевых задачах не учитываются. В после­ дующих работах этой группы авторов [130, 132, 235, 106, 76-78, 98, 133, 23—25,103,129,90] продолжение по параметру осуществляется с помощью модифицированного процесса Лазя. Целый ряд работ посвящен задачам проектирования оболочек [131, 76-78]. Учет изменения метрики средин­ ной поверхности в рамках метода последовательных нагружений прове­ ден в [90].

Вопросы изменения метрики и влияние его на сходимость метода после­ довательных нагружений для трехмерных задач при больших деформация рассмотрены в [312]. Там указано на необходимость использования более сложных, (логарифмических) физических соотношений.

Метод продолжения решения в форме Давиденко и явная схема Рунге - Кутта для интегрирования задачи Коши по параметру применялись в задаче нелинейного деформирования тонкостенного упругого стержня [185]. Линеаризованные пошаговые краевые задачи решались методом конечных разностей с использованием матричной прогонки.

Комбинация явной схемы Рунге - Кутта для продолжения решения с периодическим итерационным уточнением решения методом Ньютона - Рафсона использовалась в [159,396].

В задачах устойчивости деформируемых систем метод продолжения ре­ шения по параметру применялся для определения критических нагрузок с учетом докритических деформаций. При этом поведение системы про­ сматривается до момента вырождения матрицы Якоби линеаризованной за­ дачи. Кроме упоминавшейся работы Лина [452] такой способ определения критических нагрузок использовался в работах [449, 466, 400, 146, 531, 51, 299, 18]. Применяются различные явные и неявные схемы продолже­ ния. Как попутный результат частные значения критических нагрузок полу­ чены также и в решениях, связанных с исследованием закритических де­ формаций [315, 69, 274, 298, 370, 459, 151-158, 71, 70, 73, 261, 11, 182, 338, 275, 172,128-133,514,190,49,97,247, 235,106,74,340, 12,374,262, 125,273,174,284,98,215, 325, 38, 217].

В работах [227, 228, 272] найдено преобразование, связывающее пара­ метр нагружения с границами отрезка интегрирования. Это позволило при­ менить метод продолжения решения по параметру в новых условиях. Такой подход обобщен на двумерный случай в [229].

1 5 . И спользование м етода п родолж ени я совм еспго с м етодом конеч ны х элем ентов

Широкое применение получил метод продолжения в сочетании с методом конечных элементов. Обилие публикаций, связанных как с различными ва­ риантами метода продолжения, так и с разнообразными видами конечных элементов, может лечь в основу самостоятельного обзора. Ниже мы остано­ вимся только на некоторых работах, связанных с различным использова­ нием метода продолжения, а также на работах обзорного и обобщающего характера.

Формулировка метода конечных элементов представляет собой удобную форму для демонстрации различных форм метода продолжения. Разрешаю­ щая система уравнений метода конечных элементов может быть записана в виде

или физической нелинейностью задачи и представляющий собой нелинейную вектор-функцию обобщенных координат. Без ограничения общности мож­ но считать, что обобщенные координаты отсчитываются от иедеформированного состояния X = 0, тогда 5(0) = 0.

Дифференцируя уравнения (1.5.1) по параметру X, получаем форму­

Первые части Я этих дифференциальных уравнений (скорости изме­ нения обобщенных координат О по параметру X) определяются уравнениями

Для продолжения по параметру нагрузки на интервале параметра [О, X] выбирается ряд последовательных значений Х0 = О, Xх, Х2,... с шагом Д X,,

Соответствующие X/ значения векторов обобщенных координат и их производных по X обозначим через 0 (1 ) = (?(Х /), <?(/) =<7(Х/).