книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела
.pdf1. Задание начального состояния
к -0 , Хо = 0, 7 (0) = 2 0, Р(о) - Ро, 9(о) = [0, . . . , 0,1 ]. |
( 3 .4 .1 4 ) |
2. Построение / ортогональных решений уравнения А $ =
3.Определение производных в начале интервала ДА.
3.1.Прямой ход прогонки - построение по участкам матриц общего
решения начальной задачи
^ |
= 1 (7 (л),Р(а))7 (л) +М (7(л),Р(л)); А ц к) (/30) = 0. |
(3.4.15) |
|
ар |
|
В результате получаем матрицы общих решений и матрицы ортогонали-
СЮ, |
/ = 1, • • •, ЛГ; |
, . . . , N - 1. |
(3.4.16) |
3.2. Определение вектора |
|
|
|
1>(к) = |
V ) =ВВ<к\ |
с{‘ > = ог1(/(*),9(*с)), |
(3.4.17) |
Р(Ю=С<М)1+Г |
|
|
|
3.3. Обратный ход прогонки: последовательное решение систем |
|
||
|
|
,1; |
(3.4.18) |
построение общих решений |
|
|
|
*(*) = |
Л-1 < 0 < Л , |
/ = лг.......... |
(3-4.19) |
4. Построение первого приближения для значений функции 2 и Р в кон
це интервала АХ: |
|
|
2(*+1) =-г (*) + ЛХ •*(*)- |
|
|
^(Л+!) =р(к) + |
' ?(*)> <7(к+1)=с(Ю- |
(3.4.20) |
5. Вычисление первого приближения для производных в конце интер вала АХ.
5.1. Прямой ход прогонки
~В(2(к+1),Р(к+1))2(к+1) +Л*(2(*+!),?(*+!)),
■^г(А+1)(^о)-0; |
|
|
|
0<О(*+1)СЮ. »= 1,. • • |
Й(?)(*+ 0 , «= 1.........ЛГ- 1. |
(3-4.22) |
|
5.2. Определение вектора С("^*+1* |
|
||
Л .(*+1) . |
И Д ^ |
+1) = 2Ю*<*+1>, |
|
С(/У) +1) = ОГ1(7(Л+1),9(Л+1))»Р(Л+1) = с(Л^)/+1)- |
(3.4.23) |
||
3.3. Обратный ход прогонки |
|
||
|
|
/-Л Г - 1 ........ |
(3.4.24) |
*(*«) = |
|
|
*3'425> |
101
6. Шаг модифицированного метода Эйлера - |
вычисление уточ |
|
значений 2 и Р в конце интервала АХ |
|
|
\* + 1 ) = ^(й) + АХ, |
|
|
ДХ |
|
|
г <*+1)“ (Ю + “ |
(*(*) + г<*+1))> |
(3.4.26) |
ДХ |
(Р(Л) + Р (*+1)) • |
|
Р(к+1) = ^(*) + — |
|
7. Переход к следующему интервалу ДХ: ?(*+!) = с ^ +1), повторение вычислений, начиная с п. 3 с заменой А: на к + 1.
Хотя модифицированный метод Эйлера приводит к накоплению мень шейошибки, чем метод Эйлера, но при достаточно большом числе шагов по X ошибка все же может оказаться существенной.
Дальнейшего уменьшения ошибки можно достичь двумя путями. Один из них - повышать порядок точности явных схем, для чего можно восполь зоваться методами типа Рунге —Кутта или Адамса - Штермера. Построен ные на их основе алгоритмы продолжения решения нелинейной краевой задачи по параметру будут аналогичны только что построенным. Однако такой путь требует дополнительных ресурсов памяти ЭВМ. Второй путь — использование неявных схем, т.е. переход к дискретному продолжению
решения по параметру. |
|
|
3. |
Алгоритм дискретного продолжения решения. Мы здесь рассмотрим |
|
только алгоритм с использованием дополнительного условия вида (1.2.19). |
||
Остальные дополнительные условия из § 1.2 учитываются аналогично. |
||
Будем рассматривать итерационный процесс при X = Хк. Указывающий |
||
на это индекс "к” ниже будет опущен. Индекс |
будет означать номер |
итерации. Как и при непрерывном продолжении, индекс ” (0 ” будет ука зывать на принадлежность к /-му участку на интервале |30 < 0 <0дг.
Как видно из § 3.2, на каждой итерации приходится решать линеаризо ванную краевую задачу (3.2.3)., (3.2.4). Так как она полностью совпадает с задачей (3.3.1)-(3.3.3), то и алгоритм решения ее методом ортогональ ной прогонки не отличается от изложенного в § 3.3. Этим алгоритмом мы
ибудем пользоваться. Введем обозначения
хю=хсгЮ,рЮ), М ® = м & ю ,р Ю ) ,
$<>"> = |
(3.4.27) |
Пусть для предыдущего значения X, равного Х*_х = X* - ДХ, известны: вектор-функция 2(0) 1хА_ 1, которая является решением нелинейной кра
евой задачи (3.1.1), (3.1.2), и соответствующее значение параметра задачи Р = Р (ц - 1 ) ; вектор-функция г (0) 1\к_ 1>являющаяся решением линеари
зованной краевой задачи (3.1.7), (3.1.8) приХ = Х*_!, вектор с (д/) 1хА;_ 4
произвольных постоянных интегрирования однородной части общего ре шения этой задачи на участке 0лг-1 < 0 (3.3.39) и вектор С(д/)1хл_ 1
(3.3.35), который является отображением вектор-функции 2 (0 )1 \к_ 1 в
векторном |
пространстве К/+1 |
в силу представления вида (3.2.9) Учтем |
также, что |
Р (* _ 1) = |
является (/ + 1)-й составляющей век |
тора с (ту) 1хЛ_ 1 и поэтому известен вместе с этам вектором.
Итерационный процесс при X = Л* будет состоять из следующих этапов.
1.Задание начального приближения (/ = 0)
^(0)=^1хЛ_ 1 + АХ -2 и л_ 1, Р (0)=Р(Л_ 1) + Д Х р (* _ 1),
С^)) = С(7У)1хл_ 1 +ДХ с(л0 1хл_ 1, |
(3.4.28) |
2.Итерационный процесс
2.1.Прямой ход прогонки - построение по участкам матриц общих решений начальной задачи
и-Ц)
— = - 1)20 ) +Л/0 -1 )р 0) + ^
(3.4.29)
Лж®
В результате получаем матрицы общих решений и матрицы ортогоналиэациивида (3.3.21)
(/$03), ( = 1 ,... ./V; |
(3.4.30) |
2.2. Удовлетворение граничным условиям при Р = Рм (3.3.37)-(3.339): 0 ® = 0® , Фк). ( 7 0) = М>0), <<0 * =» - в 2 (й г,ОТ(Ри).
23. Использование дополнительного условия вида (1.2.19), (3.2.23):
{(с$0* с ($) “ с (лг)1*) = 0 ) "*■ |
|
|
|
|
|
(3.4.32) |
|
с $ ) =в(/)сау)+ с (&)- |
|
(3.4.33) |
|
|
|
||
2.4. Обратный ход прогонки: |
|
|
|
последовательное решение систем |
(3.4.34) |
||
С(0 Й(0 = < $ ! ) ’ ( = М - \,М |
- 2 ......... |
||
|
построение общих решений
С $ . Р ^ 1 <Р<Р1, |
(3.4.35) |
|
|
/ =ЛГ,Л(- 1 ..... 1 . |
|
2.5. Проверка условий сходимости. |
|
Если |
(3.4.36) |
|
то вычисления, начиная с п. 2.1, повторяются при/, равном /' + 1 •
юз
Впротивном случае можно считать, что итерационный процесс сошелся
ипринять решение в виде
С(Ю = С (Л0’ |
|
2 \ х = 2 « \ * |х =*Ю. |
(3.4.37) |
Эти векторы и вектор-функции используются для задания начального приближения в соответствии с п. 1 для ХЛ+, = X*. + ДХ.
Другие дополнительные условия из рассмотренных в § 1.2 изменят в этом итерационном процессе только вычисления в п. 2.3. Здесь же мож но использовать и условия для выбора шага продолжения вида (1.2.59).
Для того чтобы изменить процесс в соответствии с условием (1.2.29),
введем вектор |
|
?«> = С $ , - С»>„ ?<“> = ДХс™ . |
(3.4.38) |
Тогда процесс, геометрически аналогичный в К/+1 процессу, изображен ному на рис. 1.7, получается путем замены дополнительного условия (3.4.32) на следующее:
(?(/- ,) .С(<^ 1) -С % )) = 0. |
|
(3.4.39) |
|
Нетрудно видеть, что |
такое |
изменение приведет к |
замене <в формулах |
(3.3.33) вектора |
на вектор $*/ - 1 ) /ДХ. |
|
Обратимся теперь к процессу (1.2.22), (1.2.23). Наличие неоднород ных условий в исходной нелинейной краевой задаче не позволяет прово дить нормирование векторов в пространстве К /+ |. Этому препятствует наличие составляющей г (,+2* (0) в представлении решения (3.2.9). Одна ко, главное преимущество процесса (1.2.22), (1.2.23) в том, что она поз воляет обеспечить шаг г. = АХ по кривой К '€ К.,+ 1 с заданной точностью. Для нелинейных краевых задач этого же эффекта можно добиться соот ветствующим выбором множителя а ^ в представлениирешения в виде
(3.2.17). |
Потребуем, |
чтобы в |
процессе итераций поправочный вектор в |
||
К7+1 имел длину ДХ, т.е. чтобы |
|
|
|||
« т ~ С(лг)>с ($) - |
с (% )= |
• |
(3.4.40) |
||
|
|||||
Подставим сюда представления (3.2.17) |
|
||||
|
|
|
|
|
(3.4.41) |
Получаем для |
квадратное уравнение |
|
|||
а- (в^))2_ 2еаЮ + /= 0, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
(3.4.42) |
Отсюда |
|
|
|
|
|
= (е ± у/ег —2^/)/2Л |
|
(3.4.43) |
|||
Сравнивая |
формулы |
(3.4.33) |
и (3.4.43) и учитывая близость векторов |
« $ > к 4 % и ( 0 % - С ® ,) к (С & -С « 1 >
знак радикала должен совпадать со знаком е. Если теперь в итерационном процессе в § 2.3 вычислить а ^ по (3.4.43), то получим такой алюритм. который обеспечивает сохранение заданной величины шага ДА при дви жении по кривой К, являющейся отображением в К /^ функционального множества решений нелинейной краевой задачи.
Примеры применения построенных в этой главе алгоритмов непрерыв ного и дискретного продолжения решений нелинейных краевых задач рассмотрены в следующей главе.
В заключение этой главы обратим внимание читателя на ту роль, кото- • рую сыграл в построении алгоритмов продолжения решения нелинейной краевой задачи факт соответствия (3.1.22) между функциональным мно жеством решений задачи {2, Р }и кривой С'(\) в векторном пространстве &1 + 1 малой размерности. Из этого факта, в частности, следует одинако вость топологических свойств {2 , Р) и С(А). А эти свойства у кривой С(Х) значительно проще, чем общие свойства множеств в функциональном пространстве, хотя бы потому, что оно бесконечномерно. Это обстоятель ство можно эффективно использовать при исследовании общих, свойств механических объектов, поведение которых описывается одномерными нелинейными краевыми задачами с параметром.
Г Л А В А 4
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ АРОК И БОЛЬШИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПРОГИБЫ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
Вэтой главе мы рассмотрим применение методов предыдущей главы
кнелинейным краевым задачам, описывающим большие прогибы арок и большие осесимметрические прогибы оболочек вращения. Имея в виду, что нашей основной целью является демонстрация алгоритмов продол
жения решения, мы остановились на случае малых упругих деформаций
без ограничений на углы поворота оси арки и срединной поверхности обо лоней.
В линейных задачах деформирования арок и оболочек обычно вводят ся нормальные и тангенциальные перемещения. Их введение оправдано тем, что близость деформированного состояния к недеформированному и различный порядок малости нормальных и тангенциальных перемеще ний позволяют существенно упростить разрешающую систему уравнений. В области деформаций, где нелинейность еще мала, например, при конеч ных прогибах, введение тангенциальных и нормальных перемещений поз воляет еще в основном сохранить эти преимущества. Однако в случае больших перемещений такой подход приводит к громоздким уравнениям. Сравнительно более простыми представляются уравнения, где в качестве неизвестных приняты декартовы координаты деформированной оси арки или изменения декартовых координат срединной поверхности оболочек вращения за счет деформаций. Такие уравнения построены. На их основе рассмотрены большие прогибы круговых арок и тороидальных оболочек.
4.1.Большие упругие прогибы плоских арок в своей плоскости
Начало исследований в области больших упругих прогибов стержней и арок было положено известными работами Л. Эйлера, который дал теорию расчета больших перемещений (эластики) при изгибе в своей плоскости криволинейных стержней с нерастяжимой осью. С тех пор подобным зада чам с учетом и без учета растяжимости оси было посвящено большое коли чество исследований. Достаточно полный их обзор дали Д.Да Деппо и Р. Шмидт [507].
Будем рассматривать плоские арки, нагруженные в своей плоскости, и считать осью арки линию, проходящую через центры тяжести поперечных
106
сечений. Чтобы изгиб такой арки проходил в ее плоскости, необходимо также, чтобы одна из главных центральных осей поперечного сечения лежа ла в плоскости арки.
Введем в плоскости арки координаты х, у и рассмотрим элемент дли ной 45 недеформированной оси арки с координатами х0, у 0, кривизной к0, радиусом кривизны г0 и углом 3 0 между осью х и касательной к
элементу (рис. 4.1). Для этого элемента можно записать очевидные геометрические соотношения
4х0/45 = соз0о, 4у0/45 = 5Ш0О, |
(4.1.1) |
45 = у)йх\ + 4у20 , |
(4.1.2) |
к0 = 1 /г0 = ^ 0 О/(15. |
(4.1.3) |
Пусть в результате деформации арки этот элемент стал иметь длину 4%, координаты х, у , кривизну к , радиус кривизны г и угол наклона 0 к оси х. Тогда имеют место аналогичные соотношения:
4x14%, = |
соз ©, 4у/4% = 5Ш0, |
(4.1.4) |
4% = V 4х2 +4у2, |
(4.1.5) |
|
к = 1/г |
= 4&/4%. |
(4.1.6) |
Мы ограничимся здесь таким случаем деформации арки, когда относи тельные удлинения 6 ее оси малы по сравнению с единицей, т.е. когда
I 4% - 45 I
(4.1.7)
Отсюда
4%/45 ~ 1 + е. |
(4 1.8) |
107
На углы поворота арки ограничений накладывать не будем. Изменение кривизны оси арки к будет иметь вид
- 1 _ |
I : |
- |
к |
^ |
(4.1.9) |
г |
>0 |
|
° |
<1з |
|
|
|
||||
Обозначим через N и б |
продольную и перерезывающую силы, а через |
М —изгибающий момент в сечении арки. Через япи Ят обозначим нормаль ную и тангенциальную составляющие интенсивности погонной нагрузки на арку. Положительные направления И , 0., М , я п и Ят показаны на рис.4.1.
Тогда уравнения равновесия деформированного элемента арки (рис. 4.1) можно записать в виде
м / а ъ = -ЛЙ - Ят,
(4.1.10)
йЩ й\ = кN + я„, йМ !й\ = 0,
Используем обычные предположения балочной теории: гипотезу плоских сечений и гипотезу об отсутствии нормальных напряжений в продольных сечениях арки (гипотезу о том, что продольные волокна не давят друг на друга). Будем рассматривать арки, у которых размер поперечного сечения по нормали к оси в плоскости арки мал по сравнению с радиусом кривизны деформированной оси. Эти предположения с учетом принятого ранее допу
щения | е | < 1 |
и при деформациях в пределах закона |
Гука приводят |
к следующим соотношениям упругости: |
|
|
N = ЕРе, |
М = Е^к. |
(4.1.11) |
Здесь Е —модуль упругости при растяжении, Р, 1 —площадь и момент инерции поперечного сечения арки относительно его главной центральной оси, перпендикулярной плоскости арки х , у.
Таким образом, получена система из десяти уравнений относительно де сяти неизвестных х, у, 0 , к, ТУ, <2, М ,е, к. В эту систему входят геомет рические соотношения, уравнения равновесия и физические соотношения:
|
йх_ |
йу |
4$ |
1 + е, |
— = яп 0, |
<П |
й% |
|
<Ю |
</0о |
|
|
к |
|
|
<1$ |
|
7Г = -к {2 - |
|
|
4 0 |
кN + яп , |
йМ |
~~~ = |
а . |
ТУ = ЕРе, М =
Заметим, что недеформированное состояние арки, заданное соотношениями (4.1.1) —(4.1.3), является точным решением уравнений (4.1.12) при Чп~Чт ~ 0, что легко проверить, подставив в (4.1.12) следующие функции недеформированного состояния:
$ = в, |
х = х 0, |
© = ©о, |
N - 0 |
= М = 0, |
(4.1.13) |
к = О, |
Для сведения уравнений (4.1.12) к системе нелинейных дифференциаль ных уравнений примем в качестве основных неизвестных переменные х, у,
0, N. б, |
к. |
Кроме того, с помощью первого из уравнений (4.1.12) перей |
||||||
дем к дифференцированию по координате 5 |
вдоль недеформированной оси |
|||||||
арки. В результате простых преобразований получаем {Е З - сопл) |
||||||||
- = |
( |
'1 + ^ ) со$ 0, |
4}•_ _ 1< |
N |
\ |
|||
За ~ \! |
* |
И |
Г в ’ |
|||||
3$ |
|
\^ |
ЕР) |
|||||
3& |
|
1 ' |
N > |
|
|
|
|
|
|
|
\. |
+ ~ЁР,К |
|
|
|
|
|
зы |
|
/ |
+ ЁР,)(-*<2 |
Ят), |
|
|
(4.1.14) |
|
Ё Г ~ |
\ 1 |
|
|
|||||
з й |
= |
/' |
АП |
|
|
|
|
|
3$ |
~ \! |
+ дп), |
|
|
|
|||
+ ЕР, |
|
|
|
|
||||
|
|
( |
N \Я _ + |
з 2е о |
|
|
|
|
35 |
|
(У |
Ё р ) ЕЗ |
3 52 |
|
|
|
|
Из этих уравнений при €=N ^1?= О |
нетрудно получить известные уравне |
ния эластики гибких нерастяжимых стержней Л. Эйлера. Отметим также, что для уравнений (4.1.14) недеформированное состояние арки (4.1.13) также является точным решением при д„ = ят= 0.
Введем безразмерные |
переменные |
следующими соотношениями, где |
||||
Я - |
некоторый характерный линейный размер арки: |
|||||
|
= —, |
X |
= —, |
|
|
■Як, |
|
я |
|
я |
|
|
|
0 |
= 0, |
№ |
ЛЯ2 |
|
<2 Я |
(4.1.15) |
Е З |
|
ЕЗ |
||||
|
|
|
|
|
||
|
>_ 9т* |
|
|
Яп* |
3 |
3 |
|
|
|
' Ш |
|||
|
ЕЗ |
' |
Яп |
Е З |
’ |
С использованием этих величин уравнения (4.1.14) приводятся к виду (знак ” ° ” у безразмерных величин ниже везде опущен)
X ' |
= |
(1 |
+ С ./У ) СО8 0 , |
У ' = (1 |
+ с Л Г ) Я П © , |
0 ' |
= |
(1 |
+ сЛГ)А, |
|
|
ЛГ |
= |
(1 |
+ сЫ ){-К О |
- ? т), |
(4.1.16) |
С ' |
= (1 |
+ сЛГ)(*N + Ч„), |
|
||
А" |
= (1 |
+ с ^ ) Й + ©о'. |
|
Здесь знак ” 1 ” обозначает дифференцирование по безразмерной коорди нате вдоль недеформированной оси арки 5° =5/К .
Заметим, что форма недеформированной оси арки в этих уравнениях представлена единственным слагаемым © о, что получилось в результате использования координат х, у и угла 0 с осью х деформированной оси арки в качестве неизвестных взамен обычных нормальных и> и тангенциальных и перемещений и угла поворота оси арки при деформации. На рис. 4.2 показа ны два возможных разложения вектора перемещения 17 либо на составляю щие х — х 0, у — у 0 , либо на и, и\ Ясно, что последнее разложение опреде ляется системой координат, связанных с недеформированной аркой, и поэтому дает определенные преимущества, когда деформированное состоя ние близко к недеформированному, т.е. при малых и, ж При больших же перемещениях, как уже отмечалось, такое представление приводит только к усложнению исходных соотношений.
Рассмотрим теперь граничные условия. Отметим сразу, что использова ние в качестве независимой переменной координаты 5 вдоль недеформиро ванной оси арки ставит в соответствие каждому фиксированному значе нию $ некоторую материальную точку оси арки, и это соответствие не нару шается в процессе деформации. Другими словами, координата 5 является лагранжевой координатой. Это обстоятельство позволяет просто формули ровать граничные условия в случаях, когда связи или краевые усилия накладываются на точку оси арки, которая в процессе деформаций остается неизменной. Наиболее распространенные виды такого закрепления конца