книги / Тензорные алгебра и анализ
..pdfМинистерство общего и профессионального образования Российской Федерации
Пермский государственный технический университет
Кафедра математического моделирования систем и процессов
П.В. Трусов, О.И. Дударь, И.Э. Келлер
ТЕНЗОРНЫЕ АЛГЕБРА И АНАЛИЗ
Рекомендовано Учебно-методическим отделом по направлению “Электроника и прикладная математика” в качестве учебного пособия для студентов специальности “Прикладная математика”
ПЕРМЬ 1998
УДК 514.743
Тензорные алгебра и анализ: Учеб, пособие / П.В. Трусов, О.И. Дударь, И.Э. Келлер; Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1998. 131 с.
Последовательно определены векторные, тензорные и точечные пространства и операции над элементами этих пространств. Ряд утверждений доказывается в алгебраической форме, но достаточное внимание уделяется и компонентной записи. Содержатся сведения из теории внешних форм и тензорного анализа, рассмотрены спектральные свойства тензоров, тензорные функции и их производные по тензорному аргументу, дается достаточный математический аппарат для изложения дифференциальной геометрии, механики сплошной среды, физики. По каждой теме имеются упражнения.
Предназначено для студентов механико- и физико-математических специальностей.
Ил. 12. Библиогр.: 16 назв.
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. ИМСС УрО РАН А.А. Роговой; канд. физ.-мат. наук, доцент Л.Б. Грайфер
ISBN 5-88151-148-4 |
Пермский государственный |
|
|
|
технический университет, 1998 |
Оглавление |
|
Основные обозначения...................................................................................... |
5 |
Введение................................................................................................................. |
6 |
1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА............................................................... |
7 |
1.1. Группа, поле.................................................................................................... |
7 |
1.2. Линейное пространство................................................................................ |
8 |
1.3. Некоторые примеры векторных пространств....................................... |
11 |
1.4. Преобразование компонент вектора при замене базиса....................... |
12 |
1.5. Гомоморфизмы и изоморфизмы линейного пространства................... |
14 |
1.6. Полилинейные отображения..................................................................... |
15 |
1.7. Сопряженное пространство....................................................................... |
16 |
1.8. Нормированное пространство................................................................... |
17 |
1.9. Евклидово пространство ........................................................................... |
19 |
2. ТЕНЗОРЫ НАД ВЕКТОРНЫМ И ПРОСТРАНСТВАМИ................. |
25 |
2.1. Тензорное умножение................................................................................. |
25 |
2.2. Примеры тензорных произведений ........................................................ |
27 |
2.3. Закон преобразования компонент тензора при замене базиса............ |
29 |
2.4. Некоторые операции над тензорами второго ранга.............................. |
31 |
3. ТЕОРИЯ КОСОСИММЕТРИЧНЫХ ТЕНЗОРОВ.............................. |
36 |
3.1. Абсолютно симметричные и антисимметричные тензоры.................. |
36 |
3.2.0 кососимметричных тензорах................................................................. |
39 |
3.3. Внешнее умножение................................................................................... |
40 |
3.4. Тензор Леви-Чивита.................................................................................... |
42 |
4. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ТЕНЗОРОВ ВТОРОГО РАНГА .45 |
|
4.1. Алгебра.......................................................................................................... |
45 |
4.2. Тензоры как линейные операторы........................................................... |
46 |
4.3. Тождество Гамильтона-Кэли..................................................................... |
47 |
4.4. Спектр тензора. Теорема ГаЬгильТона-Кэли........................................... |
49 |
4.5. Собственные векторы |
|
4.6. Свойства, относящиеся к собственным векторам тензора................... |
53 |
4.7. Собственные векторы симметричного тензора...................................... |
56 |
4.8. Спектральное разложение тензора........................................................... |
58 |
4.9. Девиаторы и кососимметричные тензоры............................................... |
61 |
5. АВТОМ ОРФ ИЗМ Ы .................................................................................... |
64 |
5.1. Автоморфизмы линейного пространства................................................ |
64 |
5.2. Ортогональные преобразования............................................................... |
65 |
5.3. Представления ортогонального тензора.................................................. |
67 |
5.4. Изотропные и демитропные тензоры...................................................... |
70 |
5.5. Положительно определенные тензоры.................................................... |
71 |
5.6. Полярное разложение тензора................................................................... |
73 |
6. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРОИЗВОДНЫЕ........................... |
75 |
6.1. Группа симметрии тензора........................................................................... |
75 |
6.2. Тензорные функции...................................................................................... |
76 |
6.3. Производная тензорной функции............................................................... |
80 |
7. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ................. |
82 |
7Л. Аффинное пространство.............................................................................. |
82 |
7.2. Декартовы системы координат в аффинном пространстве.................. |
82 |
7.3. Криволинейные системы координат в аффинном пространстве........ |
85 |
7.4. Поля в аффинном пространстве. Локальный базис................................ |
89 |
7.5. Аффинное евклидово пространство........................................................... |
92 |
7.6. Криволинейные ортогональные системы координат. |
|
Физические компоненты тензора.............................................................. |
94 |
7.7. Ковариантная производная векторного поля. |
|
Свойства символов Кристоффеля............................................................. |
96 |
7.8. Ковариантная производная тензорного поля........................................... |
98 |
7.9. Дифференциальные операторы первого порядка.................................. |
100 |
7.9.1. Градиент тензора....................................................................................... |
100 |
7.9.2. Дивергенция тензора................................................................................ |
102 |
7.9.3. Ротор тензора............................................................................................. |
103 |
7.10. Дифференциальные операторы второго порядка................................ |
105 |
7.11. Тензор Римана-Кристоффеяя................................................................... |
107 |
7.12. Интегральные теоремы............................................................................. |
110 |
Упражнения........................................................................................................ |
ИЗ |
Библиографический список......................................................................... |
124 |
Краткие биографические соедення.............................................................. |
125 |
Предметный указатель............................................................ |
|
Основные обозначения
а,Р,у,5,... — вещественные (реже — комплексные) числа; a,b,c,d, — векторы;
A,BtCtD,... — тензоры II ранга;
— тензоры III ранга;
A,B,C,D.... — тензоры IV ранга; » * « «
А, В,С, D,...— тензоры ранга р\
рр р р
8^ — символ Кронекера, 8д = ГА t - j . \0, i * J ;
/ — изотропный тензор II ранга;
[A ijk = 123,231 ши 312, £IJh — символ Леви-Чивита, eiJk=■!-1, ijk = 132. 213 или 321,
(0, комбинации 123 с повторениями ;
£— демитропный тензор III ранга (тензор Леви-Чивита);
С, С , С — изотропные тензоры IV ранга;
с/ГДС,£),... — алгебраические структуры (группы, поля, пространства); Я у С— поля действительных и комплексных чисел; 0, 0 — группы ортогональных и собственно ортогональных тензоров;
Х„ — n-мерное линейное пространство;
Х т=X — пространство тензоров ранга т;
т
&— евклидово пространство; + — алгебраическая операция сложения;
х — векторное умножение, а также декартово произведение; ® — диадное (тензорное) умножение;
л— внешнее умножение;
—одинарная свертка: скалярное умножение векторов, а также алгебраическая операция умножения тензоров II ранга;
:, о — двойные свертки: “двойное скалярное” и “полное” умножения; 1т() s sp(V — след тензора II ранга;
д, (’) — частная производная;
V J') е (•)', — ковариантная производная;
V— набла-оператор;
Д= V V — оператор Лапласа;
,Tj* — символы Кристоффеля соответственно I и II рода;
R— тензор Римана-Кристоффеля.
Введение
Тензорная алгебра — раздел математики, изучающий линейные системы, порождаемые из исходного произвольного линейного пространства полилинейным и не зависящим от выбора в нем базиса отображением. Получаемые таким способом линейные системы обладают некоторыми новыми алгебраическими свойствами, отсутствующими в аксиоматически определенном “чисто линейном” пространстве.
Тензорный анализ изучает дифференциальные операции над тензорными полями и является аппаратом дифференциальной геометрии, механики сплошной среды, физики. Все больший интерес вызывают сегодня сложные естественно-научные модели, построенные в рамках геометрически и физически нелинейной механики континуума, механики обобщенного континуума, калибровочной теории поля, теории относительности и электродинамики. Свойство независимости тензоров от выбора базиса позволяет использовать такие объекты для записи объективных (не зависящих от выбора системы координат) законов.
Предполагается, что читатель знаком с понятием матрицы, свойствами ее определителя, основами математического анализа. Тензорные алгебра и анализ в пособии выстраиваются аксиоматически, предпочтение в изложении отдается бескомпонентной форме записи тензоров и операций над ними. Достаточное внимание уделяется и компонентной записи тензорных соотношений. В части определения тензора и изложения материала глав 1-2 авторы опирались на монографию А.А. Вакуленко [1]. В главе 3 помещена теория кососимметричных тензоров, а в главе 4 изучаются спектральные свойства тензоров второго ранга. Рассмотрены, на наш взгляд, важные для студентов-механиков вопросы об инвариантах тензора и тензорных функциях (главы 5-6), изложенные на основе материала работ А.А. Вакуленко [1-2] и А.И. Лурье
[3]. Тензорный анализ (глава 7) опирается |
на |
книги Э.Г. Позняка |
и |
Е.В. Шикина [4], И.С. Сокольникова [5] |
и |
Я.А. Схоутена [6]. |
По |
некоторым вопросам использована книга [7]. Это — общие ссылки, которые авторы позволили себе не упоминать в тексте. Учебное пособие снабжено задачами, подобранными ко всем изложенным темам. Студентам, занимающимся научной работой, будут полезны приведенные в пособии многочисленные формулы.
Авторы искренне благодарны А.А. Роговому и Л.Б. Грайферу за прочтение рукописи и Е.В. Астраханцевой за набор текста.
1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1.1. Группа, поле
Бинарная алгебраическая операция на непустом множестве М есть закон, ставящий в соответствие каждой упорядоченной паре элементов множества единственный элемент этого множества. Будем рассматривать абстрактные бинарные алгебраические операции — умножение (*)и сложение^):
а) Va,beM |
a*beM \ |
а°) \/a,b Е.М |
а +b еЖ . |
Группой по умножению называется множество § с определенной на нем бинарной алгебраической операцией *, удовлетворяющей аксиомам;
б) a*(b*c) = (a*b)*c |
\fa,b,c е§ (ассоциативности); |
|
|||
в) ЗУ е§: |
а+1 = 1*а - а |
\/а |
(существования единичного элемента); |
||
г) За'1€§: |
a~f*a =a*a~1= 1 |
V a e§ |
(существования |
обратного |
|
элемента). |
|
|
|
|
|
Группой по сложению называется множество § с определенной на нем бинарной алгебраической операцией +, удовлетворяющей аксиомам:
6°)a+ (b +c) = (a + b) +c |
Va,b,c |
(ассоциативности); |
||
в°) 30 |
a+ 0= 0+ a= a |
Va е § (существования нулевого элемента); |
||
г°) 3(-а) е §: (-а ) +а = а + ( - а ) - 0 |
\fa е § |
(существования |
||
противоположного элемента). |
|
|
||
Имеет место теорема. |
|
|
|
|
Т еорем а 1.1.
Для того, чтобы подмножество М группы по умножению § являлось группой по умножению, необходимо и достаточно, чтобы М было замкнуто в отношении операции умножения и для любого элемента М
существовал |
обратный |
элемент, |
то |
есть i) \fa,b еЖ |
a*b е!М и |
|
\\)VaeM За'1еМ* а~1*а = а*а~1= L |
|
|
|
|
||
Необходимость. Из “ii” следует, |
что в Ж найдется |
пара элементов, |
||||
произведение |
которых |
есть / е § , |
а |
из условия ei” |
— |
что 1 е М . |
Ассоциативность операции умножения, очевидно, справедлива как для §, так и для любого его подмножества.
Достаточность. Из того, что М — группа, следуют условия ва’\‘Г,\ эквивалентные требованиямЧ"#" теоремы.
Справедлива аналогичная теорема для группы по сложению.
Группа по умножению (сложению) § называется абелевой, если
выполняется условие |
|
|
д)V a ,b e § |
a*b =b*a; |
|
д°){Уа,Ь е§ |
a + b = b +a). |
|
Пример группы по умножению — множество п комплексных чисел |
||
2пк |
. . 2пк |
к - 0,1.....п - 1 , 1 — мнимая единица. |
вида cos-----+ ism------, |
||
п |
п |
|
Полем называется множество £ на котором заданы две бинарные алгебраические операции—умножение и сложение, удовлетворяющие аксиомам а) $ — абелева группа по сложению;
б) Ш (-J без нулевого элемента) — абелева группа по умножению;
в) (а +Ь)*с = а*с + b*c |
Va,b,c |
(дистрибутивности). |
||||||
|
Примерами полей являются множества рациональных Q, |
|||||||
действительных Я и комплексных С чисел. |
|
|||||||
|
|
|
1.2. |
Линейное пространство |
|
|||
|
Пусть даны непустое множество X * {а,Ь,с,...} и поле J |
|||||||
Введем |
на |
множестве |
X |
две алгебраические операции — сложение |
||||
а + b e X |
и |
умножение |
|
на элемент |
поля Ха е Х , |
удовлетворяющие |
||
аксиомам: |
|
|
|
|
|
|
||
в) X — абелева группа по сложению, то есть |
|
|||||||
|
a +(b + c)=(a +b) +c (ассоциативности), |
|
||||||
|
30: а + 0 = а (существования нулевого элемента), |
|
||||||
|
3 -а : - а +а =0 (существования противоположного элемента), |
|||||||
|
а + Ь* Ь+ а (коммутативности); |
|
|
|||||
б) |
a(fia) =(afija (ассоциативности |
относительно |
умножения на |
|||||
элемент поля),
1а =аЫ а \
в) дистрибутивности
а(а + Ь) = сш+аЬ, (а + $)а = аа + $а
(под а,Ь,с,а,р понимаются произвольные элементы соответствующих множеств). Тогда множество X называется линейным (или векторным) пространством над полем а элементы линейного пространства называются векторами.
Из определения линейного пространства следуют некоторые
свойства:
а)0 х =0> б) (-1)х =—х ,
в) AJC = 0 => X = 0 илих - 0 ,
г) Хх = Ху => к = 0 илидс = у ,
которые предлагается доказать самостоятельно.
В качестве W будет рассматриваться только поле действительных чисел элементы которого будем называть скалярами.
Выясним, содержатся ли в линейном пространстве X какие-либо другие элементы кроме элементов исходного множества X. Для любых конечных системы векторов дг/,...,лс* и системы скаляров а/,....а*
определена и также является вектором из X композиция а ; дгу + ... + акхк;
к
вектор £а,дс, называется линейной комбинацией векторов д с / , Л е г к о
I»/ |
|
X — |
убедиться, что некоторые элементы векторного пространства |
||
линейные комбинации элементов исходного множества X, не содержатся |
||
в этом исходном множестве. |
|
|
Векторы Xi,...,xk |
называются линейно независимыми, |
если |
к |
а,= 0 для каждого i=l....*; в противном |
|
= 0 только при |
случае |
|
х/,...,хк — линейно зависимые векторы. В последнем случае существует
хотя бы один ненулевой скаляр из множества а/,...,ак, вместе с которым
к
= 0. Отсюда легко видеть, что векторы лг/,...,дг* линейно зависимы
Ы
тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Также видно, что если среди Х г,...,Х к содержится нулевой вектор 0, то такая система векторов линейно зависима.
Будучи всюду определенными законами композиций, сложение и умножение на числа векторов из X определены и для элементов любого непустого подмножества 8 с X. Подмножество в X, которое с такими (индуцированными из X) законами композиций само образует векторное пространство, называется подпространством линейного пространства X. Для того, чтобы непустое $ с: X было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы любая линейная комбинация аде + Ру при х,у eS была бы также вектором из 5.
Для любого подмножества 8 с X существует подпространство, содержащее подмножество 8 и наименьшее среди подпространств с таким свойством (содержащееся в любом из них). Это подпространство состоит из всевозможных линейных комбинаций векторов из 8 и называется
