книги / Тензорные алгебра и анализ

нормированным. Если для этого базиса фундаментальная матрица

базисного вектора, откуда cos(el,eJ) = 0). Если же gtj =5.. для всех г иj, то

данная функция представляет собой норму, совпадающую с нормой в сопряженном пространстве (£* в данном случае). Другими словами, пространства £„ и £* изометрически изоморфны, то есть эквивалентны как нормированные пространства.

Можно показать, что £„ и £ ’ эквивалентны и как евклидовы пространства. Зафиксируем ортонормированный базис еп i=I....л в £„ и

х = '^TxJeJ <-> х'е, =* х е £ и. Легко показать, что значение линейной формы

у

и на элементе х в точности равно значению линейной формы х на элементе u: и х = utx! = и -JC. С другой стороны,этому же значению равны

сохранением скалярного произведения, то есть изоморфизм евклидовых пространств. Итак, мы доказали, что конечномерные евклидовы пространства изоморфны. По существу показано, что в самом исходном евклидовом пространстве £п имеются линейные формы, которые действуют на элементы этого же пространства при помощи операции

вводимый согласно (10), найдется в исходном пространстве £я. Такой

базис е‘ определяемый с помощью исходного основного базиса

е, е £ п согласно

( 1.20)

(хотя при доказательстве изоморфности было удобно воспользоваться такими базисами). Компоненты разложения вектора по взаимному базису называются коварнантными.

Обозначим g* — компоненты разложения элементов сопряженного

g есть матрица, обратная фундаментальной. Домножив обе части (1.21) на gjtt получим

(1.23) то есть gJt — компоненты разложения основного базиса по взаимному.

В £я существует (и притом не один) такой базис, сопряженный с которым с ним совпадает. Действительно, пусть а е £ п — исходный

ортонормированный базис, то есть а, -ву = б (у. Очевидно (см. (1.20)), этот базис и будет искомым базисом, сопряженным самому себе. Если в качестве исходного (основного) мы выбрали бы базис e \ i - l .... п и матрицу g в качестве фундаментальной матрицы, то векторы е,, i=l....п

(1.20) выступили бы в качестве взаимного базиса, а матрица gfJ — в

Соотношения (1.25),(1.27), называемые формулами Гиббса, позволяют находить контравариантные и ковариантные компоненты вектора с помощью скалярного умножения, а не из решения системы линейных уравнений (1.24) или (1.26), как в “чисто” линейном (то есть без скалярного умножения) пространстве, что, конечно, удобнее. Комбинируя последние четыре уравнения, получим следующие представления вектора:

В п. 1,8 подобные соотношения уже применялись для сопряженных пространств.

Ко/контравариантные компоненты можно найти в геометрических терминах. С помощью ортогональных (прямоугольных) проекций на соответствующие элементы основного или сопряженного базисов (рис. 1.1) компоненты произвольного вектора находятся согласно формулам

ж, =1е| IПр,( Jf =|е, || cosfeltx).

Спомощью косоугольных проекций (рис. 1.1) имеют место формулы

,_ Р у

(1.30)

* = \е,\ ‘ Х‘ ” \е‘\ ■

Можно заметить, что косоугольные проекции соответствуют формулам (1.24), (1.26), а прямоугольные проекции — формулам Гиббса (1.25), (1.27). Из геометрических представлений следует, что для ортонормированного базиса косоугольные и прямоугольные проекции совпадают.

Рис. 1.1. Прямоугольные и косоугольные проекции

на векторы основного и взаимного базисов

Остановимся на выводе законов преобразования компонент вектора при замене взаимного базиса. Пусть, как и ранее, имеются две системы базисных векторов основного базиса, связанные законом е' = ау ,е1. Представим векторы базиса, сопряженного к е ', разложением по векторам

2. ТЕНЗОРЫ НАД ВЕКТОРНЫМИ ПРОСТРАНСТВАМИ

В определении линейного пространства не фигурировало понятие базиса. Оно было введено при исследовании общих свойств линейного пространства: для n-мерного векторного пространства базис есть система п линейно независимых векторов этого пространства. В векторном пространстве существует естественная зависимость представления вектора компонентами разложения по базису от выбора этого базиса, поэтому при построении на основе линейных пространств более сложных алгебраических структур необходимо иметь это в виду. Примеры функций, зависящих от выбора базиса, были приведены в конце п. 1.5 и в п.1.7 (отображение (1.10)), не зависящих от выбора базиса — модуль вектора (1.18), угол между двумя векторами (1.19). Далее мы рассмотрим операцию тензорного умножения, в определении которой требуется независимость от выбора базиса в исходном линейном пространстве.

2.1. Тензорное умножение

Пусть даны какие-либо два векторных пространства Х,Х (внизу —

номер пространства). Пусть по-прежнему Х х Х — прямое (декартово)

произведение, то есть множество всех упорядоченных пар (х ,х ),

х&Х, х , dim(-) — число, размерность пространства.

Тензорным (днадным) умножением векторов из X на векторы из

X называется закон, сопоставляющий каждой паре ( х . х ) е Х х Х вектор

х®х некоторого (dim^t )(dim% )-мерного векторного пространства Х®Х,

причем так, что (х,х)-*х® х — не зависящее от выбора базисов

в %,% (каноническое) и билинейное отображение, множество значений

которого порождает Х®Х.

Пространство Х&Х называется тензорным произведением

пространств X и X, векторы из Х&Х — тензорами над Х,Х (или над X ,

если X — это и X, и X ), или просто тензорами, когда ясно, элементами

тензорного произведения каких и в каком порядке взятых векторных

пространств являются эти тензоры. Заметим, что хотя Х&Х и Х®Х

изоморфны как векторные пространства (почему?), их имеет смысл не отождествлять. Далее будет показано, что в множестве тензоров может быть определена алгебраическая операция умножения, не являющаяся коммутативной, и вместе с ней алгебраические структуры %%% и %®Х

уже не будут изоморфными.

Здесь не будет лишним подчеркнуть различие между декартовым и тензорным произведениями. Элементы первого — упорядоченные пары векторов из соответствующих линейных пространств, последнего — векторы одного пространства. Это тензорное d im ^ d im ^ -мерное

пространство %®% образуется билинейным и каноническим отображением из декартова произведения X и %.

Для любых векторных пространств X и % над полем

действительных чисел их тензорное произведение существует и определено с точностью до канонического изоморфизма векторных пространств.

Существование Х®% доказывают далее рассмотренные примеры.

Пусть теперь Х®% и %®% — пространства, каждое из которых обладает

всеми свойствами тензорного произведения X на X. Канонические

пространств %®Х, %®% и условия dimX®X=dimX®% отображение Я естественным образом расширяется до отображения Х® Х на Х&Х, для

этого достаточно каждой линейной комбинации векторов из области определения Я сопоставить такую же линейную комбинацию их образов:

Отображение (2.1) — линейное, обратимое (взаимно однозначное), не связано с выбором базисов и потому есть канонический изоморфизм. Доказательство утверждения завершено.

Элемент х®дг, порожденный упорядоченной парой (х,х) е'ХхХ,

называется диадой. Элемент тензорного пространства — линейная комбинация диад, называется диаднком. Знак диадного произведения в записи диадика или диады обычно опускается (например, в последнем случае вместо х® х пишут х х ).

пространства, оно может служить сомножителем в тензорных

комбинации триад х х х . По данному образцу можно построить тензоры и

над большим числом линейных пространств; элементами таких тензорных пространств будут являться линейные комбинации полиад.

Поле действительных чисел является в частности одномерным векторным пространством, поэтому определено тензорное произведение Я®Х. Однако отображение по правилу а®лг->алг, a e f t , x e X представляет собой канонический изоморфизм пространства Я®Х на X, поэтому Я® X t равно как и X ® Я , можно отождествить с X .

Далее в качестве сомножителей тензорного произведения будут в основном использоваться одинаковые n-мерные векторные пространства. Количество сомножителей в диадном произведении пространств называется рангом элемента тензорного пространства. Далее будем обозначать Хп®Хя =Х2п, %а®Хп®Хп=Х3 и т. д. Чаще других будут рассматриваться тензоры И ранга над трехмерным векторным Пространством, то есть элементы # л.

Упорядоченный набор компонент тензора произвольного ранга назовем дистрибутивом компонент. Для тензора второго ранга такой дистрибутив, конечно, называется матрицей. Сформулируем очевидный “компонентный” критерий равенства двух тензоров: два тензора, принадлежащие одному тензорному пространству, равны, когда равны их

пространства для построения тензорных пространств. Евклидовость исходного векторного пространства во всех рассматриваемых ниже примерах не является необходимым требованием.

Таким образом при желании тензорное произведение можно конкретизировать, отождествив тензор uv для каждой пары (u,v) е€ п х ё л с билинейной формой (2.2) или линейным оператором (2.3). На основании предложения, доказанного в предыдущем разделе, получающиеся таким образом два вполне конкретных для конкретных исходных пространств векторные пространства канонически изоморфны друг другу, равно как и любой другой, удовлетворяющей всем нужным требованиям модели произведения £л ® £л.

23, Закон преобразования компонент тензора при замене базиса

Операция тензорного произведения порождает из €■„ пространства

£ ®£

(2.4)

£п® £ я ® £я ® £ я

Задание базиса е, в исходном пространстве £„ определяет базисы каждого элемента “лестницы” тензорных произведений (2.4)

(2.5)

(индексы ij,к,1 — свободные и изменяются от 1 до гг). Соответственно преобразование базиса е, исходного пространства £я (в общем случае согласно закону (1.2)) должно определять преобразование базисных элементов (2.5). Поскольку любому (основному) базису et в £л ставится в

соответствие единственный взаимный (сопряженный) базис eJ в