книги / Тензорные алгебра и анализ

Выражения (6.16) и (6.18) могут быть использованы для нахождения производной тензорной функции. Выражение (6.16) предполагает переход к координатам и функции координат. Выражение (6.18) предполагает

/г - С леке1= С Г. Другим способом d f ~d(C :T) =d(C T <>Т)=С т°d T , и

f T - C T. Вторым способом удобнее находить производную, если доказать правила дифференцирования:

используемый при установлении свойств знакоопределенности функции/

7. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

7.1. Аффинное пространство

Аффинным (или точечным) пространством d l n называется

непустое множество, для элементов которого выполняются следующие аксиомы:

а) каждой упорядоченной паре элементов А,В е =rfa может быть

поставлен в соответствие единственный вектор х АВ еХ п (л-мерного

векторного пространства);

б) каждому элементу А е<А„ и вектору х <zXn может быть поставлен в соответствие единственный элемент В есАп, такой, что х АВ= х ;

в) для любых трех элементов А,В,С edl„ х АВ +х вс +хСА=0.

Элементы аффинного пространства называются точками.

Из данных аксиом следует, что если зафиксировать произвольную точку Л е erfп, то точки пространства с//„ и векторы пространства Хя

будут находиться во взаимно-однозначном соответствии, а точке А е -Ан

будет соответствовать нулевой элемент пространства Хп. В дальнейшем изложении будем рассматривать случай п - 3, чаще используемый в приложениях.

7.2. Декартовы системы координат в аффинном пространстве

в базисе ап называются декартовыми (или прямолинейными) координатами точки М. Вектор х лм называют радиус-вектором точки М.

Зафиксировав какой-либо другой координатный репер (В, 6,) в А }1

можно поставить в соответствие той же самой точке М ed l3 другие

декартовы координаты хви = х '1. Из аксиом-а",-в"аффинного пространства следует, что векторы х АМ,хш ,хдл (и им противоположные) принадлежат

закон, не зависят от выбора точки M e A 3t а зависят только от выбора

пары координатных реперов (А, а) и (В, bt). По этой причине далее мы будем называть координатный репер декартовой системой координат в сА}. Преобразование (7.1) декартовых систем координат в сА3 называется

где [ а / ]~ [bj *Г 1 (очевидно, невырожденная), а' = - а у ‘bJ. Подставляя

(7.3) в (7.2), получаем закон связи декартовых координат точки М при последовательном осуществлении двух аффинных преобразований,

где dj' =ск 'djк есть компоненты невырожденной матрицы, d' - су'aJ + с1.

Видно, что (7.4) — также аффинное преобразование. Обратное преобразование (7.3) для любого аффинного преобразования (7.1) существует и также является аффинным. Тождественное преобразование

хи = х' является аффинным b‘ =0). Справедливость

ассоциативного закона для последовательного осуществления трех любых аффинных преобразований предлагается доказать читателю. Таким образом, множество всех преобразований декартовых систем координат пространства А 3 друг в друга представляет собой группу, называемую аффинной группой. Данное свойство делает любые декартовы системы координат в гА3 равноправными.

Определяемое фиксированной декартовой системой координат соответствие точек А 3 и упорядоченных троек чисел (элементов Я3)

является взаимно-однозначным. Таким образом, произвольная точка <А3

представляется упорядоченной тройкой действительных чисел (отнесенной к некоторой декартовой системе координат) с законом преобразования (7.1) при замене декартовой системы координат.

Сформулированное предложение составляет суть координатного определения аффинного пространства.

7.3.Криволинейные системы координат в аффинном пространстве

Ваффинном пространстве могут быть определены системы координат более общего типа, чем декартовы. Чтобы отчетливее понять различие тех и других систем координат и, не отвлекаясь на второстепенные детали, исследовать групповые свойства введенных, мы привлечем к рассмотрению систему намного более общую, чем аффинное пространство, — элементарное многообразие.

Элементарное многообразие М есть некоторое множество, для которого существует взаимно однозначное соответствие с элементами каждого из открытых множеств Юа,2)р|...с7?3 (рис. 7.1) с

а 'л 2£)**>*>

любой пары множеств

(7.5) где допустимость функций (7.5) подразумевает их непрерывную

и отличие от нуля якобиана преобразования в этой области

(7.7)

Данные условия необходимы и достаточны для взаимной однозначности и непрерывности множества допустимых преобразований (взаимно­ однозначное непрерывное отображение называют гомеоморфизмом). Для другой допустимой тройки функций

в области Vy, являющегося непрерывно дифференцируемым и имеющего

отличный от нуля якобиан в этой области. Подставив (7.9) в (7.5), получим

n, =n'^Vx'.z-.xJ;.Vrx'.x’.zJA4J(,x'.z-.zJ;>=^Yx'.xJ.x3;- (7.10)

Поскольку функции (7.9) и (7.5) — непрерывно дифференцируемы, то и (7.10) — также непрерывно дифференцируемые функции

X 1(■,;■) еС 'О ),)

+ 0, (х'.Х3.Хл) е Ц ,

то есть преобразование (7.10) — допустимое. Тождественное

преобразование т\‘ = , очевидно, также допустимо. Несложно проверить

и справедливость ассоциативного закона для трех последовательных допустимых преобразований. Следовательно, допустимые преобразования элементов Ж образуют группу.

Вернемся к аффинному пространству. Зафиксируем произвольную декартову систему координат в сА3. Рассмотрим тройку функций,

осуществляющих однозначное отображение точек области ТА с

удовлетворяющих условиям гомеоморфности, то есть непрерывной дифференцируемости и отличия якобиана преобразования от нуля. Набор функций (7.11) задает так называемую криволинейную систему

введением одной криволинейной системы координат на Ж с <А3 мы можем ввести и другие, связанные с первой допустимыми преобразованиями. Поэтому рассматриваемая область аффинного пространства вместе с криволинейными системами координат будет представлять собой по крайней мере элементарное многообразие, а преобразования криволинейных систем координат — образовывать группу по доказанному ранее. Групповые свойства множества всех криволинейных систем координат в области аффинного пространства делают эти системы равноправными.

Итак, более общее определение системы координат на открытом множестве Ж с сА3 подразумевает всякое гомеоморфное отображение

этого множества в декартово трехмерное пространство К3 Декартова система координат является частным случаем системы координат в

Рассмотрим примеры систем координат в <А3.

1.Цилиндрическая система координат в положительном

Предлагается проверить, что данные функции задают систему координат в рассматриваемом подмножестве <А3. Область изменения криволинейных координат (0,+оо) х (0,% / 2 )х (0,+оо) .

Если декартова система координат ортонормированием, (будет определена в п. 7.6), то записанный набор функций в 7Л задает так называемую цилиндрическую систему координат (рис. 7.3£). В данном случае координатные поверхности р = р м, ф = фд,, z - z M представляют собой соответственно бесконечный круговой цилиндр радиуса р д/,

плоскость, параллельную образующей этого цилиндра и проходящей через его ось и точку М, и плоскость, перпендикулярную образующей цилиндра и проходящей через точку М. Координатными линиями будут окружность

Рис. 7.3. Цилиндрическая и сферическая системы координат

2.Сферическая система координат в положительном октанте.

s p = tfjc '/ +(х3)3 + (х3)3)2. *<p= arctg~ . $3s 0 = arctg ((x1)3 +(x3)*)J

В декартовой ортонормироеанной системе координат записанные

допустимости (проверить).

Целый класс систем координат (вообще говоря, ортогональных — см. п. 7.6) может быть введен при помощи аналитических функций комплексной переменной [12], включающий кроме уже рассмотренных цилиндрической (полярной цилиндрической) и сферической систем координат эллиптическую и биполярную цилиндрические, тороидальную системы координат. Использование тех или иных криволинейных систем координат определяется соображениями симметрии решаемой задачи.

В механике сплошной среды с целью записи закона движения

деформирования, а координатные линии г\‘ — с их образами в текущий момент деформирования. Полагая, что пара систем координат, связанных с одними и теми же материальными частицами деформируемого сплошного тела в начальном и деформированном состоянии связаны гомеоморфным законом (7.8) (или обратным ему, (7.11)), с помощью данных законов можно ввести меры деформации малой окрестности любой материальной точки такой среды.

7.4. Поля в аффинном пространстве. Локальный базис

Функция, заданная на области Ы аффинного пространства //i; называется полем. Конечно, точки МеМ могут быть представлены своими декартовыми (х',х2,х3) или криволинейными (% нЛ н £ и) координатами. Значениями данной функциимогут быть скаляры (скалярное поле), векторы (векторное поле), тензоры из %рг (тензорное поле).

Операции над тензорными полями одного ранга (только скалярными, только векторными, и т. д.) и композиции тензорных полей, заданные на одной и той же области аффинного пространства выполняются поточечно. Все, что в предыдущих главах относилось к тензорам, естественным образом переносится на тензорные поля и имеет

место в тензорном пространстве значений поля в каждой точке аффинного пространства.

Втеории упругости механики сплошной среды для каждой точки деформируемого тела, занимающего область трехмерного аффинного пространства, определены тензоры напряжений и деформаций, а также тензорная функция, их связывающая.

Вчастном случае векторного поля в векторном пространстве значений поля можно определить особый базис, связанный с системой координат в аффинном пространстве и зависящий от точки поля (т.е. локальный). Введем этот базис.

Рассмотрим координатные линии некоторой криволинейной системы координат, проходящие через некоторую точку М с

линии %2 имеет вид дг=д

Требование (7.6) позволяет нам взять производную от этой векторной функции по в точке М (векторы репера at еХ„ от не зависят), что даст в результате вектор е2, касательный к координатной линии

Рис. 7.4. Смысл вектора локального базиса

Для произвольной координатной линии