книги / Теория пластичности

τ(1) = τc = f (γ(1) ) ,

или

При заданном в каждый момент времени е (9.48) представляет собой уравнение (в общем случае – нелинейное алгебраическое) для определения γ(1) .

При выполнении (9.48) и возрастающем девиаторе деформации e (в каждый момент времени определяемого интегрированием d с использованием любой из известных схем) одиночный сдвиг продолжается до техпор, покавнекоторойдругойсистемескольжения(например, 2) сдвиговое напряжение τ (2) не достигнет критического значения τc = f (γ(1) ) .

Начиная с этого момента, возрастание e вызывает двойное скольжение по системам 1 и 2, при этом должны выполняться условия:

τ(1) = τ(2) = τc = f (γ(1) + γ(2) ) ,

или

(9.49) – система двух алгебраических уравнений для определения

γ(1) , γ(2) .

Аналогичным образом рассматривается вовлечение в скольжение 3-й, 4-й и 5-й систем скольжения. При этом на каждой из активных систем скольжения должно выполняться условие текучести. При продолжающемся активном деформировании возможно возникновение ситуации, когда условие текучести выполняется одновременно более чем в пяти системах скольжения (при использовании закона типа шмидовского для ГЦК-кристаллов это соответствует нахождению ИТН в одной из вершин, где пересекаются 6 или 8 гиперплоскостей). В этом случае, опираясь на экспериментально известный факт

291

о некотором превышении латентного упрочнения над деформационным (активным), предпочтение отдают ранее вовлеченным в скольжение системам.

В конкретных расчетах обычно используют систему уравнений типа (9.49), записанную в приращениях, например, вида:

всем активным системам скольжения (в том числе и бывшим активными ранее, в текущий момент деформирования перешедших в разряд пассивных).

В настоящее время физические теории пластичности широко применяются для анализа процессов интенсивного пластического деформирования, где предположение о малости градиентов перемещений не применимо. В связи с этим остановимся на геометрически нелинейной модификации модели Линя, учитывающей также анизотропию упругих свойств зерен, т.е. при определяющем соотношении для зерна в виде:

где σ – тензор напряжений Коши, с – тензор четвертого ранга упругих свойств, d, de , dp – тензор деформации скорости, его упругая и пластическая составляющие.

В соотношении (9.51) учитывается геометрическая нелинейность: квазитвердое движение [76] представляется возможным связать с кристаллической решеткой – в коротационной производной тензора напряжений Коши σr фигурирует тензор спина Ω, характеризующий скорость вращения кристаллической решетки (модели поворота решетки рассматриваются в гл. 10). Таким образом, напряжения характеризуют именно упругие связи в зерне, связанные с изменением расстояний между соседними атомами. Стоит отметить,

292

что учет геометрической нелинейности (поворота решетки) значительно усложняет вычислительный алгоритм.

Основная идея модели Линя заключается в точном обеспечении движения изображающей точки в пространстве напряжений внутри или по поверхности многогранника текучести с точным определением активных в текущий момент СС. Для известного (определенного алгоритмически) набора активных СС в текущий момент времени при наличии поворотов система уравнений в скоростях имеет вид

изотропная функция упрочнения, определяющая текущее критическое напряжение сдвига по СС; использование неизотропного закона упрочнения не приводит к существенным изменениям алгоритма. Система (9.52) содержит:

–соотношения модели Линя (скорость касательного напряжения на активной СС должна быть равной скорости критического напряжения для этой СС) (9.52)1,

–закон Гука в скоростной релаксационной форме с учетом геометрической нелинейности (9.52)2 (аналог (9.46)),

–кинематическое соотношение (9.52)3 (аналог (9.42)),

–гипотезу Фойгта (тензор скорости деформации D определен с помощьюмоделимакроуровняилизадан(жесткоенагружение)) (9.52)4,

–соотношения той или иной модели поворота (9.52)5.

293

Алгоритм численной реализации модифицированной модели Линя

Весь интервал нагружения (деформирования) представляется совокупностью достаточно малых шагов по времени или неубывающему параметру (величина шага, вообще говоря, определяется из серии численных экспериментов). Пусть на начало данного (n + 1) шага для рассматриваемого зерна известны все величины: определяющий ориентацию кристаллографической системы координат (КСК) относительно лабораторной системы координат (ЛСК) на начало шага тензор О(n), на-

копленные пластические сдвиги γk (n) , критические напряжения по СС внутризеренного дислокационного скольжения (ВДС) τck (n) , напряжение σ(n) , а также вектор номеров kакт СС, которые были активны на конец

предыдущего шага. Кроме того, в результате принятия гипотезы Фойгта известны значения тензора деформации скорости в любой момент време-

ни на текущем шаге d(i ) = D(i ) , tn ≤ ti ≤ tn+1 , i =1,..., I , одинаковые в рассматриваемый момент времени для всех зерен, входящих висследуемыйпредставительныйобъем(поликристаллическийагрегат).

Интегрирование (9.52) в фиксированной лабораторной системе координат (ЛСК) связано с определенными сложностями, поэтому объединяются (9.52)2 и (9.52)3 и предлагается следующая схема интегрирования (с позиции подвижного наблюдателя, связанного с КСК) для определения неизвестных приращений сдвигов

p=1

294

где c jikl – известные компоненты (в КСК) тензора упругих свойств

ра поворота, совмещающего КСК с ЛСК, на конец шага. Заметим, что в данном случае используется неголономная мера деформации, определяемая интегрированием по времени тензора деформации скорости [76].

К системе (9.53) необходимо добавить уравнения для определения поворота на шаге (т.е. для определения Oih ), однако интегрирование такой совместной системы для нетривиальной модели поворота (когда Oih зависит от ∆ γj , j = 1,..., Ka ) представляется затруд-

нительным ввиду сложности уравнений для определения поворота на шаге. Поэтому для интегрирования (9.52) предлагается итерационная процедура, предполагающая в цикле:

1)решение (9.53) с текущим значением Oih ,

2)нахождение Oih = Oih (∆ γj ) ,

на первой итерации О равен единичному тензору.

Условием выхода из цикла является равенство (с принятой погрешностью) приращений сдвигов, определенных на соседних итерациях. Тензор О находится согласно принятой модели поворота КСК (некоторые модели рассмотрены в главе 10).

Процедура должна быть организована таким образом, что при активном нагружении изображающая точка в пространстве напряжений (ИТН) должна постоянно находиться в течение шага нагружения на поверхности многогранника текучести (рис. 9.2), при этом последний в общем случае может трансформироваться.

295

Затем анализируются касательные напряжения, действующие на конец шага на площадках, совпадающих с плоскостями скольжения ВДС.

Если суммарное число активных линейно-независимых СС ВДС меньше 5, то возможна активация СС ВДС, не бывших активными на начало шага. В этом случае, если есть СС, не являющаяся активной на начало шага и для которой выполняется критерий Шмида при условии линейной независимости с текущим набором СС ВДС, то она на данном шаге (подшаге) становится активной (назовем такую СС «новой»). Стоит отметить, что таких СС может быть несколько. Наиболее корректным представляется разбиение шага на подшаги, чтобы последовательно «активизировать» СС в модели, что представляется соответствующим физике процесса – изображающая точка в пространстве напряжений (ИТН) должна постоянно находиться в течение шага нагружения на поверхности многогранника текучести.

В случае, если добавлять СС в активные нельзя или нет «новых» СС, расчет НДС на данном шаге завершается.

3) Последовательная активация СС

Необходимо из «новых» СС, т.е. тех, для которых на начало шага критерий активности не выполнялся, но расчет согласно пункту 1 или пункту 2 свидетельствует о выполнении условия активности на конец шага, выбирать ту СС, которая активизируется первой из «новых» – это СС j*, на которой наблюдается максимальное превышение касательными напряжениями критических при операциях пункта 2 (или пункта 1, в зависимости от того, с какого пункта осуществлен выход на пункт 3).

Тогда приходим к задаче нахождения корня нелинейного урав-

нения

напряжение для СС j* (в СС j* происходит латентное упрочнение),

297

p=1

где σ1lk – компоненты тензора напряжений на начало шага (подшага),

σij2 – компоненты тензора напряжений на конец подшага.

Врезультате решения (9.55) будет найдет подшаг α , соответствующий моменту активации «новой» СС j*.

Задачу установления величины α , α [0,1] , являющуюся ре-

шением (9.55), можно решить методом деления отрезка пополам. При этом точность решения (имеется в виду «невязка», т.е. отличие значений функций справа и слева) определяется шириной (узкого) интервала, при попадании в который критическое напряжение можно принять равным значению на середине интервала. Таким образом, очевидно, что нельзя исключать возможности парной или множественной «единовременной» активации СС (при определенных ориентациях зерна такая ситуация неизбежна, например, в случае нагружения вдоль любой кристаллографической оси).

Определив величину подшага α , α [0,1] , рассчитаем НДС зерна на конец подшага согласно (9.56), (9.57) с постоянно активными («старыми») СС на подшаге [t(n) ,t(n) + α∆ t] .

Далее необходимо завершить расчет на конец шага. На оставшейся части шага [t(n) + α∆ t, t(n+1) = t(n) +∆ t] (состояние зерна на начало

этого подшага вычислено в конце первого подшага) СС j* принимается активной, для расчета НДС на конец шага используется система уравнений:

298

p=1

при этом возможно разбиение этого (завершающего шаг) подшага на подшаги аналогичным образом.

Примечание. Для случая нелинейного упрочнения необходима итерационная процедура, чтобы для активных СС условие Шмида точно выполнялось на конец шага. Для этого в случае наличия потенциально активных СС, определяемых на упругом шаге согласно пункту 1, находится β – корень уравнения (для изотропного упрочнения):

где τ(aktn +1) (β) – касательное напряжение на активных СС на конец ша-

∆ γΣ – суммарное приращение сдвига на шаге. Таким образом, не-

линейная зависимость критических напряжений от суммарных сдвигов будет аппроксимирована линейными зависимостями на каждом шаге (рис. 9.3).

Коэффициент β, обеспечивающий выполнение (9.60) (иначе говоря,

доставляющий нулевое значение функции h(β) = τ(aktn+1) (β) − f (γΣ (n+1) (β)) ), ищется методом деления отрезка пополам; в качестве начальных

точек (левой и правой) принимается βL = 0, βR = f '(γΣ (n) ) . При ка-

ждом рассматриваемом в процессе решения уравнения (9.60) текущем значении β* выполняются пункты 2–3 (в конце шага опре-

299

деляется значение h(β*) =τ(aktn+1) (β* ) − f (γΣ (n+1) (β* )) . Коэффициент β, доставляющий нуль этой функции, позволит точно обеспечить выполнение закона Шмида для всех СС на конец шага (рис. 9.3), используя при этом на каждом шаге линейные уравнения (9.53).

τc(3) τc(2)

τc(1)

Рис. 9.3. Условная диаграмма упрочнения τc = f (γΣ )

В результате описанной итерационный процедуры, позволяющей последовательно вовлекать СС в число активных, на конец шага будем иметь набор значений, описывающих НДС зерна: γk (n+1) , σ(n+1) ,

вектор номеров активных СС kакт(n+1) . Заметим, что значительное

число итераций понадобится лишь для очень резких изменений траекторий деформирования, так как итерации необходимы лишь при наличии на шаге «новых» СС.

Для перехода к модели поликристалла используется один из известных подходов к осреднению (чаще всего – ориентационное осреднение).

Модель Линя по сравнению с ранее рассмотренными обладает тем преимуществом, что позволяет определять последовательность активных систем скольжения и учитывает упругие деформации. В то же время использование гипотезы Фойгта (об однородности полных

300