книги / Теория пластичности

части (9.25) на ni, суммируя по повторяющимся индексам и учитывая (9.20), после необходимых преобразований приходим в конечном итоге к соотношению:

Следует отметить, что при доказательстве (9.26) мы непосредственно исходили из (9.23). В то же время доказательство можно существенно упростить, если учесть, что в модели Бишопа – Хилла принята гипотеза Фойгта; по существу, она сводится к утверждению об идентичности осреднения тензора напряжений по объему и (9.23)1, доказательство которого предоставляется читателю.

С использованием последнего соотношения может быть доказан принцип максимума работы для пластического поликристалла на основе принципа максимума для монокристалла, не прибегая при этом к понятию поверхности текучести поликристалла. Действительно, пусть σ * – микронапряжения, не нарушающие условия текучести и удовлетворяющие однородному условию равновесия, <σ *> – осредненные напряжения. Тогда в соответствии с (9.26) и (9.17) имеем

что и требовалось показать.

Аналогично доказывается принцип минимума сдвига для поликристалла. Пусть du и du* – непрерывные с непрерывными первыми производными поля перемещений, удовлетворяющие условию

сохранения объема ( du= du=* 0 ), имеющие одинаковые значения на поверхности единичного куба. Полагаем, что du ассоциировано с тензором микронапряжений σ , удовлетворяющим условию текучести. Тогда:

281

При этом справедливы следующие равенства:

В силу того, что dγ *(k) – геометрически возможны, но не обязательно физически возможны, в (9.30)2 знаки τ (k) и dγ *(k) могут быть различны, τ(k ) ≤ τ(ck ) , откуда получаем

В (9.30)1 знаки τ (k) и dγ (k) совпадают и положительны, на активных площадках τ(k ) = τ(ck ) , откуда следует

Полагая критические напряжения сдвига одинаковыми по агрегату, получаем принцип минимума сдвига для поликристалла:

Комбинируя (9.27) и (9.31), приходим к следующему соотношению:

282

Кроме того, справедливо неравенство

где dε * соответствует некоторому перемещению du*. Напомним, что принципы максимума работы и минимума сдвига являются двойственными [50] и в этом смысле эквивалентны друг другу, один следует из другого.

Как следует из последних результатов, принцип максимума работы справедлив для агрегата из монокристаллических зерен в предположении, что деформирование в каждом из них осуществляется сдвигом по определенным системам скольжения. Тогда из ранее сформулированного (без доказательства) утверждения следует, что может быть построен пластический потенциал, совпадающий с функцией текучести. Но тем самым решается в принципе вопрос об установлении определяющих соотношений в виде принципа градиентальности. Открытым остается только вопрос о величине скалярного множителя в законе градиентальности.

Построение функции текучести связано с определенными сложностями. В цитируемых работах Бишопа и Хилла приведены оценки снизу (с применением гипотезы Рейса) и сверху (на основе гипотезы Фойгта) для случая изотропии материала (на макроуровне); подробный вывод оценок содержится в [88].

Для применения теории Бишопа – Хилла к решению конкретных задач теории пластичности требуется построение поверхности текучести, которое замыкает процедуру установления определяющих соотношений. Действительно, если поверхность текучести будет определена, для установления ОС достаточно воспользоваться ассоциированным законом течения. Построение функции текучести поликристалла основано на теореме, сформулированной Бишопом и Хиллом в работах [105, 106]

Действительная работа, производимая над поликристаллическим агрегатом, равна работе, которую необходимо совершить над отдельными зернами, составляющими агрегат, чтобы все зерна испы-

283

тали микродеформации, равные макроскопической деформации поликристаллического представительного объема.

В математической записи теорема Бишопа – Хилла имеет следующий вид:

где σ – напряжения в зернах поликристалла, вызывающие в каждом зерне деформацию dε . Детальное доказательство теоремы приве-

дено в [88].

Кратко рассмотрим процедуру построения поверхности текучести, не вдаваясь в детали ее установления для конкретных типов поликристаллических агрегатов. Построение поверхности текучести (по аналогии с её экспериментальным определением) осуществляется перебором всех возможных направлений приращений пластических деформаций <dε >. Для любого заданного <dε >, рассматриваемого как свободный вектор в пространстве напряжений, для отдельных зерен определяются геометрически возможные векторы сдвига. Полагая известными к данному моменту деформирования накопленные сдвиги, а следовательно, – критические напряжения сдвига в системах скольжения, для каждого из зерен определяются напряжения σ , доставляющие максимальные значения работе в каждом зерне на приращениях микродеформаций, равных приращениям средних по агрегату деформаций <dε >. По существу, σ является решением задачи

оптимизации σ : <dε > → max при ограничениях σ : M(k ) ≤ τ(ck ) для

каждого зерна. В силу линейности целевой функции и ограничений для установления σ достаточно «перебрать» вершины многогранника поверхности текучести для каждого из зерен и выбрать из них значение σ , доставляющее максимум элементарной работе.

Отметим, что хотя для построения поверхности текучести в данный момент нагружения не требуется определять приращения сдвигов в системах скольжения, однако для установления критиче-

284

ских напряжений сдвига на следующем шаге нагружения необходимо иметь информацию о накопленных сдвигах. В связи с этим после определения σ устанавливаются физически и геометрически допустимые векторы сдвига, определяемые с помощью принципа минимума сдвига.

В результате решения указанной задачи оптимизации для каждого зерна определяется величина σ , а отсюда для любого заданного <dε > устанавливается значение

Из (9.35) с учетом (9.36) получаем

причем для заданного <dε > величина dP – постоянная, уравнение (9.37) определяет гиперплоскость в пространстве напряжений с «единичной нормалью» <dε >/|<dε >|. Иначе говоря, (9.37) определяет геометрическое место концов «вектора напряжений», соответствующих приращению деформаций <dε >. Кратчайшее расстояние от начала координат в пространстве напряжений до гиперплоскости, определенной соотношением (9.37), определяется как

Заметим, что конец «вектора» ∫σ dV также расположен в этой

V

гиперплоскости, однако∫σ dV не обязательно совпадает с < σ >.

V

285

В соответствии с принципом градиентальности для поликристаллического агрегата для произвольной точки поверхности текучести <σ > внешняя нормаль к ней совпадает с <dε >/|<dε >|, т.е. касательная к поверхности текучести гиперплоскость в точке <σ > совпадает с определенной выше гиперплоскостью (9.37) для любого заданного <dε >. Отсюда следует, что поверхность текучести определяется как огибающая гиперплоскостей (9.37), построенных для всех возможных направлений <dε >/|<dε >|.

Напомним, что поскольку «пробные» деформации имеют нулевую гидростатическую составляющую, поверхность текучести является цилиндрической с образующей, направленной вдоль гидростатической оси. Для построения этой поверхности достаточно определить направляющую на девиаторной плоскости.

Отметим, что в случае изотропного поликристаллического агрегата поверхность текучести представляет собой круговой цилиндр. В этом случае достаточно определить его радиус для любого направления в девиаторной плоскости. Для изотропии материала «в целом» требуется так называемая статистическая однородность. Последняя выполняется, если в каждом из зерен упрочнение полагается одинаковым на каждой из систем скольжения, а сами зерна имеют хаотическую ориентацию (ориентация распределена по равномерному закону). Для материалов в исходном отожженном состоянии последнее можно считать выполняющимся с достаточной точностью. Однако при деформировании поликристаллов до высоких степеней (с накопленной пластической деформацией свыше 0,5) в них развивается так называемая текстура – появление преимущественных ориентаций кристаллической решетки зерен по отношению к характерным направлениям обработки.

Рассматривая модель, нетрудно увидеть, что наиболее трудоемкой её составляющей является построение поверхности текучести на каждом шаге нагружения. В некоторых случаях такое построение представляет определенный научный интерес (например, для «тонкого» анализа особенностей эволюции поверхности текучести представительного объема поликристалла при сложном нагружении). Одна-

286

ко при современном развитии вычислительной техники данную процедуру можно исключить из алгоритма решения конкретных задач при использовании двухуровневых моделей. Для решения задачи на макроуровне в этом случае используется закон Гука в так называемой релаксационной форме

dσ = C : (dε – dεp ) ,

где С – тензор (4-го ранга) упругих свойств, dε, dεp – приращения полных и пластических макродеформаций. Приращения пластических макродеформаций dεp на каждом шаге нагружения определяются осреднением непосредственно из модели Бишопа – Хилла.

Сопоставляя модель Бишопа – Хилла с ранее изложенной моделью Тейлора, нетрудно убедиться, что концептуальные положения обеих моделей практически совпадают (а следовательно, модели Бишопа – Хилла присущи те же недостатки, что и модели Тейлора), однако модель Бишопа – Хилла отличается более глубокой «математической оснащенностью». Вероятно, это является причиной того, что в последнее десятилетие модели, имеющие в основе те же гипотезы и положения, что и модель Тейлора, стали называть моделями «типа Тейлора–Бишопа–Хилла». Модели этого тапа в последние 20 лет весьма широко используются при решении практически важных задач, в частности, для описания формирования и эволюции микроструктуры.

9.3. Модель Линя

В большинстве работ по физической теории пластичности в качестве одного из основных недостатков моделей Тейлора, Бишопа – Хилла и их модификаций отмечается неучет упругих деформаций. Т.Г. Линь полагал [59, 154], что упругими деформациями можно пренебречь в случае больших пластических деформаций, что недопустимо в ситуации, когда эти составляющие имеют один порядок.

287

Однако подобная ситуация при анализе упругопластического деформирования представляет ограниченный интерес даже в теоретическом плане и весьма редко встречаются в практически важных задачах. Тем не менее включение в рассмотрение упругих деформаций представляется необходимым, исходя из потребности определения остаточных напряжений (второго рода), во многом определяющих прочностные характеристики материала, и накапливаемой упругой энергии; кроме того, модель Линя частично решает вопрос о неопределенности выбора активных СС. Отметим, что первоначально модель Линя сформулирована для случая малых деформаций.

Модель Линя базируется на следующих основных гипотезах: 1. Скорости полных деформаций поликристаллического агре-

гата представляются суммой упругих и пластических составляющих:

2. Скорости полных деформаций отдельных зерен поликристалла ε(n) (n = 1,2,…, N) равны скоростям полных деформаций по-

ликристаллического агрегата:

3.Пластические деформации являются изохорическими, изменение объема определяется первым инвариантом упругих деформаций.

4.Пластические деформации обусловлены сдвигом по кристаллографическим системам скольжения и подчиняются закону Шмида.

5.Упрочнение изотропно и определяется суммарным сдвигом по всем активным системам скольжения.

Рассмотрим соотношения для произвольно выбранного зерна. При наличии одной активной системы скольжения k скорость сдви-

га γ(k ) в ней связана со скоростью пластической деформацией dp соотношением

288

При активизации нескольких систем скольжения девиатор пластической деформации определяется выражением:

k =1

где K – число активных систем скольжения.

В соответствии с последней гипотезой критические сдвиговые напряжения в каждой системе скольжения одинаковы и зависят от суммарного сдвига:

где f ′(.) – производная функции f по накопленному сдвигу.

Скорости упругих деформаций в зерне определяются соотношением

k=1

Впредположении изотропии упругих характеристик (отметим, что эта гипотеза может быть принята только в первом приближении) скорость изменения девиатора напряжений определяется согласно (изотропному) закону Гука:

скорость изменения шаровой части тензора напряжений (или среднего напряжения σ ) определяется также согласно закону Гука:

289

Заметим, что в случае исследования процессов с большими градиентами перемещений (т.е. геометрически нелинейных) материальную производную девиатора напряжений в (9.46) следует заменить на производную, не зависящую от выбора системы отсчета (чаще всего – коротационную [76]).

Рассмотрим процесс нагружения в пространстве девиаторов деформаций, определение шаровых составляющих тензоров деформаций и напряжений осуществляется аналогично рассмотренному ранее. Для решения (физически и/или геометрически) нелинейных задач, как правило, необходимо использовать пошаговые процедуры, согласно которым весь интервал нагружения разбивается на ряд малых шагов (приращений нагрузки или перемещений).

Рассматривается представительный макрообъем поликристаллического агрегата. В начальный момент материал полагается находящимся в естественной конфигурации, в силу чего все компоненты тензоров напряжений равны нулю, компоненты тензора деформаций в этой конфигурации также полагаются нулевыми; ориентации всех СС полагаются заданными (тем или иным законом распределения). Для представительного объема полагается заданным закон нагружения (т.е. заданы все компоненты тензора деформации как функции времени (или возрастающего параметра), а следовательно, в каждый момент нагружения известны компоненты тензора деформации скорости).

На первом шаге материал является упругим; задавая тензор деформации скорости перемещений в соответствии с (9.46) и учитывая, что de = d, определяется скорость изменения девиатора напряжений. Интегрируя, по последней определяется момент достижения в одной из СС (например, с номером 1) сдвигового напряжения, равного по модулю начальному критическому напряжению τ c0 = f(0). После этого момента начинается неупругое скольжение по системе 1 при возрастающем девиаторе деформации e (последний определяется интегрированием d). При этом в каждый момент деформирования должно выполняться условие пластического течения:

290