книги / Теория пластичности

ния); возможно, более существенное влияние на процесс неупругого деформирования они оказывают как генераторы дислокаций и как «устройства», реализующие аккомодационные механизмы.

Кроме того, на границах зерен реализуются ограничения, накладываемые на пластическое деформирование зерна различно ориентированными соседними зернами; например, скольжение дислокаций в одном зерне не может свободно продолжаться в соседнем с ним зерне в силу несовпадения кристаллографических систем. Наличие этих разориентировок СС соседних зерен служит одним из основных источников активизации ротационных мод деформирования поликристаллов, является причиной существенной неоднородности деформирования зерен и возникновения концентраторов напряжений (особенно в так называемых тройных стыках зерен). В большинстве работ по ФТП учитывается именно второй аспект влияния границ, связанный со стеснением пластических деформаций за счет разориентировки соседних зерен.

Модель Закса

Одной из первых попыток построения одномерной модели поликристалла на основе рассмотрения совокупности монокристаллов была модель Закса [161]. В данной модели зерна полагались ориентированными хаотически (по равномерному закону), взаимодействием между зернами пренебрегалось (в силу чего эту модель можно назвать «полностью несовместной»).

Модель Закса в исходной формулировке предназначена только для определения предела текучести при одноосном растяжении поликристаллического образца по известному значению критического напряжения сдвига в СС монокристаллов-зерен и заданному закону распределения ориентаций кристаллографических систем координат (КСК) зерен по отношению к лабораторной системе координат (ЛСК).

Рассмотрим одноосное нагружение цилиндрического образца из поликристаллического материала; ось х1 с единичным вектором базиса е1 направим вдоль оси образца. В рассматриваемом случае все компоненты тензора напряжений Коши σ, за исключением σ11, пола-

261

гаются нулевыми. Мысленно пересечем образец плоскостью, перпендикулярной его оси, и выделим все зерна, пересекаемые данным сечением (см. рис. 9.1).

Рис. 9.1. Схема к модели Закса

Вмодели Закса полагается, что каждое из зерен также находится

всостоянии однородного одноосного растяжения (сжатия), как и обра-

зец в целом, однако величины напряжений σ11 в каждом зерне могут отличаться от напряжений в других зернах. Величина напряжений

вкаждом зерне определяется из условия достижения касательным напряжением хотя бы в одной СС (в «слабейшем звене») величины кри-

тического напряжения сдвига τ c, считающейся известной для анализируемого типа кристаллитов-зерен и одинаковой для всех зерен. Таким образом, для каждого из зерен, попавших на введенное сечение, зная ориентацию КСК относительно ЛСК, вначале определяется макси-

262

ваемого случая одноосного нагружения M(k ) = e1e1 : b(k )n(k ) , ( ∑) ).

(k )

Тогда для каждого п-го зерна напряжение σ11(n) определяется как

ния n-го зерна, пересекаемого введенным сечением, а через S – площадь поперечного сечения образца в целом, предел текучести при одноосном нагружении определяется тогда соотношением:

N

∑σ11(n) S(n)

Расчеты по модели Закса дают значение макроскопического напряжения текучести σs, равное 2,2τ c. Хотя полученный результат существенно (примерно на 30 %) отличается от экспериментально определенного предела текучести, его все же следует признать удовлетворительным для своего времени.

К основным недостаткам модели Закса относятся невыполнение условий равновесия и совместности деформаций соседних зерен, неучет упругих деформаций. Модель Закса может быть использована для определения предела текучести при одноосном нагружении, для построения кривой одноосного нагружения σ –ε требуются дополнительные предположения.

9.2. Модели Тейлора – Бишопа – Хилла

Модель Тейлора

Вероятно, первой достаточно реалистичной попыткой установления связи σ – ε при одноосном нагружении поликристалла на основе соотношений длямонокристалла можно признатьмодельТейлора [195]. При её построении Тейлором использованы следующие гипотезы:

1. Поликристалл представляет собой агрегат из большого числа хаотично ориентированных зерен.

263

2.Поведение каждого из зерен описывается жесткопластической моделью; деформации зерен осуществляются только кристаллографическим сдвигом по известным для данного материала кристаллографическим системам (скольжения).

3.Упрочнение одинаково во всех плоскостях скольжения и определяется свойствами монокристалла (зерна).

4.Границы зерен имеют нулевую толщину, не осуществляют вклада в механизмы неупругого деформирования.

5.Деформации (или деформации скорости) полагаются однородными в пределах макроскопического представительного объема

=dp (k) = <dp>= d).

Внаиболее распространенных кристаллах с ГЦК- и ОЦК-ре- шеткой число систем скольжения существенно превышает число независимых компонент девиатора деформаций (см. гл. 3), что обусловливает неоднозначность определения сдвигов по кристаллографическим плоскостям по заданному девиатору деформаций. Указанное обстоятельство является одной из существенных трудностей построения физических теорий пластичности. Как избежать этой трудности?

Для ее преодоления Тейлором был предложен эвристический принцип, суть которого состоит в следующем. Полагается, что любая деформация (или приращение деформации) осуществляется сдвигом по не более чем пяти независимым системам скольжения, определенным из условия минимальности суммарного сдвига . Представляющий, по существу, гипотезу, данный принцип минимума сдвига основывался на наблюдениях за поведением одиночных кристаллов.

Обозначим через dγ((kn)) приращение сдвига в n-м зерне по k-й системе скольжения (соответствующая скорость сдвига обозначается как γ((kn)) ). Тогда принцип минимума сдвига математически записывается в виде

264

k =1

при этом в силу принятой гипотезы Фойгта должно выполняться ограничение:

k =1

где d – предписанный (заданный в каждый момент деформирования) девиатор деформации скорости; здесь в обозначении ориентационного тензора появился индекс п, относящийся к номеру зерна; в дальнейшем он будет сохраняться только в случае, если из контекста неясно, что ориентационный тензор относится к системам скольжения определенного зерна. Заметим, что в случае отказа от предположения об изотропном упрочнении в каждом из зерен принцип минимума сдвига трансформируется в принцип минимума мощности, согласно которому действительные скорости сдвига доставляют минимум мощности (по сравнению с кинематически возможными скоростями сдвигов):

k =1

Более подробно принцип минимума мощности рассмотрен ниже. Как отмечено ранее, критические напряжения сдвига в исходной модели Тейлора приняты одинаковыми во всех системах данного

зерна и обозначаются как τ(cn) . Тогда элементарная работа dA(п), произведенная в п-м зерне объемом V(п), определяется соотношением:

k =1

где Кn – число активных систем скольжения в данном п-м зерне в рассматриваемый момент нагружения.

265

Элементарная работа dA, производимая на сдвигах по активным системам скольжения в агрегате из N монокристаллов, определяется следующим соотношением:

Заметим, что в правой части (9.11) суммирование по числу активных систем скольжения осуществляется от 1 до Кn, т.е. в различных зернах это число может быть различным (1≤ Кn ≤ 5).

В модели Тейлора полагается, что вся подводимая к образцу механическая энергия расходуется на совершение пластической деформации. В случае одноосного нагружения (при действии напряжения σ 11) элементарная работа внешних сил в предположении одноосного макроскопического напряженно-деформированного состояния равна σ11dε11 (∑V(n) ) ≡ σ11dε11p (∑V(n) ) . Тогда, приравнивая работу внешних напряжений и работу внутренних сдвиговых напряжений, получаем:

Последнее соотношение позволяет построить кривую одноосного нагружения поликристалла с использованием модели монокристалла. Процедура пошагового построения кривой состоит в следующем: пусть кривая построена для определенной предшествующей деформации ε 11, т.е. известны напряжения σ 11 во все предшествующие моменты нагружения, накопленные сдвиги, критические напряжения сдвига во всех зернах; ориентация зерен полагается неизменной и известной.

266

Задается достаточно малое приращение деформации ∆ε 11, являющееся одновременно приращением главной деформации ∆ε 1 = ∆ε 11; из условия несжимаемости два других главных значения приращений деформаций ∆ε 2 = ∆ε 3 = –1/2∆ε 1 (при этом ∆ε 2 = ∆ε 22, ∆ε 3 = ∆ε 33, все остальные компоненты тензора ∆ε равны нулю). Следует подчеркнуть, что в данном случае главные оси тензоров ε и ∆ε совпадают и неизменны. По заданному тензору ∆ε данного шага нагружения в каждом зерне определяются приращения сдвигов по активным системам скольжения, обеспечивающие минимальность приращения суммарного сдвига.

По накопленным сдвигам (с учетом приращений на рассматриваемом шаге) определяются критические напряжения сдвига в каж-

дом зерне τ(cn) , n = 1, N , после чего легко определяются значение

правой части (9.13) и величина σ 11.

Тейлор применил описанную процедуру для построения кривой одноосного деформирования алюминия (ГЦК-решетка). Результаты расчета хорошо согласуются с экспериментальными данными, что подтверждает приемлемость модели для рассмотрения, по крайней мере, одноосного нагружения.

Таким образом, модель Тейлора [195] сводится к минимизации мощности работы на сдвигах (в пространстве скоростей сдвигов) (9.9) при ограничении (9.8), после чего для определения девиатора напряжений используется (9.3) (или (9.4)) с ориентационными тензорами, соответствующими активным системам скольжения.

Постановку задачи минимизации мощности для каждого зерна можно переформулировать следующим образом. Введем обозначения (определив компоненты тензоров в базисе ЛСК):

b = {bi }, b1 = d11 , b2 = d22 , b3 = d12 , b4 = d23 , b5 = d31.

267

Тогда задачу (9.9) – (9.8) можно записать в канонической форме задачи линейного программирования:

Процедура решения следующая: из решения возможных для данного типа кристаллов систем линейных алгебраических уравнений (А2) (каждая из систем содержит в общем случае 5 уравнений) определяются соответствующие наборы скоростей сдвигов; из них сразу «отбраковываются» решения, содержащие отрицательные компоненты вектора х. Из оставшихся «наборов» определяется удовлетворяющий (А1). Нетрудно видеть, что задача (А) представляет собой классическую задачу линейного программирования.

Заметим, что в собственно модели Тейлора девиатор напряжений вообще отсутствует, напряжения априори полагаются такими, что активизируют все необходимые для реализации предписанной скорости деформации системы скольжения, причем число СС равно числу независимых компонент девиатора деформаций (скоростей деформаций). Компоненты девиатора напряжений определяются на втором этапе, после определения активных система скольжения и скоростей сдвига по ним. Для этого используется закон Шмида, представляющий в этом случае систему линейных алгебраических уравнений относительно компонент девиатора напряжений (число уравнений равно числу активных систем скольжения).

Резюмируя, можно отметить следующие проблемы, возникающие при применении модели Тейлора:

1.Неединственность определения совокупности 5 скоростей сдвига, реализующих предписанный девиатор скоростей деформаций.

2.Возможное несоответствие напряженного состояния виду деформированного состояния (например, при одноосном нагружении напряженное состояние может отличаться от одноосного).

268

3.Невозможность определения тензора напряжений по скоростям девиатора деформаций, поскольку имеем материал со связью (несжимаемость) [87].

4.Не исключена ситуация, когда минимум мощности достигается на совокупности систем скольжения с числом нетривиальных скоростей сдвига, меньшем 5 (например, при совпадении систем скольжения с плоскостями и направлениями главных скоростей сдвига). Эта ситуация соответствует нахождению изображающей точки в пространстве напряжений (ИТН) на грани или ребре многогранника текучести. Ряд авторов трактует данную ситуацию как так называемое вырождение системы уравнений. Это представляется не совсем верным. Действительно, в модели Тейлора поиск осуществляется именно в вершинах многогранника, и число уравнений должно соответствовать числу неизвестных компонент девиатора напряжений (случай большего числа упомянут выше). Однако в данном случае (9.9) не дает критерия отбора единственного набора активных систем скольжения (ненулевые сдвиги), и решению с точки зрения минимума мощности сдвига удовлетворяют все ИТН в вершинах многогранника текучести, примыкающие к данной грани или ребру, хотя напряжения при этом существенно отличаются. Последнее возможно, например, в случае чистого сдвига при ориентации одной из систем скольжения, в точности соответствующей сдвигу по данной системе.

5.Невыполнение условий равновесия на границах зерен.

6.Сложность реализации модели, связанная с необходимостью определения активных систем скольжения и сдвигов в них, доставляющих минимум суммарному сдвигу. Процедура решения данной задачи минимизации оказывается весьма трудоемкой.

7.Неучет в модели Тейлора упругих деформаций.

Достаточно грубым является также предположение об однородности деформаций в зернах, что не соответствует результатам микроэкспериментов, особенно в случае сложного нагружения. В реальных процессах деформирования микродеформации неоднородны даже в пределах каждого зерна и субзерна.

269

Заметим, что часть (п. 2, 3, 4) из указанных выше недостатков в известных авторам работах не отмечалась. Однако и отмеченных ранее оказалось вполне достаточно, чтобы стимулировать исследователей к совершенствованию модели Тейлора. В первую очередь появились работы, направленные на «подведение» под модель Тейлора более глубокой математической «базы», замену интуитивно высказанных положений математически строго доказанными. При этом основные положения и гипотезы модели Тейлора остались неизменными. К числу наиболее ярких работ этого направления относятся статьи Бишопа и Хилла [105, 106], подробно анализируемые ниже.

Модель Бишопа – Хилла

В модели используются некоторые положения макроскопической теории пластичности. В частности, используется понятие поверхности текучести, f(S) = σ s; принимаются соотношения ассоции-

рованного закона течения, dep = dλ ∂ f . Полагается, что упругими

∂ S

деформациями можно пренебречь; пластическое деформирование осуществляется без изменения объема, dε p = dep.

В теории используется также введенный в макроскопической теории пластичности принцип максимума работы (см. гл. 4). Пусть в некоторый момент нагружения действительное напряженное состояние в рассматриваемой частице определяется тензором σ и отвечает состоянию пластического деформирования (т.е. σ изображает положение на поверхности текучести). Данному состоянию отвечает тензор приращения деформаций dε (dε = dε p = dep), направленный согласно сказанному выше по нормали к поверхности текучести. Далее, пусть σ * ≠ σ – напряжение, не нарушающее условие текучести при данном положении и данных размерах поверхности текучести, т.е. σ * отвечает точка в пространстве напряжений, лежащая внутри или на поверхности текучести. В силу выпуклости последней угол между (σ – σ *) и направлением внешней нормали к поверхности текучести (а следовательно, dε ) должен быть острым, откуда

270