книги / Механика деформаций гибких тел

CKUM. Якобианы этих базисов обозначаются соответствеппо /(X) и ]'{х). Определяющие равенства

■^л'лг —AJV• Адг, A K M L * (AJVXАдг)• Ai,,

ВВОДЯТ компоненты метрических и дискриминантных тензоров обоих базисов H матрицу их взаимного преобразования.

Uo определению двухпараметрический базис подчинен усло­ вию ортогональности

Производные от его векторов представимы разложениями (1.2.3), коэффнцнеп'п,! которых определяются равенствами (1.2.4) и (1.2.5). /(ли рассматриваемого базиса, подчиненного условию ортогонал1,ш)стн (2.1.5) с единичным вектором аз, из (1.2.4) следуют дополняющие (1.2.5) равенства

=® Ьп*аз= &ИЗ = О,

с , - а’ -а,,,,,, = •а„,„ = (а„.а,),„ — а„-аа,, = — а„-Ь„ = — Ь,„.

(2.1.6)

В отлпчие от (2.1.6), формулы (1.2.5) справедливы для произ­ вольного дву.чнараметрического базиса.

При формулировке граничных условии па кромочной поверх­ ности ^ 3 удобна специальная система координат, привязанная к граничному контуру Вместо переменных ж* и х* в его ок­ рестности вводятся переменные х** и х”, являющиеся внутрен­ ними параметрами базовой поверхности, отсчитываемыми вдоль контура и но нормали к нему, так что ^x** = — элемент дли­ ны контура, dX'' — элемент длины нормальной липни. Базис си­ стемы координат образуют единичные векторы е„ = дх/дя^^, Cv ^ дх1дх'\ ортогональные вектору а® и представимые вследствие этого разложениями е„ = ец„а", Cv =» СупВ”.

В точках контура первый из векторов является касательным и к контуру, и к кромочной поверхности, второй — нормальным к контуру II касательным к поверхности, так что Es = е», Е , * а„ =

В начальный момент времени и в процессе деформации обо­ лочка подвергается механическим и/нли термическим внешним воздействиям. Термические воздействия имеют характер поверх­ ностных и объемных тепловых полон, механические — кинема­ тических связей, поверхностных и объемных силовых полей.

Локальные повороты порождают двумерное поле изгибаний ба­ зовой поворхпости

C помощью зависимостей (2.2.4) и (2.2.5) прострапствеппые векторы деформаций (1.1.15) представляются выражениями

Ua = Пз, и„= Un+Х \ п,

(2.2.7);

Uw = OJTJ — Эл-], Vn — Ьп) — Ьп]1

которые вводят два двумерных кинематических тензора оболоч­ ки: тензор метрических деформаций плг(х) и тензор изгибпых деформаций Vn(X). Равенства (2.2.7) раскрывают явную зависи­ мость объемного тензора деформаций оболочки от нормальной координаты X^. Видна однородность вектора нормальных дефор­ маций Ua относительно этой переменной и линейная зависи­ мость векторов тангенциальных деформаций и„.

Векторы метрических деформаций Un совпадают по опреде­ лению C соответствующими векторами (1.2.8) двумерного моментного континуума и формулой

выражаются через поверхпостные поля перемещений и поворо­

определяет вектор Пз через у и луз. О н является мерой нормаль­ ных (поперечных) деформации оболочюх. Последовательная це­ почка равенств

в совокупности C (2.2.6) задает тензор изгпбных деформаций через V и из.

Деформация оболочки порождает трехмерное поле напряже­ ний Z'^(X). В мгновенном состоянии оно подчиняется глобаль­

Л^

определенное в двумерном пространстве базовой поверхности. Оно содержит следующие динамические и кинематическое ноля:

Здесь г(х) и у (х) — поверхностные поля сил и моментов, порож­ даемые инерцноппыми и внешними силами, распределенными по объему оболочки п по ее внешним поверхностям ЗЗт',

2у (х е '? ’+) и Уу(х е 9'+) —контурные поля сил и моментов, по­ рождаемые внешними силами, распределенными по кромочной по­ верхности.

Величина

имеет смысл поверхностной плотности мощности деформации обо­ лочки. В соответствии с (1.1.98) и {2.2.1) она определяется ра­ венствами

P - Z " •(би),„ + 2® •бWJ + y" •(блУз),п —

- (ад., X Z'^ + Ь„, X у") •боУ = Z^'. боН;, + у" . боУ„ (2.2.14)

и содержит поверхностные поля г'^(х) и у"(х) внутренни.х уси­ лий и моментов, которые являются результирующими от поля напряжений по нормальному сечению (толщине) оболочки:

врезультате пптегрпропашш по частям и использования

формулы Грина глобальное ураппепие (2.2.11) приводится к виду

J ((г + дпг”)-6и + (у-г»+дпУ’')‘б^з+(ал')Х2^+Ь„)Ху”)-бо^)^^+

II дает выполняющиеся па базовой поверхности локальные ди­ намические уравнения

д„г” + Z = O,

UN-) X Z*' + Ьп) X у" = О

И выполняющиеся па ее граничном контуре условия

U = U, Wa = Wa Vx S 9?-;

(2.2.17)'

CvnZ" = Zv, СупУ" = Уу VX е 9'+.

Последпее из уравнении (2.2.16) является следствием условия безмомептности (1.1.96) континуума, образующего оболочку.

Скалярная формулировка полученных уравнений осуществля­ ется C помощью разложений

пепия совместности деформаций (1.2.21), которые способны за­ менить часть из уравпений (2.2.19). Локальным динамическим уравнениям (2.2.20) и граннчпым условиям (2.2.21) эквивалент­ но глобальное уравнение механической энергии

I (2*^илг + — р)(1^ + ^ {г^Ьим + У^Ьюзм) d'^ = 0,

в котором поверхностная плотность мощности деформации выра­

согласованной с (2.2.13) и (2.2.14) и устанавливающей энерге­ тически сопряженные обобщенпые параметры состояния оболоч­ ки: кинематические Usuu ^nMi и динамические у""*. Сле­ дующие из (2.2.15) равенства

выражают обобщенные динамические параметры через компо­ ненты пространствениого тензора напряжений.

Построенная таким 9бразом двумерная система кинематиче­ ских и динамических уравиепий требует формулировки двумерпых термодинамических и определяющих уравнеиии. C этой целью выделим мысленно начальный элемент объема обо­ лочки в виде призмы, боковая поверхность которой образована нормальным сечением, пересекающим базовую поверхность по элементарному замкнутому контуру А^’. Пусть A ^ — участок ба­ зовой поверхности, ограниченпый контуром A^?. К выделенному призматическому объему применимы иитегральные формуляров-

аЗВ \с1

Здесь по-прс/кпсму dZ, Р, dS п Q — скорости ппутреипей эпергпп, энергии деформации, производства энтропии и тепла в едпппце

пхш введении обобщеппы.х тердюдинампческих параметров:

ig ^ \ ( J Q -(/0 = ),,)(1 1 ^

Они имеют смысл осредпеппы.ч по толщппе оболочки скоростей

внешнего (д) и впутреппего (g") потоков тепла, тепловой (г+)' и внутренней (г~) дпссппацп!!, деформацпонпой (р) и внутрен­ ней (бг) удельпы.х мощпосте1г. Поверхностная плотность мощ­ ности деформацпи р выражается формулой (2.2.23) через дву­ мерные кинематические п дпиамичеекпе параметры состояния оболочки.

Из (2,2.26) следуют локальные формулировки термодинамиче­ ских ограничений в двумерном пространстве базовой поверх­

Эти условия должны выполняться в любом термомехаппческом процессе деформирования оболочки, нодчинепном кинематиче­ ской связи (2,2.3). Первое из них можно трактовать как урав­ нение, определяющее обобщенный термодинамический потенциал Z(х) — поверхностную плотность внутренней энергии деформиро­ ванной оболочки. Второе — как условие, которому должно под­ чиняться температурное поле.

Начальным и очень важным этапом копструировапня опреде­ ляющих уравнений деформируемо!! оболочки является выбор оп­ тимального массива определяющих параметров состояния. Для оболочки как пространственного тела из безмоментпого дисси­ пативного материала такой массив может быть образован из тем­ пературы Т, компонент 1Улгм) симметричного тензора деформаций Грина и их скоростей разного порядка. За исходные принима­ ются трехмерные определяющие уравиеиия, представляющие

5 = 5(1Ух.к„ Т, . .. ) , в которых многоточие допускает присутствие скоростей незави­

Соответствеппо (2.2.22) п (2.2.31) полагаем, что параметр Т, образующий объемное скалярное поле, может быть аппрокенмпровап известпой функцией координаты и поверхностного поля ^(x), так что

виешпих поверхностях первая из них принимает заданные зна­ чения, вторая обращается в пуль. Простейшим образом эти ус­ ловия можно удовлетворить, аппроксимируя 0о линейной, 01 квадратичной зависимостью от х^. При равномерном распределе­ нии температуры по толщине оболочки она сразу представля­ ется поверхностным полем T = 1 {х ) .

Конечно, зависимость (2.2.32) можно усложнить путем вве­ дения большего числа поверхностпы.ч полей-параметров. Одпако для занершеннон формулировки двумерпььх термодипампчески.х и определиющи.\ уравнений, отвечающих кинематической ап­

которые составляют искомую систему двумерных определяющих ypaniicHiiii. Полевые переменные t, llк^fu и их скорости об­ разуют массив двумсрны.х определяющих параметров деформи­ рованного состояния оболочки.

Система обобщенных определяющих уравнений (2.2.33) до­

Одно из пих имеет смысл обобщеппого^ уравнения теплопроводпости, другое определяет обобщенный' термодинамический по­ тенциал. Определяющие уравпепия выражаются в этом случае конечными зависимостями

Vucu t),

(2.2.35)

Поскольку пространственная деформация оболочки предпо­ лагается безмомоитпой, введеппое поверхпостпое поле поворотов V(X) является свободным. Имеющийся произвол может быть использован для упрощения сформулированной системы двумер­ ных уравнений, для чего следует задать определенные условия фиксации поля поворотов. Из соображений простоты и физиче­ ской содержательности могут быть предло}кепы следующие копкурептоспособные варианты условий фиксации.

П ервы й вариант. Поворот осуществляется таким образом, что направление повернутого вектора asi совмещается с направлени­ ем мгновенного вектора Bj), т. е. Bsjllaj).

в повернутом базпсе Wssj^Ua-Оз], которая является мерой уд­ линения нормального вектора при деформации.

Двух скалярных условии (2.2.36) недостаточно для полной фиксации поля поворотов. Сохраняется еще возможность свобод­ ного поворота базиса относительно вектора аз. Мерой такого по­ ворота служит компонента Уз вектора поворота. Проще всего

Второй вариант. Поворот осуществляется таким образом, что направление повернутого вектора аз] совмещается с иаправление5 мгнооеппой нормали к даформпромшюи базовом поверхыости. Как следствие возникает цепочка равеиств

Соответственио этому тензор метрических деформаций представ-