книги / Механика деформаций гибких тел

=заданного в ко- и коптраварпаптпом базпсах:

Последние два равопстна выражают ковариантпыс производные

H b iii координатными площадками; эле.мспт площади поверхности (Шч C нор.ма.'1ы() Ev H элелгопт длины dA'— расстояние между дву­ мя босконечио близкими точками X и X + (IX.

Фигу])нрую1цая в (1.1.5) волпчииа У(Х) представляет собой якобиан BBOAeiiHoii системы !чоордипат отпоситольно декартовой системы евклидова пространства,, или якобиаи базиса Ал-.

1.2.Формулировка кинематических уравнений

Пусть в иачальиыб момент времешг ко11тииуу,м под­ вергается механичсски.м и/или термнчесьчгл! воздействиям, кото­ рые вызывают сопровождающееся деформацией движение его материальных точек. При лагранжевом способе описания, при.мепясмом в далKIieiiHie-M, это движение моделируется преобразоваиие.м координатного базиса. Лагранжевы координаты .т'^’, указы­ вающие положение материально!! точки в начальный момент врс.мепп, но зависят от вре.менп. В совокупности с параметром т, отсчитывающим текущее время, они образуют полную систему независимых переменных. Состояние коптппуу.ма в текущий мо­ мент времени будем называть мгновенным или деформирован­ ным. Ради краткости условимся не указывать явно зависимость от времешг функций, описывающих это состояние.

Для установления киие.матических уравнепш"! дефор-мхгруемо- го континуума сравниваются два его состояния, разделеппые коИОЧПЫ.М про.межутком времени: начальное и мгновенное. Измене­ ние положения произвольно!! лгатериально!! точкп X континуума в процессе движения измеряется вектором перемещения U (X ), при этом ее позицпопиы!! вектор в .мгновепполг состоянии прппи-

мает значение X = X + U . Начальный базис Ал-(X) преобразу­ ется в мгновоипы!! базис

Здесь W JV(X ) — векторные компоненты тензора, имеющего смысл градиента вектора перемещения,

В соответствии с копцепцпе!! мо.мептного континуума при преобразовании координатного базиса допускается не зависящий от деромещеппя локальный поворот. Поэтому полное преобразоваппе базиса к текущелгу моАЮпту можно представить как супер­ позицию двух последовательных преобразовашпн жесткого пово­ рота, переводящего начальны|'1 базис в лскоторьп! повернутый, л деформации повернутого базиса в мгповеппьп!. Таким образом, преобразованпе осуществляется по схеме

A JV ( X ) ^ A JVJ ( X ) -А л -, ( X ) ,

в которой слева направо расположены пачалып.п"!, нопсрнутын н мгновенный базисы (два последних зависят от времени).

Любой жесткий поворот базиса может быть осуществлен ко­ нечным поворотом па определенный угол отпоентельпо онределенпой осп, проходяще!! через его начальную точку. Поэтому в качестве параметров, измеряющих такоГг поворот, можно принять угол поворота Ф (Х ) н едппнчньи"! направляющий вектор К (.4) оси поворота [34, 39, 73]. Проще же представить жссткн!'! попо­ рот одним направленным вдоль осп вокторо.м V ( X ) , длина кото­ рого вычисляется через угол поворота.

В тех немногих работах по механике деформируемых тел, где использован вектор конечного попорота, его длина задается либо

рота содержит особенности, поскольку длина вектора поворота при углах, кратных л, обращается в нуль или становится беско­ нечно б0ЛЬШ01Г.

Во избежание этого в работе [65] было использовано нату­ ральное представление вектора поворота как вектора, длина ко­ торого равна абсолютному значению угла поворота. В более поздних работах [66— 70] отдано предпочтение представлению Родрпга, так как оно рационализует все функциональные зависпмостп от компонент вектора поворота п дает наиболее изящное выражеипе тензора пзгнбанш'г. Для углов поворота, не превыша­ ющих .п/2, использование представления Родрпга не вызывает осложненш'г. В общем же случае предпочтительнее натуральное представление вектора попорота.

Преобразовапне жесткого поворота Ал-— Ал-, выражается че­ рез патуральпьп! вектор поворота взаи.мпо обратиымп формула­

C помощью тензора поворота O JV(X ), определяемого эквивалент­ ными равенствами

= ф .у X Ay + ФгУ X (V X Ау) = OiV X Ayj - O^V X (V X A yj),

При жестком повороте метрический п дискрпмппаптпый тензоры не изменяются, так что

Ау] •АлгI — Ay •А.ЛГ ^ Ayjr,

( 1.1.11)

(Ау, X АJr,) •Ar., = (Ау X А.и) •Ах, ^ Ay

Вследствие этого операция «жонглирования» ппдексамп в повер-

путо.м базисе осуществляется нрн помощи начального метриче­

ского тензора.

Решеипс любого из уравнений (1.1.8) отпоептелыю вектора поворота даст формулу

2Ф.У = А ''Х А у ,,

пырапсаюшую данны1'1 вектор через повернутый базис. Ее след-

стьпе.м являются равенства V A y j= V Ау, констатирующие

совпа.депие ьомпонеит вектора поворота в начальном п поверну-

TtiM ба.нгсах.

Поле копечпы.х поворотов, образуемое векторной функцией А'(X) и сохраняющее метрику пространства, может производить

.•МИШ, пзгпбашш погружепных в это пространство линии и поHCpxHOCTeii (в частности, коорднпатпы.х лшшй и поверхностей). AIepoii IiarnCamiii служат ве1{торы 5уАдг,. Имеется, однако, более

простая мера, выражаемая через указанные векторы. Действи­ тельно, ковариантпое днфферепцпровапие скалярного произведе­ ния (1.1.11) приводит к равенству Ax,, -SyAMj = -A .^! -^yAx.,, ко­

Введенные таким образом векторы V y(X) устанавливают более

которое C помощью (1.1.8) плп (1.1.9) дает явное представленпс векторов изгибаний через вектор поворота:

Vy = Ф.5уV + O=V X ^yV + (Ф,5уФ) V, Фз = (1 Фг) /Ф. (1.1.14)

Векторы изгибаний образуют тензорное поле изгибаний кон­ тинуума.

Преобразование Ау, Ау, поверщ'того базиса в мгновепны! порождает векторы U y(X ), определяемые формулой

метрического тензора пространства. Рапспства (1.1.6) п (1.1.10) позволяют преобразовать (1.1.15) в уравнение

которое вместе с (1.1.7) п (1.1.9) выра/кает векторы деформации через векторы перемещения п поворота.

Векторы деформаций образуют тензорное поле дефор.мацшк континуума.

Обращенные но отношению к (1.1.14) н (1.1.15) равенства

можно трактовать как систему урапненш’ , определяюпщх векто­ ры поворота H перемещения через векторга (тензоры) деформа­ ций. Условпя интегрируемости (совместности) oToii системг.г

сводятся C помощью (1.1.12) к уравнениям

{д.У м - l/2V;v X VM) = о,

(1.1.18)

Л^"” (5л-им + Ул.ХАм,) = 0,

которые и.меют смысл условий сплошности деформированной среды.

Для завершенпя фор.мулнровкн кннсл1атнчески.х уравнений остается вычислить скорости изменения но вро.ме11н (по парамет­ ру т) введенных кпие.матнческнх векторов. Пусть б — оператор полной производной по T (в системе лаграшкевгл.х пере-меппых у простых функций пет различия между полными и частными про­ изводными по времени). Тогда вектор 611 имеет с.мысл линейной скорости базиса. Вектор его угловой скорости пе совпадает с бУ. Если поворот па угол Ф произошел относительно осп с едиипчпым направляющим вектором Е, то вектор угловой скорости

позволяющее, как и аналогичное равенство (1.1.13), выразить угловую скорость базиса через вектор поворота:

щеиия базиса, отвечающих бесконечно малым приращениям к

Это типичная для механики фор.мула дпффсренцпровапия в под­ вижном базисе, в KOTopoii первое слагае.мое правой части пмеег смысл вектора относительной скорости движущегося объекта, выраженного вектором W, второе же — вектора его переносной ск<<ростн. Б математнческо.м смысле Ал-,бЖ^ есть относительная иронзнодная вс]{тора W, вычнелепиая при фиксированпом («за­ мороженном») новернутом базисе. Для нее вводится обозначение

щего ориентацию при повороте, т. е. совершающего сферическое

венство (б )). Величина бУ есть полная скорость изменения век­ тора поворота при двпжепни повернутого базиса с угловой ско­ ростью боУ.

определяющей скорости изменения по времени векторов нзгнбаnnii. Подобпььм же образом из равенства (1.1.15) находятся ско­ рости изменения по времени векторов деформаций

В соответствии с равенством (1.1.25) из (1.1.26) и (1.1.27) мо-

Cnoii походный смысл уравпешш (1.1.18) сохраняют в повер­ нутом базисе, принимая вид

= 0,

Для скоростей пзменеппя кинематических векторов естествен­ ными являются следующие разложения:

би = А"бб/.лг, боУ = А^’бКлг,

5лби - боУ X Ал-, = doVu = А"^бС^ям].

Сформулированные уравнения дают исчерпывающее описание ншематнкн доформнруе.мого мо.мсптпого континуума.

1.3.Формулировка динамических уравнений

Пусть H начальньнг момент времени в континууме вы­ делена нронлиильная пространственная область As^- с гладкой новорхпостыо A^v, на Biiouineii стороне которой определено поле

единичных нормальных векторов

Ev = Еу/щА^ = Е^^Ал'-

В текущий момент времсан выделенная область подвергается волдейетшпо сил н мо.мептов, распределенных по ее повер.хностп п объему п образующих поверхностные п объемные поля. В соот­ ветствии C прпнцшюм Даламбера в объемные поля В1ч\чючаются

пперцнонпые силы и моменты.

Главные векторы поверхностных сил и моментов, действую­

Yds^. Введенные таким образом векторные поля Zv(X) п Yv(X) представляют собой рассчитанные на единицу начальной площади плотности поверхностных спл п моментов в пропз-

вольно!! точке поверхпости A^v, а поля Z (X) п Y ( X ) - рассчптаншле па единицу пачальпого объема плотности объемных спл и моментов в произвольно!! точке области AJ ^.

I плотность среды, L ( X ) - тензор ее локальных моментов пперцпн (он не зависит от временп п является осредпенной по начально­ му единичному объему мерой пнерцпп структурных частпц сре­ ды при пх вращательном движеппп как твердых тел относитель­ но локальных осей).

Если па мгновенных коордипатпых селениях ввести рассчи­ танные на единицу пачалыю!! площади поля напряжеппп Z ''(X )

HIiii и моментов. Ради краткости соответствующими тензорами будут называться матрицы их векторных и скалярных ко-мпопепт.

Мгновенное состояние пыделеино1г области континуума под­ чиняется следующим интегральным динамическим уравнспиям

При дocтaтoчнoi^ гладкости рассдгатрнваедплх фупкцш! прсобразоваппе поверхностных интегралов по фордгуле Гаусса — Остро­ градского приводит к локальиыд! днпадшчсск11.м ураинсчшям модшнтпого коитпнуудха

выделенной в континуудш. Изучая их предельные cuoiicTBa при бесконечнод! у.меньшепин разд1сра области, дюжно установить, что на поверхности достаточно дгалого объемного эле.мепта ре­ зультирующие и парные напряжения образуют урапповешенные поля (с нулевьшп главпыдш векторами).

Локальньш динадшческид! уравнепняд! (1.1.38) ставить интегральное равенство

J ((« „ г " + 2).би + (8„У " + Am X Z " + Y )-б„У) д .а = О,

(1.1.39)

которое в результате интегрирования по частям и применения формулы Гаусса — Остроградского преобразуется к виду

имеет смысл объемиЫг плотпостн мощиости впутрепннх спл (наиряжетп! и моментов), поскольку опа равняется нулю для груп­ пы иеремещсшп! абсолютно твердого тела.

Де11ствнтелы10, такие перемещения подчиняются уравпепшо

би = C + боУ X X C по зависящими от координат векторами C а боУ. Поэтому

5лбоУ = 0, с?;уби = б о У Х М = боУХА,у„ чем и обеспечивается равепство P = O.

Ради краткости величипу (1.1.41) условимся называть удель­ ной лющиостыо дефор.мацшг. Благодаря (1.1.28) опа может быть выражена формуле!!

Остальные слагаемые под интегралом (1.1.40) имеют смысл /дельных MOiniIOCTeii объемных н поверхностных сил и моментов.

учесп. iiiieiimiic механические воздействия на поверхности SS^. Они .могут быть ]чмпе,матическ1шп и/пли динамическими (спло-

то уравиеппе баланса механической энергии для всего тела мож- 'HO представить в форме

|(г.би +у.боУ -Р)<гя^+ J (Zveu^-H Yv-SoV'') ^iPv = O.

(1 .1 .40

От (1.1.40) оно отличается только областью интегрирования.

Принимая во внимание выражения (1.1.41), (1.1.45)' и (1 .1 .46), можно совершить в (1.1.47) преобразование отдельных объемных интегралов к поверхностным (операция обратна той, (Которая была применена при переходе от (1.1.39) к (1.1.40)). В результате получается другая полезная формулировка уравне­ ния баланса механической энергии для всего тела в целом:

J ((Z + в„2").би + (Y + А», X Z " + гяТ") -^v) dst +

+ J ( я « и 2 " .( б й - б и ) + я » » т ’'.(8 ,у -б „ у ))й й (;г + « г

+ J ((Z ,-£ ',„Z ").б U + (Y,-£,„Y")■«,V)^гiг^ = 0. (1.1.48)

я +

Ясно, что локальные условия (1.1.38), (1.1.43) п (1.1.44) явля- ■ются достаточными для выполнения этого глобального уравнения.

G их помоиц>10 оно может быть записано в эквнвалситпых формах:

f ((Z + вк2").ви + (Y + А„, X Z " + Э«У").8У) d f f +

Для доказательства достаточно принять во внимание формулы

лентных формулировок уравнения виртуальных работ, если сим­ волы б и бо понимать как операторы варьирования. В этом слу­ чае вариации 611 и боУ представляют собой любые кинематиче­ ски возможные поля перемещений и поворотов. Локальные усло­ вия. (1.1,38), (1.1,43) и (1.1.44) являются необходимыми и до-