книги / Механика деформаций гибких тел

тепзор пзгибпых деформаций — ирямоугольпой матрицей

, Упм= ^п«адг.

[1^21 ^22 У2з]

Такую формулировку одиомерпой модели стержня уместно назвать градиентной. Она является вырожденной по отношешно к фор.мулпровке с явным выделением поля поворотов. Скалярное продставлсппе векторных iioneii и уравнений в ней осуществля­ ется ii начальном базисе. Система (3 .2.14)-(3.2.16) динамиче­ ских уравнении H граничных ycnoBiiii в разложенлп по этому базису н.меет вид

+= д ,у " " - 2 - " + у"" = 0,

= 2т, ^тзу""^ =

в• ,,J

= ил1, = WnM-

При построешш определяющих уравнений в.место (3.2.25) п

В результате решения одномерно!! задачи в любой из пред­ ложенных формулировок определяются одномерные кинематиче­ ские H динамические параметры деформации стержня: скаляр­ ное поле температуры t, векторные поля липеГшых н угловых перемещений и н лу„, метрических н изгибных деформаций Uw и Vn, впутреппих уенли!! п момептов 2^ и у". Восстановление объемных полей температуры, перемещений и деформаций про­ изводится по формулам (3,2.31), (3.2.22) и (1.1.108). C помощью определяющих уравнений (2.2.29) восстанавливается лпшь тан­ генциальный вектор напряжешп! поскольку для нормальных векторов Z" они не обеспечивают выполнения спловых граничных УСЛОВП1Г па трубчато!! поверхпостн стержня. Нормальные векторы папряженп!! могут быть па|"1депы нз дппамическпх уравнешш

(/Z") ------JZ - (JZ^) А„, X Z " = - А „ X Z^ (3.2.33)

правые частп которых вычисляются по решению одиомерпой за­ дачи. При интегрировании (3.2.33) удовлетворяется силовое ус­ ловие на трубчатой поверхности.

В итоге можно коистатпровать, что для деформируемых тел стержпеобразпой формы построена одномерпая нелинейная мо­ дель, определяющая все компоненты объемных нолей напряже­ ний и деформаций. В основу модели положена кипематическая связь, допускающая однородную деформацшо попоретаого сече-

нпя в CBoeii плоскости. Припятая связь дает Bimeiinyio зависи­ мость поля перемещений от координат нормального сечения. Oua превращает деформпруелгыи стержень в материальную линию, C каждой TOHKOii KOTopoii ассоциированы три независимых век­ тора — позпцноппьн! и два нормальных. Иначе говоря, трехмер­ ный континуум стержня подменяется одномерпым, дефор.мация которого обусловлена изменением этих трех векторов в каждой точке. Тем самым задача деформации стержня как трехмерного континуума, каждая точка которого обладает тре.мя степенями свободы (компоненты вектора лппенпых перемещонн1|), сведена к задаче деформации одномерного континуума, каждая точка ко­ торого обладает девятью степенями свободы (компоненты векто­ ра линейных и двух векторов угловых перемещешп!). Вследствие этого порядок системы дифференциальных уравненн11 одноме|)- пой модели по ее простраиственпон нерсмепно1г в три раза выше порядка исходной системы трехмерной модели.

В соответствии с npnnnToii KiiHeMaTiPiecKoii связью объемные тензоры деформацш! и напряжений породили контурные тен.торы метричес1шх и изгпбных деформацш!, усил1П1 и моментов.

При формулировке системы уравиентг одиомерио1| модели стержня произведено явное выделение жесткого поворота из пол­ ного преобразования координатного базиса. Введенное ноле по­ воротов кинематически связано с основными независимыми но­ лями линейных и угловых перемещений. Построенная одномер­ ная модель стержпя обладает большим числом кинематических степеней свободы, чем модель одномерного континуума Косссра.

Изложенная процедура построения одномерно!! модели дефор­ мируемого стержня может трактоваться как метод дискретиза­ ции по перемеппым х'- и Z- нcxoдuoii трехмерной задачи дефор­ мирования безмомептного тела, если аппроксимацию (3.2.3) применлть пе глобально, а по малым nneiiKaM сечения х^ = const.

§ 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ СТЕРЖНЕЙ

C ЖЕСТКИМИ ПОПЕРЕЧНЫМИ СЕЧЕНИЯМИ

Наибольшего согласованпя между oдиoмepuoii моделью стержня и моделью одномерного момептиого континуума можно достичь посредством подчипеппя деформации стержпя дополпительпой кинематической связи, дoпycкaIOщeii только жecткпit поворот поперечного сечения. При TaKoii связи каждое сечение стержня, поворачиваясь, остается плоским и по деформируется в своей плоскости. Математическим выражением DToii связи яв­ ляется условие

присоединяемое к (3.2.2). Из (3.2.3) следует формула

определяющая объемное поле перемещеппп стеряшя через одно­ мерные поля и (х), лу„(х) линейных п угловых перемещеппп нор­ мальных векторов. Опредслепие (3.3.2) поля лу„(х) угловых перемощеппп отличается от (3 .2 .3 ).

Формулы (3.2.7) для объемных векторов деформацпп стержня трансформируются в равенства

Тс.м самым кппематпческпе векторы „ исключаются пз чпсла попзпостшлх. Вектор Нз остается едппстиеипоГ! мерой метриче­ ских дсформащпг, как и в модели одномерного коптпиуума.

Следующие пз (3.2.8) равенства

место C (3.2.С) выражают вектор Нз метрических дефор.мацпй через векторы перемещения и поворота, векторы V,,, ту„ пзгпбпых деформацтпг п угловых iiepeMeiueiiiiii — через вектор поворота. Для TOIO чтобы угловые перемещения обладали кинематической свободо!'!, необходимо предоставить со вектору поворота. TaiaiM образо.м, векторы и, V перемещения и поворота — основные не­ зависимые кинематические параметры деформацпп стержня.

Формула (3 .3 .4 ) для тензора пзглбных деформаций свиде­ тельствует, что ед1ШСтвс1Шо11 нх мерой служит вектор Уз пзгпGaiiiiii GaaoBoii криво!!. Ec следствием являются равенства

•а|, = 0, Va 321 = О, V2 •а„ =* —Vi •82),

согласно которым тепзор пзгпбпых дефюрмацпй в повернутом базисе имеет матрицу вида

Г О НЛ121 У131]^1311

[-V-HlOJ ,] оО УоЗП з]]]’ "

Тензору метричечсских деформаций согласно (3.3.3) отвечает мат­ рица

ОО O iU ,

|_из11 Изз1 MsslJ

C помощью дифференциальных зависимостей

динамические уравнения

ураниення для восстановления прострапствеппых кинематических ПОЛО]'г

а

Локальнььм динамическим уравнениям (3.3.13) и граничным ус> ЛОВИЯ.М (3.3.14), (3.3.15) эквивалентно обобщенное уравнение баланса механической энергии

д2

J (J "би„ + У"'в|;„ - р) <&’ + г % 1 ! + У З » ? ! = о, (3.3.18)

в котором контурная плотность мощности деформацпп задастся формулой

и (3.3.19) рассматрпваемой модели стержня с соответствующшш

одпод1ерного моментиого континуума оставляет открытыми вопро­ сы построения определяющих уравнений и восстановленпя объелшых HOHeii напряжений и деформаций. В модели стержня с жесткими поперечными сечепнямн эти вопросы находят свое ре­ шение тем же путем, который указан в предыдущем параграфе для наиболее общей одномерной модели, отвечающей гипотезе НЛОС1ШХ сечений. Только процедура построения обобщенных оп­ ределяющих ypaBHCHHii нуждается в дюднфикацнп того же рода, что в упрощенных моделях оболочки.

В процессе построения определяющих уравненп!! следует от­ казаться от аппроксимацпонных условий Un = Un = О, поскольку

IfS

альпы.м C .математической точки зрения является переход от деформируе.мых поперечных сечений к жестким.

§ 4. КОММЕНТАРИИ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ ССЫ

Как и в теории дефорлшровапня оболочек, выделяются два подхода к математическому .лгоделировапию деформациГг стержпеобразпых тел — аксиоматический и аппроксимационный. Первый нз них представляет стержень как материальную линию и изучает ее деформацию под действием обобщенных внутрон-

них п внешних сил. Эта концепция сформировалась в трудах Я . Бернулли II Л. Эйлера [41, 91]. Ее характерными образцами являются работы [25, 78, 83], которые были обсуждспы в ком­ ментариях к первой главе. В другом подходе за исходную при­ нимается трехмериая формулировка задачи дсформпропаиия стержня и уименьшеыие простраиственио!! размерности достига­ ется TOii или иной аппрокспмацие]! зависимости решения от ко­ ординат поперечиого сечения.

Основополагающий вклад в формулировку ислиис11ио]г про­ блемы деформирования стержней аипроксимациоииым способом внес Г. Кирхгоф в 1859 г. [32, 89]. К элементу стержня, заклю­ ченному между двумя бесконечпо близкими поперечными (нор­ мальными к базовой липии) плоскими сечениями, ои при.моиил тот же прием, что к элементу пластины. По Кирхгофу, этот эле­ мент совершает конечный поворот и деформируется таки.м об­ разом, что его начальные поперечные сечения остаются плоскими и нормальными к искривлеипой базово1[ линии стержня. Для перемещеп1П1 внутри элелшнта была принята npocreiimaa аппроксп.мацпя, обеспечивающая непрерывность перехода соседних э.чсмоитов друг в друга. Условия непрерывности пршт.ии форму кинематических уравпепий, вводящих одномерные !гарамстры ко­ нечного состояния стержня: изгибпые деформации базовш! линии п ее отноептельпое удлинение. Из принципа возможных переме­ щений получены одномерные уравнения движения, согласоваиЕые C наложеппыми кинематическими связями. При формулиров­ ке полной системы уравнений использовано условие малости по­ перечных папряжеппи относительно продольных.

пзгибные деформации базовой линии через параметры малого по­ ворота поперечного сечения стержня. Упрощенное изложение ориближеипой теории Кирхгофа — Клебша дапо в фундамен­ тальной монографии А. Лява [41, 91]. Основательному пересмот­ ру эта теория подверглась в статье Г. Е. Хэя [88], где, по-впдп- мому, впервые сформулирована точная система ypaBneniiii Кирх­ гофа — Клебша для конечного деформпровашюго состояния стержня. По времени публикации и по своему значению статья запимает в пелпиейпой теории стержней место, подобное статьям Я . Л, Синга и В. Ц. Чиня [76, 103] в иелипейпой теории оболо­ чек. (Сведения о статье Г. Е. Хэя заимствованы у Дж. Л. Эрпксела U К. А. Трусделла [81].)

В своих частных формах нелинейная модель Кирхгофа — Клебша в течение многих десятилепп! успешно применялась для постановки и решения прикладных задач статики стержней ма­ лой пзгибноп /кесткости. Обширная библиография такого рода публикаци!! имеется в монографиях Е. П. Попова [51] и В . А. Светлицкого [53]. Полную формулировку и детальный ана­ лиз пелииепной модели Кирхгофа — Клебша с позпщп! трехмер-

iioit ПGЛImeйuoi■I теории упругости содержит монография Л. Л. Илюхина [30].

Иредпринятая С. Тимошенко [105] попытка выхода за рамк моде^ти Кирхгофа — Клебша в липейпой задаче динамики стергк- IifI была подх1зачспа позже и в uenimeiinoii теории стержней. C самых общп.х позиций основных законов пслнпсГшой термомеханикн сплошно!! среды подошли к этой проблеме А. Е. Грин ]г Л. М. Нахд1г [84]. Объемные поля псремещеиш'! и те.мпературы они аппроксимировали двонными степенными рядами по коордп- }1атам поперечного сечения стержня. В результате построена релсуррситпая последовательность систем одпомерных уравпепий, отиессиных дс метрике деформированного состояния. В первом ириближоишг, отвечающо.л! лиисд'шой аппродюдшацпи поля пе- ])0М01Ц0иий ][ однородному нолю температуры, получена «пря- •мая» формулиротча модели одномерного момептиого дюддтппуума

са. (Следовательно, в статье [84] дана не точная модель первого нриблнження, а .модель типа Коссера. Отвечающая этой модели система обыкновенных дифференциалынях уравнений выведена в справочном труде С. (il. Антмапа [72]. К трехмерной пелинеддHOii задаче он применил обобщенный проедщпонпый метод типа Галеркнна — Каиторошдча, по своеГд техшддсе родственный методу аналитической дииа.микдд твердого тела.

Представлеитдая во втором параграфе главы обобщеппая терлдолдохашдческая модель стержня с поперечпы.лдп сечепиямп, иснытывающндди одддородпую дефорддацидо, в ддолпой мере согла­ сована C .iHiieiiiioii аппроксимацией поля переддещепий по коор­ динатам поперечного сечения. В этом смд.дсло она является ТОЧНО!"! нсл!дпе1!иой лдоделыо первого прибл!!же11пя. Модели стержJreii C ЖССТК1ГМН понсрсчтгымдд сечеп1!ями, он!дса1!пт.1е в третьем параграфе, пе являются таковыми.

Подход C noaunnir трехмерпо1д теоршг позволил устаповддть соответствгш лдежду стерленем с жесткггмгг и ортогональпьтмхг дефop^Д!!poпaппoii базовой крггвой поперечн1>хмп сеченпяхдп п матергдальной лппней Кирхгофа, между стержхдем с жестхшми п прохдзвольит>хлд образо.м поворачххвахощххмххся поперечххьхмхд сеченххямхх U матерпалыгой лхиидех! Коссера, между стержнем с одххородххо деформххрующиддххся попорочпг.!дххх сечепхдяддхг п матерпальной лпIXXieii C девятьхо вххутрехгнхгмхг кшхсматпческххлдхд степенями свободг.х. Обобщепхххле ддоделхх деформацпхд стержня сформулированы в метрике пачалхчпого состояихдя с явным выделехпдем ххоля конечхххлх поворотов.

В книге представлепы пслппейные модели деформации для всех перечисленных во введении групп тел. Дефорлгацни безграничных сред и массивных тел описывает трехмерная ,лю-

тел сформулированы во взаимосвязи с трехмерными моделями момептного коптипуума Koccepa * и безмомеитпого континуума Копта. В основу копструировапня всех Moflcucii положен !ишс-ма- тпческп!! принцип явного выделения поля конечных поворотов материальных точек тела.

В первой главе дап вывод мехапичсскп п термодинамически согласованной системы уравнешп'г, описывающих копечпое де­ формированное состояние момептиого коптипуума Коссера. Каж­ дая элементарная частица (матернальпая точка) такого конти­ нуума обладает шестью скалярными степенями свободгя: тремя лппе1"шьшп п тремя угловылпг. Соответствеипо этому модель моментного континуума допускает два независимых кинематических векторных поля перемещений п поворотов п два динамических тензорных поля напряжеппй п моментов. Введены эпергетлческп согласованные кинематические тензорные поля деформаций п из­ гибаний континуума. Даны локальные п интегральные формули­ ровки мехаппческнх п термодинамических уравпспий полной системы. C соблюденпелг условия инвариантности относительно группы жестких перемещени!! осуществлена процедура у.меньшенпя размерностп пространства п получены формулнровюг двулгерпой 1г одномерной систем уравнений, описывающих конеч­ ные деформированные состояния материальной поверхности (оболочки) как двумерного момептиого континуума Коссера и материальной лшшп (стержня) как одномерного момептного коитннуулга Коссера. У каждого из нпх пропзвольпая матери­ альная точка обладает лпне1шымп и угловыми степенями сво­ боды.

Вторая глава посвящена моделированию конечных деформа­ ций тел оболочкообразпых конфигураций. Деформируемая обо­ лочка представлена как трехмерный коптпиуум Копта с внутрен­ ней кинемaTuuccKoii связью, допускающе/! лишь однородную деформацию поперечных волокон п обеспечивающей лпнейное