книги / Физические теории пластичности

зом определяется направление dep при нахождении ИТН в вершине многогранника (направление dep лежит внутри конуса, ограниченного нормалями к пересекающимся граням).

2.5. МЕХАНИЗМЫИМОДЕЛИДЕФОРМАЦИОННОГО УПРОЧНЕНИЯ

Изменение физико-механических свойств образца в процессах обработки металлов является следствием существенной перестройки микро- и мезоструктуры материала [66]. Описывать такие процессы невозможно без изучения и создания соответствующих моделей, в явном виде учитывающих физические первопричины эволюции микроструктуры материала при больших деформациях. Непосредственно в структуру физических теорий пластичности описание эволюции микроструктуры вводят через специфические соотношения (как правило, мезоили микроуровня), определяющие изменение критических сдвиговых напряжений на системах скольжения в зависимости от некоторого набора параметров (в качестве которых могут выступать сдвиги, температура, энергия дефекта упаковки и т.д.). Известно, что даже небольшое изменение значений входящих в закон упрочнения материальных параметров может качественно отразиться на результатах описания поведения материала, в определяющие соотношения которого входят эти законы упрочнения, что свидетельствует о необходимости очень тонкого и корректного учета механизмов неупругого деформирования материала, наиболее важных для исследования того или иного процесса.

В большинстве работ в рамках математических теорий пластичности, посвященных исследованию упрочнения, классификацию моделей последнего проводят, исходя из качественного анализа вида «кривой напряжение – деформация» (получаемой в макроопытах) при продолжающемся активном нагружении и рассмотрения экспериментальных данных, полученных при исследовании микроструктуры материала при той или иной интенсивности деформаций [56, 64 и др.]. Так, в упрочнении часто выделяют стадии, наступающие последовательно при пластической деформации образца: стадия легкого скольжения, имеющая место непосредственно после достижения предела текучести материал; стадия линейного упрочнения, связанная, по-видимому, с пересечением дислокационных линий и формированием дислокационных структур; стадия параболического упрочнения, наблюдаемая у материалов с низкой энергией дефекта упаковки (ЭДУ) – связанная с взаимодействием

61

уже не отдельных дислокаций, а образовавшихся на ранних стадиях дислокационных субструктур, а также образованием и разрушением сидячих дислокаций [81]. Подобное рассмотрение, как представляется, едва ли можно использовать при построении физически обоснованной теории пластичности, так как, по сути, такая классификация представляет собой попытку описать упрочнение, основываясь только на макрофеноменологическом подходе, не раскрывая при этом физических первопричин упрочнения и не опираясь на физику взаимодействия носителей механизмов пластической деформации – дислокаций и дислокационных субструктур.

Вышеизложенное объясняет то значительное внимание в физических теориях (как упругопластических, так и вязкопластических), которое уделяется модификации законов упрочнения, в частности, в связи с новыми экспериментальными данными, полученными с применением высокоразрешающей аппаратуры (в особенности – электронных микроскопов).

В большинстве современных исследований по упрочнению авторы используют так называемые дислокационно-ориентированные модели (dislocation based models), в которых в качестве внутренних переменных микроуровня вводят скалярные плотности дислокаций на системах скольжения; далее записывают эволюционные уравнения для плотности дислокаций, а в качестве замыкающих уравнений записывают выражение, связывающее скорости сдвигов со скоростями изменения плотности дислокаций (обычно используется соотношение Орована) [91, 95–97, 99, 138, 162]. В качестве примера можно привести работу [97], в которой развивается такой подход. В части, касающейся описания упрочнения, авторы придерживаются классического подхода, когда скорость изменения критических касательных напряжений на системе скольжения записывается в виде

h=1

где τ(cg ) – критическое напряжение сдвига на системе скольжения g, точка сверху означает материальную производную по времени, γ(h) – скорость сдвига по системе скольжения h, Nslip – количество активных

систем скольжения, а коэффициенты (модули) упрочнения H gh описывают взаимодействие дислокаций различных систем скольжения. Заме-

62

тим, что критическое напряжение «привязано» к кристаллографической СС, т.е. определяется с позиций наблюдателя, движущегося вместе с КСК; выражаясь иначе, материальная производная является одновременно коротационной, что должно учитываться при записи закона Шмида в скоростной форме.

Для дислокаций принимается гипотеза, что их плотность определяется тремя процессами: возникновением, скольжением и аннигиляцией дислокаций при достижении достаточно большой плотности и продолжающейся пластической деформации. Эти механизмы учитываются в соотношении

где ρ( g ) – плотность дислокаций в g-й системе, b – модуль вектора Бюргерса, yc – расстояние аннигиляции для дислокационного диполя, Lg –

длина свободного пробега дислокаций, определяемая, в свою очередь, соотношением

h=1, h≠ g

где g0 – параметр, определяемый дислокационной структурой. Автор использует в качестве закона упрочнения соотношение [95]

h=1

где τ0 – начальное критическое напряжение сдвига, α – параметр, связанный со стабильностью дислокационной структуры, G – модуль сдвига. Модули упрочнения H gh тогда связаны с коэффициентами взаимодействия систем скольжения agh соотношением:

63

Попытка явного учета различных конкретных механизмов взаимодействия дислокаций в законе упрочнения делается в работе [162]. К существенным недостаткам предлагаемой модели следует отнести тот факт, что модули упрочнения в работе есть величины постоянные, а способ их определения не описан. Перечислим некоторые учитываемые в работе механизмы: формирование барьеров Ломера–Коттрелла, образование барьеров Хирта и так называемых «скользящих стыков», взаимодействие дислокаций на скрещивающихся системах скольжения, взаимодействие дислокаций, лежащих в одной плоскости, в том числе взаимодействие дислокаций одной и той же системы. Для описания эволюции скалярной плотности дислокаций принимаются соотношения вида (2.13), без учета размера зерна.

В статье [159] детально анализируются законы кинематического внутризеренного упрочнения (или – законы, определяющие эволюцию остаточных микронапряжений ρ). Каждое зерно представляется совокупностью внутренностей и стенок ячеек, материал внутри ячейки полагается упругопластическим, стенки рассматриваются состоящими из упругого материала. Для получения аналитического решения рассматривается простая геометрия ячеек (сферическая и круговая цилиндрическая). Определение остаточных микронапряжений осуществлено с помощью моделей Kröner и Berveiller & Zaoui в предположении изотропии кристаллов. Согласно модели Kröner тензор остаточных микронапряжений ρk в k-й ячейке определяется как

ρk = –2G(1 – β)(εpk – εp ) ,

где β – геометрический фактор (для сферического включения решение Эшелби дает β = 2 (4–5ν) /15 (1–ν), ν – коэффициент Пуассона), εpk –

пластическая составляющая тензора деформаций внутри k-й ячейки, εp – средняя по кристаллу пластическая деформация. Berveiller & Zaoui предложили уточненное соотношение:

где εup , σu – интенсивности пластических деформаций и напряжений.

С учетом предположения о деформировании стенок ячеек упругим образом последнее соотношение модифицировано к виду

64

где fw – объемная доля границ ячеек. Результаты расчетов сопоставля-

лись с данными экспериментальных исследований разных авторов, проведенных на растяжение и циклическое нагружение монокристаллов, показано удовлетворительное соответствие экспериментальных и теоретических результатов, полученных с помощью модифицированной модели, тогда как результаты расчетов по модели Kröner на один-два порядка превышают экспериментально измеренные.

В работе [80] рассматривается модель пластичности кристаллов, основанная на введении тензора плотности и/или скалярной плотности дислокаций. Во втором случае предлагается использовать вязкопластический закон: при выполнении условия Шмида на некоторой системе скольжения скорость сдвига в ней определяется соотношением:

m((S)k ) – симметричный ориентационный тензор, τ(ck ) , ρ(k ) – параметры изотропного и кинематического упрочнения, зависящие от плотности дислокаций; g (k), nk – материальные константы, X = Max (0, X) . Подробно закон упрочнения рассмотрен в [87] и имеет вид:

где матрица Qk hkr определяет активное и латентное упрочнение (не-

изотропный закон упрочнения), br, dk, mk, Nk – материальные константы.

65

Модификация упруговязкопластической модели, основанная на прямом рассмотрении движения краевых и винтовых дислокаций, предложена в работе [61]. Скорость сдвига в каждой СС определяется плотностями соответствующих типов дислокаций и средними скоростями их движения (т.е. по уравнению Орована). Предложены эволюционные уравнения для плотности дислокаций, учитывающие их генерацию (источниками Франка–Рида) и аннигиляцию. Критические напряжения сдвига в СС определяются отдельно для краевых и винтовых дислокаций по плотности дислокаций обоих типов, накопленных в других СС, и законам взаимодействия с ними (с учетом образования барьеров дислокационного типа). Ротации решеток зерен устанавливаются ортогональным тензором, входящим в полярное разложение упругой составляющей градиента места. Подробно описана численная процедура реализации модели. Вышеописанная физическая модель была встроена

вконечно-элементный пакет ABAQUS. Для идентификации использованы экспериментальные данные по растяжению монокристалла алюминия. Представлены результаты расчета прямых полюсных фигур при стесненной осадке (в условиях ПДС) образцов из поликристаллического алюминия.

Следует отметить, что применение в качестве внутренних переменных скалярных плотностей дислокаций на системах скольжения влечет за собой большие сложности при использовании модели. Вопервых, использование переменных микроуровня сразу лишает исследователя возможности оперировать достоверными экспериментальными данными, дающими представление о реальных процессах, протекающих на данном масштабном уровне при пластической деформации; вовторых, даже опираясь на теорию дислокаций, едва ли можно учесть

вуравнениях вида (2.13) взаимодействие дислокаций различных систем скольжения; наконец, в-третьих, даже в упомянутой достаточно простой модели введено множество материальных констант микроуровня, определять значения которых возможно только из экспериментов. В силу того, что состояние современной экспериментальной базы не позволяет

вдинамике отслеживать эволюцию дислокационных субструктур в объеме деформируемого материала, дислокационно-ориентированный подход к описанию упрочнения представляется интересным и перспективным, но еще недостаточно инструментально оснащенным.

Вработах [43, 44, 49, 173] предлагается подход к описанию упрочнения в моно- и поликристаллах, основанный на физическом анали-

66

зе механизмов взаимодействия дислокаций друг с другом и с границами зерен; при этом в соотношения явным образом не вводятся плотности дислокаций, законы упрочнения записаны в терминах сдвигов. Дается краткий обзор существующих в отечественной и иностранной литературе теорий упрочнения. Отмечается, что существуют два основных варианта построения таких соотношений: первый – без явного учета эволюции дефектной структуры материала, второй – на основе подхода к построению определяющих соотношений с использованием внутренних переменных, характеризующих микроструктуру материала; при этом, как правило, необходимо использовать переменные микроуровня – плотности дислокаций, что приводит к проблеме замыкания эволюционных уравнений.

Рассматриваются некоторые физические механизмы упрочнения, предлагается разделение упрочнения на неориентированное и ориентированное. Первое описывает упрочнение независимо от направления деформирования (образование пересечений дислокаций, жгутов, кос, барьеров Ломера–Коттрелла); такое упрочнение приводит к увеличению критического напряжения сдвига сразу на многих СС. Второе связано с накоплением упругой энергии на «поджатых дислокациях» (на различных барьерах), эта энергия может высвобождаться при «развороте» направления деформирования. Запасаемая на микродефектах энергия, в свою очередь, разделяется на два типа: невысвобождаемая на микро- и мезодеформациях и высвобождаемая; доля «высвобождаемости» зависит от сложности нагружения. Это разделение учитывается, например, при модификации основного (степенного) составляющего закона упрочнения и при описании эффекта Баушингера.

Полагается, что основной вклад в упрочнение каждой СС вносит взаимодействие собственными полями напряжений дислокаций рассматриваемой СС друг с другом и лесовыми дислокациями, для описания которого принимается степенной закон вида

67

k = 1, 24, ψ > 1, γ(i ) ≥ 0,

τc(k ) (0) = τ(ck0) ,

модифицированный (сомножителем в квадратной скобке) с целью учета сложности предшествующего нагружения. Введение указанного сомножителя позволяет описать наблюдаемое для большинства металлов и сплавов свойство насыщения упрочнения, имеющее место на стадии множественного скольжения; заметим, что при одиночном скольжении данный сомножитель равен 1.

В предположении об аддитивности скоростей критических напряжений сдвига на системе скольжения, обусловленных различными механизмами упрочнения, степенной закон (2.20) дополняется слагаемыми, учитывающими основные механизмы возникновения препятствий при пластическом деформировании, не учтенными первым (степенным) слагаемым, так что общая скорость изменения критического напряжения на k-й СС определяется соотношением:

τ(сk ) = f (k ) (γ(i ) , γ(i ) ) + fЛК(k ) (γ(i ) , γ(i ) ; α1(i) , α(2i) ,…, α(ni) )+

+ fан(k ) (γ(i ) , γ(i ) ;β1(i) ,β(2i) ,…,β(mi) ) + fЗГУ(k ) (γ(i ) , γ(i ) ; δ1(i) , δ(2i) ,…, δ(pi) ), (2.21) i, k = 1, 24,

где α1(i ) , α(2i ) ,…, α(ni ) ; β1(i) ,β(2i) ,…,β(mi) и δ1(i) , δ(2i) ,…, δ(pi) – наборы внутренних переменных, характеризующих соответствующие механизмы (вообще говоря, принимающие различные значения в каждый момент деформи-

счет реакций на расщепленных дислокациях (в данной работе– на примере образования барьеров Ломера–Коттрелла), fан(k ) (γ(i ) , γ(i ) ;β1(i) ,β(2i) ,…,β(mi) ) позволяет учесть уменьшение критических напряжений при ревер-

возникающее при взаимодействии внутризеренных дислокаций с границами зерен.

68

Подход к описанию неориентированного упрочнения проиллюстрируем на примере описания дополнительного упрочнения за счет образования барьеров Ломера–Коттрелла. Вводя дополнительные внутренние переменные, функцию упрочнения можно записать в виде:

где γ*ЭДУ – критическое значение энергии дефекта упаковки (ЭДУ), при

превышении которой дислокации теряют способность к расщеплению; γЭДУ – ЭДУ конкретного материала; N * – число СС, сопряженных

к данной (т.е. систем, расщепленные дислокации которых способны вступать в реакции с дислокациями рассматриваемой СС с образовани-

ем барьеров Ломера–Коттрелла, см. п. 2.2); τ(ci) – текущее критическое напряжение; γb0 – малая константа; ξ1 – материальная константа; Н –

функция Хэвисайда.

Ориентированное упрочнение рассмотрим на примере двух механизмов: за счет аннигиляции дислокаций, «поджатых» на препятствиях, при смене направления деформирования, и за счет взаимодействия внутризеренных дислокаций с границами зерен в случае деформирования поликристалла. Из анализа процесса аннигиляции определяются основные факторы, влияющие на уменьшение критического касательного напряжения на данной СС (в терминах сдвигов и скоростей сдвигов по СС). Полагаем, что плотность дислокаций, поджатых к барьерам различной природы на каждой СС, пропорциональна накопленному сдвигу, скорость аннигиляции дислокаций на i-й СС – произведению скорости сдвига по этой СС и величины накопленного сдвига на «противоположенной» СС (для ГЦК-кристаллов – с номером (i+12), индекс изменяется по модулю 24). Аннигиляция дислокаций рассматриваемой СС затрудняется дислокациями, накопленными на других СС, в случае предшествующего множественного скольжения. Для учета этого обстоятельства в соотношение для fан(i ) введем дополнительный множитель, учитывающий

69

сложность нагружения по каждой СС, определяемый как отношение сдвига на рассматриваемой СС к суммарному сдвигу по всем СС; по сути, этот множитель определяет долю упругой энергии (поля напряжений дислокаций), высвобождаемой при реверсивном нагружении. В итоге рассматриваемый член в законе упрочнения представляется возможным определить следующим соотношением:

где ∑ γ( j ) – суммарный накопленный сдвиг по всем СС кристаллита,

j

γ0a – малый параметр, ξ2 – материальная константа.

При описании зернограничного упрочнения принимается один из физически возможных механизмов взаимодействия дислокации с границей кристаллита: прохождение краевой решеточной дислокации через плоский участок (фасетку) границы соседних кристаллитов, определяемый нормалью Nk, в наиболее благоприятно ориентированную систему скольжения соседнего кристаллита. Последняя определяется из условия минимальности скорости приращения внутренней энергии соседних кристаллитов в текущий момент деформирования [18]. Для вычисления последней введем декартов ортогональный базис: первый базисный вектор определяется внешней нормалью фасетки границы, N = Nk, второй L направим вдоль линии пересечения плоскости фасетки границы Nk и j-й плоскости скольжения дислокации рассматриваемого i-го кристаллита nj. Третий вектор B расположен вдоль линии пересечения плоскости границы и плоскости, построенной на векторах N и nj: B = N × L . Базисная тройка векторов (B, N, L) является правой, и векторы L и B лежат в плоскости границы. В указанном базисе устанавливается геометрический смысл компонент тензора пластической составляющей градиента скорости перемещения j-й СС рассматриваемого i-го кристаллита

пластических составляющих градиентов скоростей перемещения сосед-

70