книги / Физические теории пластичности

где ρ0 – плотность материала, ψ(Rk ) , ψΤ(k ) , ψ(Ρk ) – составляющие свобод-

ной энергии на k-й СС, являющиеся явными функциями соответствующих термодинамических параметров состояния R(k ) , Τ(k ) , Ρ(k ) . Из неравенства Клаузиуса–Дюгема с учетом независимости термодинамиче-

Далее для построения в рамках термодинамического подхода теории вязкопластичности монокристалла вводится вязкопластический потенциал:

k

Суммирование в записанных выше соотношениях осуществляется по всем активным системам скольжения.

Функция диссипации Ф определяется разностью между мощностью работы напряжений на пластических деформациях и мощностью работы на квазистатическом (или вязком) и кинематическом упрочнении, чему соответствуют два представления функции диссипации:

171

Относительно соотношения (7.91) необходимо отметить следующее: по сути дела, считается, что часть энергии не диссипирует, а запасается в виде внутренней энергии упругих искажений решетки, энергии взаимодействующих дислокаций, что и описывают 2-й и 3-й члены правой части. Соотношение (7.92) в этом смысле менее понятно: как правило, вязкостное трение приводит к рассеянию энергии; вероятно, в данном случае следует помнить о вязкопластичности, т.е. повышение вязкого сопротивления приводит к повышению запасенной упругой энергии, реализуемой при разгрузке.

Приведенная формулировка модели, обозначаемая как ЕВ-модель (E. Busso), далее сопоставляется с другими известными соотношениями пластичности монокристаллов. В рассмотрение включены модели

G. Calletaud и L. Meric e.a. (обозначенные как GC), L. Anand с соавторами (LA), D. McDowell&R. McGinty (DM). Все указанные модели отно-

сятся к классу упруговязкопластических, однако в рамках моделей GC и LA рассматриваются также варианты с исключением вязких членов. В табл. 7.1 и 7.2 приведена достаточно полная информация обо всех соотношениях анализируемых моделей. В табл. 7.1 приведены функции, описывающие вязкопластичность, выражения составляющих свободной энергии, соотношения для сопряженных термодинамических переменных, характеризующих различные виды упрочнения. В табл. 7.2 содержатся сведения об эволюционных уравнениях для критического напряжения сдвига, вязкого сопротивления и остаточных микронапряжений.

Реализация всех рассматриваемых моделей осуществлялась с использованием МКЭ и неявной схемы интегрирования по времени. Сопоставление результатов расчета осуществлено для ГЦК-монокристаллов (12 потенциально активных систем скольжения). Идентификация параметров модели проводилась для случая одноосного нагружения по направлению 100 при квазистатическом нагружении и использовании закона уп-

рочнения Тейлора. Калибровка проводилась таким образом, чтобы влияние вязкостных членов в интервале скоростей деформации 10–1–10–3 с–1 было весьма малым. Во всех моделях при калибровке пренебрегалось кинематическим упрочнением (т.е. ρk = 0 ). Все коэффициенты моделей сведены в табл. 7.3.

172

Таблица 7.1 Функции, используемые в моделях пластичности кристаллов

Таблица 7.2 Эволюционные уравнения для различных моделей

Результаты расчета кривой σ – ε при растяжении ГЦК-моно- кристалла в направлении [1 0 0] при скорости деформации 10–3 с–1 для всех четырех вязкопластических моделей обнаруживают удовлетворительное соответствие.

Анализируются результаты расчетов с использованием указанных вязкопластических моделей при двухосном деформировании монокристаллов. Кристаллографическое направление [1 0 0] совпадает во всех численных экспериментах с одной из осей главных деформаций Х1. Для

173

Таблица 7.3

Материальные параметры анализируемых моделей

реализации моделей используется МКЭ (пакет Zebulon) с элементами, допускающими независимое задание нормальных и сдвиговых деформаций. Исследовались нагружения по лучевым траекториям деформа-

во всех вариантах). Опыты на двухосное растяжение-сжатие осуществ-

в удовлетворительном соответствии. Рассмотрена также активация сис-

174

жества СС {1 1 1} 1 1 0 активировались четыре первичные системы скольжения, а при напряжении σ11 ≈ 310 МПа – дополнительно четыре

вторичные СС.

В экспериментах на растяжение-сдвиг использовались оба закона упрочнения – Тейлора и деформационного ( hkl = qh = 0, 0 ). Здесь отме-

чается существенное отличие результатов, полученных, с одной стороны, с помощью моделей EB и GC, с другой – LA и DM; в двух последних при напряжениях σ11 ≈ 210 и 350 МПа соответственно резко акти-

визировались вторичные СС. Данное обстоятельство связано с тем, что в моделях LA и DM учтен разворот кристаллической решетки, что отсутствует в моделях EB и GC. Для проверки этой гипотезы были проведены расчеты с использованием модели DM, в которой были отключены повороты; результаты оказались близки к результатам моделей EB и GC. Сопоставлялись также накопленные сдвиги, результаты аналогичны: близость данных по моделям EB и GC и их резкое отличие от полученных с помощью моделей LA и DM. Отмечается также, что возможным источником различия результатов являются использованные в моделях различные схемы решения нелинейных уравнений, основанные на методе Ньютона–Рафсона; исследованию данного вопроса авторы собираются посвятить будущие работы.

Аналогичное сопоставление осуществлено для всех пяти программ нагружения при использовании упругопластических моделей LA и GC. Во всех расчетах принят закон упрочнения Тейлора ( hkl = qh = 1, 0, ρ(k ) = 0 ).

Для случая двухосного растяжения-сжатия траектории нагружения σ11 – σ22 оказываются близкими; кроме того, обнаруживается их малое от-

личие от траекторий, полученных с помощью вязкопластических моделей LA и GC. Для варианта ε11 / ε22 = 5,33 приведены результаты расчета сум-

марной скорости сдвигов как функции напряжения σ11 и времени. Для обеих моделей при σ11 ≈ 270 и 285 МПа наблюдаются осцилляции сум-

марной скорости сдвига, что авторы связывают с неустойчивостью алгоритма в окрестности точек активизации вторичных СС. Проведено также сопоставление номеров четырех первичных и вторичных активируемых систем скольжения и накопленных сдвигов на них; за исключением нагружения по траектории ε11 / ε22 = −0, 95 , где в модели GC не активирова-

лась ни одна из вторичных систем; соответствие результатов следует при-

175

знать удовлетворительным, учитывая некоторое отличие траекторий нагружения (в модели LA в отличие от модели GC напряжение σ11 достига-

ло в момент активизации вторичных СС нулевого значения). Аналогичное удовлетворительное соответствие получено для программ нагружения рас- тяжение-сдвиг.

Весьма подробно вопросы построения и применения физических моделей упруговязкопластичности для описания поведения поликристаллов в широком диапазоне скоростей деформации (10–3–102 с–1) при больших деформациях (порядка 100 %) и относительно низких гомологических температурах (Тг < 0,3) рассмотрены в статье [68]. Как и в большинстве рассмотренных выше работ, использовано мультипликативное разложение градиента места и ОС анизотропной гиперупругости (с учетом температурной деформации), в котором в качестве мер напряженного и деформированного состояния приняты соответственно второй тензор Пиола–Кирхгоффа и тензор деформаций Коши–Грина, определенные в терминах разгруженной конфигурации.

Пластическое деформирование полагается реализующимся скольжением краевых дислокаций; следует отметить, что, как и во многих других работах последнего десятилетнего периода, закон вязкопластичности выводится на основе уравнения Орована:

где ρ(mk ) – плотность мобильных дислокаций, v(k ) – средняя скорость движения дислокаций в k-й СС, причем v(k ) равна нулю при τ(k ) < τ(ck ) .

Критическое напряжение сдвига полагается равным сумме двух составляющих: сопротивления близкодействующих барьеров, которые могут быть преодолены за счет термических флуктуаций даже при напряжениях ниже барьера Пайерлса–Набарро (называемого термической составляю-

щей) τ(ctk ) и сопротивления дальнодействующих барьеров (называемого

176

где ∆τ(k ) = τ(k ) – τ(cak ) , l(k ) – средняя длина свободного пробега дислока-

ций, ν – характеристический частотный параметр (порядка 1012 с–1), ψ(k ) – свободная энтальпия активации (или свободная энергия актива-

ции Гиббса); направление движения совпадает с направлением сдвиговых напряжений. Предлагается модификация закона упрочнения, рассмотренного выше [64], для учета влияния температуры и скорости деформации.

Для определения макронапряжений используется процедура осреднения Тейлора по представительному объему, включающему 400 зерен. Предлагаемая модель встроена в конечно-элементный пакет ABAQUS. Подробно описаны процедура и результаты идентификации модели, выполненной для чистого (99,987 %) алюминия и алюминиевого сплава (ГЦК-решетка). Для идентификации использованы известные в литературе экспериментальные данные по одноосному растяжению образцов при нескольких значениях постоянных скоростей деформаций и температур. Полученные параметры были далее приняты для теоретического предсказания поведения материала при одноосном нагружении со скачками по скорости деформаций и температуре; режимы изменения скоростей деформаций и температур выбраны аналогичными реализуемым в известных из литературы экспериментах. Сравнение расчетных и экспериментальных данных по зависимостям «напряжение – деформация» показывает хорошее соответствие.

Одним из недостатков моделей поликристаллов, основанных на физических теориях, является необходимость рассмотрения большого количества (сотни и тысячи) зерен со своими ориентациями, что требует существенных затрат процессорного времени. Возможным вариантом уменьшения вычислительных затрат является модель «текстурных компонентов», представленная в статье [75]. Под текстурным компонентом понимается ориентация кристаллической решетки, для которой функция распределения ориентаций (ФРО) имеет локальный максимум. Вместо расчетов для большого числа зерен рассматриваются несколько (в данной работе – пять, четыре из которых соответствуют указанным локальным максимумам ФРО, пятый характеризует распределение остальных ориентаций) элементов («псевдозерен»). Для каждого из псевдозерен используется модель упруговязкопластичности со степенным законом течения и изотропным законом упрочнения. Для аппроксимации ФРО

177

вблизи текстурных компонент принят закон распределения Мизеса– Фишера. Вычисления искомых параметров (скоростей пластических деформаций и напряжений) производятся далее для текстурных компонентов, после чего осуществляется ориентационное осреднение параметров с локальными ФРО. На двух примерах для ГЦК-поликристаллов показано удовлетворительное соответствие результатов, полученных с помощью предлагаемой модели (5 элементов) и модели Тейлора (1000 зерен).

Модификация упруговязкопластической модели, учитывающая поврежденность материала, предложена в [152]. Классическое мультипликативное разложение градиента места дополнено составляющей, отвечающей за порообразование и переводящей пластически деформированную конфигурацию в разгруженную. Приведены кинетические уравнения, описывающие эволюцию пор, связанную с наличием начальных пор, образованием пор от включений вторичной фазы и коалесценцией. Скорости сдвигов по СС определяются степенным законом; использован гиперупругий закон, связывающий тензор деформаций Коши–Грина и второй тензор Пиола–Кирхгоффа, определенные в разгруженной конфигурации. Для случая одноосного нагружения проанализировано влияние ориентации монокристаллических зерен на процесс накопления поврежденности и кривые «напряжение – деформация». Для поликристаллического агрегата меры напряженного и деформированного состояния определяются осреднением по объему; сопоставление кривых σ–ε при растяжении поликристаллического образца для трех алюминиевых сплавов обнаруживает хорошее соответствие экспериментальным данным.

Результаты применения упруговязкопластической модели для анализа особенностей деформирования двухфазного сплава (титан + алюминий) содержатся в статье [134]. Подробно рассмотрены физические механизмы деформирования и упрочнения двухфазного сплава, основной объем которого составляет α-фаза с ГПУ-решеткой, остальная часть имеет слоистую структуру из α + β-фаз (β-фаза – кристаллиты с ОЦКрешеткой). Анализируется деформирование представительного объема поликристаллического агрегата; для решения на макроуровне использован пакет ABAQUS. Особое внимание уделяется идентификации физической модели, для чего авторами осуществлены три серии численных экспериментов.

Модели обобщенных континуумов (в особенности – градиентные теории) все чаще применяются исследователями в последние годы для модификации различных физических теорий. Остановимся детальнее на

178

некоторых работах данного направления. В статье [161], основанной на феноменологической градиентной теории пластичности [92], рассматривается вариант градиентной физической теории упруговязкопластичности. Анализируется случай малых градиентов перемещений, в связи с чем не делается различия между отсчетной и актуальной конфигурациями. В духе микроморфного континуума Миндлина вводятся радиу- сы-векторы макроточки Х и микроточки х, соответствующие операторы Гамильтона обозначаются как и . Каждой макроточке Х приписывается микрообъем δV, наделенный микроструктурой (системами скольжения). Скорости сдвига по произвольной k-й СС определяются разложением в ряд Тейлора с сохранением градиентов первого порядка:

Пластическая составляющая тензора деформации скорости далее определяется обычным соотношением:

ся тензором «парных напряжений».

179

Тензор скорости полных микродеформаций в δV полагается линейной функцией микрокоординат х. Тогда мощность напряжений на единицу объема можно представить соотношением:

Уравнения равновесия и статические граничные условия макроуровня получены на основе принципа виртуальной мощности. В качестве определяющих соотношений макроуровня использован закон Гука в скоростной форме как для напряжений, так и для парных напряжений:

где lе – параметр, имеющий размерность длины и связанный с размером области δV («упругий масштаб»), Π – обычный тензор упругих характеристик (4-го ранга).

На микроуровне используется модифицированная модель вязкопластичности. С этой целью вводятся эффективная скорость сдвига и эффективные сдвиговые напряжения для каждой СС, включающие в себя соответственно градиенты скоростей сдвигов и парные напряжения, с помощью масштабных коэффициентов приведенные к размерности скорости сдвига и обычного напряжения. Закон упрочнения по СС определяется в терминах эффективной скорости сдвига. Принимается степенной закон зависимости эффективной скорости сдвига от эффективного сдвигового напряжения на каждой СС. Модель замыкается гипотезой о равенстве отношений средних по СС скоростей сдвигов и их градиентов (последние умножаются на масштабные факторы) и соответствующих энергетически сопряженных силовых факторов на каждой СС, причем это отношение равно отношению эффективной скорости сдвига к эффективному напряжению сдвига в каждой СС. Приведены результаты решения модельной плоской задачи о деформировании бик-

180