книги / Физические теории пластичности

однородного условия равновесия. Заметим, что компоненты мезонапряжений не обязательно должны быть непрерывными на произвольных поверхностях (например, границах зерен), для выполнения условий равновесия должны быть непрерывны только результирующие распределенные нагрузки на таких поверхностях.

Вдополнение к двум предыдущим принимается гипотеза об отсутствии корреляции между распределением любых компонент тензора мезонапряжений и любыми компонентами вектора мезоперемещений

влюбом сечении (для простоты сечения берутся единичной площади).

Вмодели Бишопа–Хилла осреднение производится по единичной площади произвольного сечения:

Из последнего определения с учетом сформулированной выше гипотезы Бишопом и Хиллом доказано следующее соотношение:

Следует отметить, что доказательство этого соотношения не вызывает затруднений с учетом того, что в модели Бишопа–Хилла принята гипотеза Фойгта; по существу, в этом случае (4.16) сводится к утверждению об идентичности осреднения тензора напряжений по объему и (4.15)1.

С использованием последнего соотношения может быть доказан принцип максимума работы для поликристалла на основе принципа максимума для монокристалла, не прибегая при этом к понятию поверхности текучести поликристалла. Действительно, пусть σ * – мезонапряжения, не нарушающие условия текучести и удовлетворяющие однородному условию равновесия, Σ* – осредненные напряжения. Тогда в соответствии с (4.16) и (4.19) имеем:

что и требовалось показать.

Аналогично доказывается принцип минимума сдвига для поликристалла. Пусть du и du* – непрерывные с непрерывными первыми

111

производными поля перемещений, удовлетворяющие условию сохранения объема ( du = du* = 0 ), имеющие одинаковые значения на поверхности единичного куба. Полагаем, что du ассоциировано с равномерным распределением мезонапряжений σ , удовлетворяющих условию текучести. Тогда

В силу того, что dγ (k) * – геометрически возможны, но не обязательно физически возможны, в (4.20)2 знаки τ (k) и dγ (k) * могут быть различны, при этом τ(k ) ≤ τ(ck ) , откуда получаем:

112

Полагая критические напряжения сдвига одинаковыми по агрегату, получаем принцип минимума сдвига для поликристалла:

Комбинируя (4.17) и (4.21), приходим к следующему соотношению:

где dε * соответствует некоторому перемещению dU*. Напомним, что принципы максимума работы и минимума сдвига являются двойственными [20], и в этом смысле эквивалентны друг другу, один следует из другого.

Как следует из последних результатов, принцип максимума работы справедлив для агрегата из монокристаллических зерен в предположении, что деформирование в каждом из них осуществляется сдвигом по определенным системам скольжения. Тогда из ранее сформулированного (без доказательства) утверждения следует, что может быть построен пластический потенциал, совпадающий с функцией текучести. Но тем самым решается в принципе вопрос об установлении определяющих соотношений (с помощью принципа градиентальности).

Сопоставляя модель Бишопа–Хилла с ранее изложенной моделью Тейлора, нетрудно убедиться, что концептуальные положения обеих моделей практически совпадают (а следовательно, модели Бишопа– Хилла присущи те же недостатки, что и модели Тейлора); модель Бишопа–Хилла отличается более глубокой «математической оснащенностью». Вероятно, это является причиной того, что в последнее десятилетие модели, имеющие в основе те же гипотезы и положения, что и модель Тейлора, стали называть моделями «типа Тейлора–Бишопа– Хилла».

113

Несмотря на отмеченные выше недостатки моделей Тейлора– Бишопа–Хилла, они являются одними из наиболее широко используемых. В последние 10–15 лет модели этого класса часто применяются для анализа различных технологических процессов обработки металлов давлением и других распространенных технологических процессов. Пример применения модели для исследования процесса механической обработки (ортогонального резания) монокристаллической заготовки содержится в работе [85].

Дальнейшее развитие моделей этого класса связано, в частности, с совершенствованием математической основы моделей, модификацией соотношений теории для учета поворотов кристаллической решетки. Например, в работе [98] наряду с трансляционной (сдвиговой) модой деформирования идеально-пластического монокристалла предлагается ввести дополнительные параметры, характеризующие ориентацию кристаллической решетки (три угла Эйлера). В качестве ключевой гипотезы вводится предположение об аддитивном разложении градиента скорости перемещений на пластическую составляющую, определяемую скоростями сдвигов по активным СС, и спин решетки. Одну из известных трудностей – задание граничных условий для скорости поворота решетки – автор предлагает избежать за счет задания так называемых «глобальных кинематических условий», согласно которым в исследуемом теле вводятся материальные направления с запрещенными поворотами (например, вдоль оси растягиваемого образца). Как представляется, указанные гипотезы не имеют достаточного физического обоснования даже для монокристаллов. Детальное изложение моделей Тейлора, Бишопа– Хилла и обзор работ по их применению содержатся в статье [101].

ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 4

1.Приведите описание и соотношения модели Закса.

2.Перечислите основные гипотезы модели Тейлора.

3.Опишите основанный на модели Тейлора алгоритм построения кривой «напряжение – деформация» при одноосном нагружении поликристаллического образца.

4.Сформулируйте задачу линейного программирования, к которой приводится модель Тейлора, и двойственную к ней задачу.

5.Перечислите основные недостатки модели Тейлора.

114

6.Приведите основные положения и понятия, используемые при формулировке модели Бишопа–Хилла.

7.Сформулируйте и докажите принцип максимума работы для монокристалла.

8.Дайте определения геометрически и физически возможных векторов сдвига (скоростей сдвигов).

9.Сформулируйтеидокажитепринципминимумасдвига(работы) для монокристалла, сопоставьтепринципыминимумаимаксимумаработы.

10.Какой подход к осреднению применяется в модели Бишопа– Хилла и на каких гипотезах он основан?

11.Сформулируйте и докажите принципы максимума работы и минимума сдвига для поликристалла.

12.Проведите сопоставление моделей Тейлора и Бишопа–Хилла.

115

5.1. МОДЕЛЬ ЛИНЯ

МодельЛиня[21, 124] базируетсянаследующихосновныхгипотезах:

– скорости полных деформаций поликристаллического агрегата представляются суммой упругих и пластических составляющих:

– скорости полных деформаций отдельных зерен поликристалла d( n ) (n = 1, 2, …, N, N – число кристаллитов (зерен) в представительном макрообъеме) равны скоростям полных деформаций поликристаллического агрегата (т.е. для скоростей полных деформаций используется гипотеза Фойгта; заметим, что в ряде работ она называется гипотезой Тейлора):

–пластические деформации являются изохорическими, изменение объема определяется первым инвариантом упругих деформаций;

–пластические деформации обусловлены сдвигом по кристаллографическим системам скольжения и подчиняются закону Шмида;

–упрочнение изотропно и определяется суммарным сдвигом по всем активным системам скольжения.

Рассмотрим соотношения для произвольно выбранного зерна (для упрощения записи ниже индекс номера зерна опущен). При наличии

одной активной системы скольжения k скорость сдвига γ( k ) в ней связана со скоростью пластической деформацией dp соотношением

При активизации нескольких систем скольжения девиатор пластической деформации определяется выражением

k =1

где K – число активных систем скольжения.

117

В соответствии с гипотезой 5 критические сдвиговые напряжения в каждой системе скольжения одинаковы и зависят от суммарного сдвига:

или в скоростях

где f ′(.) – производная функции f по накопленному сдвигу.

Скорости упругих деформаций в зерне определяются соотношением:

k=1

Впредположении изотропии упругих характеристик (отметим, что эта гипотеза принята только для упрощения изложения модели, в современных работах при расчетах часто используется анизотропный закон) скорость изменения девиатора напряжений определяется согласно (изотропного) закону Гука:

скорость изменения шаровой части тензора напряжений (или среднего напряжения σ) определяется также согласно закону Гука:

Заметим, что в случае исследования процессов с большими градиентами перемещений (т.е. геометрически нелинейных) материальная производная девиатора напряжений в (5.8) должна быть заменена на производную, не зависящую от выбора системы отсчета (чаще всего – коротационную [31]).

Рассмотрим процесс нагружения в пространстве девиаторов деформаций, связь шаровых составляющих тензоров деформаций и на-

118

пряжений осуществляется согласно (5.9). Для решения (физически и/или геометрически) нелинейных задач, как правило, необходимо использовать пошаговые процедуры, согласно которым весь интервал нагружения разбивается на ряд малых шагов (приращений нагрузки или перемещений).

Рассматривается представительный макрообъем поликристаллического агрегата. В начальный момент материал полагается находящимся в естественной конфигурации, в силу чего все компоненты тензоров напряжений и деформаций равны нулю; ориентации всех СС полагаются заданными (тем или иным законом распределения). Для представительного макрообъема полагается заданным закон нагружения (т.е. заданы все компоненты тензора деформации как функции времени (или возрастающего параметра), а следовательно, в каждый момент нагружения известны компоненты тензора деформации скорости).

На первом шаге нагружения материал является упругим; задавая тензор деформации скорости перемещений в соответствии с (5.8) и учитывая, что de = d, определяется скорость изменения девиатора напряжений. Интегрируя, по последней определяется момент достижения в одной из СС (например, с номером 1) сдвигового напряжения, равного по модулю начальному критическому напряжению τ c0 = f (0). После этого момента начинается неупругое скольжение по системе 1 при возрастающем девиаторе деформации e (последний определяется интегрированием d). При этом в каждый момент деформирования должно выполняться условие пластического течения:

τ(1) = τc = f (γ(1) ) ,

или

При заданном в каждый момент времени е (5.10) представляет собой уравнение для определения γ(1) .

При выполнении (5.10) и возрастающем девиаторе деформации e (в каждый момент времени определяемого интегрированием d с использованием любой из известных схем) одиночный сдвиг продолжается до тех пор, пока в некоторой другой системе скольжения (например, 2-й) сдви-

119

говое напряжение τ (2) не достигнет критического значения τc = f (γ(1) ) . Начиная с этого момента, возрастание e вызывает двойственное скольже-

(5.11) – система двух алгебраических уравнений для определения γ(1) , γ(2) . Аналогичным образом рассматривается вовлечение в скольжение 3-й, 4-й и 5-й систем скольжения. При этом на каждой из активных систем скольжения должно выполняться условие текучести. При продолжающемся активном деформировании возможно возникновение ситуации, когда условие текучести выполняется одновременно более чем в пяти системах скольжения (при использовании закона типа шмидовского для ГЦК-кристаллов это соответствует нахождению ИТН в одной из вершин, где пересекаются 6 или 8 гиперплоскостей). В этом случае, опираясь на экспериментально известный факт о некотором превышении латентного упрочнения над деформационным (активным), предпоч-

тение отдают ранее вовлеченным в скольжение системам.

В конкретных расчетах обычно используют систему уравнений типа (5.11), записанную в приращениях (или в скоростях), например, вида:

ный сдвиг по всем активным системам скольжения (в том числе и бывшим активными ранее, в текущий момент деформирования перешедших в разряд пассивных).

Для перехода к модели поликристалла используется один из известных подходов к осреднению (чаще всего – ориентационное осреднение).

120