книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций

где Ui ,Vi – мембранные усилия; Wi , M xi , M yi – изгибающие уси-

лия. Таким образом, для конечного элемента определим вектор размерностью 6n, где п – число узлов конечного элемента, например п = 3:

Минимизация общей потенциальной энергии конечного элемента приводит к системе линейных алгебраических уравнений

6n 6n . Учитывая, что мембранные усилия приводят к деформированию конечного элемента в его плоскости, а поперечные усилия – к изгибу, воспользуемся полученными ранее матрицами жесткости конечных элементов для пластин. Тогда для деформирования в плоскости конечного элемента

201

Учитывая, что изгибные и мембранные компоненты деформаций не влияют друг на друга, и сопоставляя последние соотношения с (5.4.5), получим матрицу жесткости конечного элемента оболочки в виде

Мы рассмотрели получение матрицы жесткости в локальной системе координат, связанной с конечным элементом. Однако при переходе к конструкции в целом необходимо установить связь между локальной и глобальной или конструктивной системами координат, так как:

202

1)координаты узлов при разбиении конструкции задаются

вглобальной системе координат, и для построения матрицы жесткости конечного элемента необходимо их представить в локальной системе координат;

2)построение матрицы жесткости конструкции в целом проводится в глобальной системе координат, следовательно, необходимо преобразовать матрицы жесткости всех конечных элементов оболочки к этой глобальной системе координат;

3)внешняя нагрузка часто задается в локальной системе, например распределенное давление, и при формировании вектора узловых обобщенных нагрузок также необходимо соответствующее преобразование.

Пусть X ,Y , Z – локальная система координат, X, Y, Z – гло-

бальная. Рассмотримобобщенныесилы иперемещенияузлаi. Вектор обобщенных перемещений узла i состоит из двух векторов:

ui ui ,vi , wi вектор перемещений и i xi , yi , zi – вектор углов

поворота. В соответствии с правилами преобразования компонент вектораприпереходекновойсистемекоординатможнозаписатькак

следовательно, преобразование обобщенных перемещений узла i определим соотношением вида

203

а для элемента e в целом, содержащего узлы i, j, k,

Проведем аналогичные рассуждения для вектора узловых нагрузок

и подставим полученные выражения в формулу (5.4.5), в результате

где матрица жесткости конечного элемента в глобальной системе координат

Далее задачу решаем обычным образом:

1)формируем глобальную матрицу жесткости;

2)определяем перемещения узлов в глобальной системе координат;

3)для каждого конечного элемента переходим к локальной системе и определяем соответствующие перемещения;

4)находим мембранные и изгибные деформации и ;

5)определяем деформации слоев s z , где z –

расстояние от слоя до срединной поверхности оболочки; 6) используем закон Гука для каждого слоя и определяем

напряжения, и далее по критерию прочности проводим оценку разрушился или нет данный слой в рассматриваемом конечном элементе.

204

Если принадлежащие к узлу i элементы находятся в плоскости, параллельной X, Y (рис. 5.20), то для всех этих элементов будут выполняться равенства: z z 1, z x z y 0, и в этом случае

строка и столбец глобальной матрицы жесткости, соответствующие перемещению zi , будут заполнены нулями. Вместо этого

уравнения имеем тождество 0 0 .

Можно исключить это уравнение из системы линейных алгебраических уравнений, но это, как правило, усложняет алгоритм: поиск узлов, все элементы при которых находятся в плоскости, параллельной XY, и исключение соответствующих уравнений. Обычно модифицируют матрицу жесткости элемента:

где α некоторое «малое» число; малое в смысле 0 , но обеспечивающее хорошую обусловленность системы уравнений. Наличие произвола в выборе, а в локальной матрице жесткости элемента повлияет на обобщенное перемещение zi , но так как эта

величина не входит в определение мембранных и изгибных де-

205

формаций, поэтому ее значение не повлияет и на напряжения, возникающие в конструкции.

Рис. 5.20. Пример расположения конечных элементов

Локальные направляющие косинусы

A. Прямоугольные элементы для цилиндрических или коробчатых тонкостенных конструкций (рис. 5.21)

Рис. 5.21. Дискретизация цилиндрической поверхности

206

Рис. 5.22. Ориентация стороны конечного элемента

Б. Треугольные элементы. Пусть X ,Y , Z и X ,Y , Z координатные оси соответственно глобальной и локальной ортого-

в плоскости конечного элемента (рис. 5.23). Сторона (ij) определяется вектором

207

Рис. 5.23. Локальная и глобальная системы координат конечного элемента

и искомые направляющие косинусы можно получить делением компонент этого вектора на его длину:

Построим ось Z как нормаль к плоскости треугольника i, j, k. Для этого воспользуемся векторным произведением

208

для определения направляющих косинусов разделим вектор Vz на его длину:

ся единичными.

Расчет тонкостенных элементов конструкций с ребрами жесткости (рис. 5.24). L, R, ho – соответственно длина, радиус и толщина оболочки, h, b, t, a – соответственно высота, ширина ребра, расстояние и угол между ребрами (рис. 5.24, б). Ребро – стержневой конечный элемент, который работает на изгиб, оболочка – плоский конечный элемент, работает на изгиб, растяжение и сжатие. Возможно построение специальных конечных элементов – суперэлементов.

209