книги / Методы вычислительной математики
..pdfДля всего ансамбля конечных элементов, покрывающего исследуемую область, в результате ансамблирования все внутренние усилия будут исключены из результирующей системы линейных алгебраических уравнений. В конечном итоге в нее войдут лишь самые внешние поверхностные нагрузки, задаваемые граничными условиями вида (15.4).
15.2. Плоско-деформированное состояние
В плоско-деформированном состоянии находятся тела, форма и размеры поперечного сечения которых, а также условия нагружения не зависят от одного из направлений. Размер тела в этом направлении велик, и продольной деформацией можно пренебречь. В качестве примера рассматривается длинный брус (рис. 15.2, а), находящийся на твердой горизонтальной площадке под действием вертикальной нагрузки, не изменяющейся вдоль оси z. Форма и размеры его поперечного сечения вдоль этой же оси не изменяются.
Для рассматриваемого случая, как показывают экспериментальные наблюдения, продольная деформация пренебрежимо мала, и можно считать, что εzz = 0 . Кроме того, из анализа геометрических условий следует, что
γxz = 0, γyz = 0 .
|
y |
|
|
y |
|
|
Гp |
|
|
x |
|
Г |
|
|
|
Ωp |
|
Ω |
|
|
z |
x |
|
б |
||
а |
Рис. 15.2. Схема плоско-деформированного состояния бруса (а); форма его поперечного сечения (б)
341
С учетом этих допущений из соотношений закона Гука (15.15) для упругого деформирования получаются выражения
σxx = E [(1 − ν)εxx + νεyy ](1 + ν)(1 − 2ν),
σyy = E[νεxx + (1 − ν)εyy ](1 + ν)(1 − 2ν),
σzz = Eν(εxx + εyy )(1 + ν)(1 − 2ν),
σxy = Eγxy 2(1 + ν), σxz = 0, σyz = 0.
С другой стороны, из закона Гука следует:
εzz = σzz E − ν(σxx + σyy )E .
Всилу условия εzz = 0
σzz = ν(σxx + σyy ),
то есть компонент σzz тензора напряжений не является независимой величиной. В этом случае матричное соотношение (15.16) представляется в виде
|
|
(σ |
) |
|
|
|
2(1−ν) |
|
|
|
|
xx m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
{σ |
|
}= (σ |
) |
|
= |
|
2ν |
|
|
|
|
||||||
|
m |
|
yy m |
|
2(1+ν)(1−2ν) |
|
||
|
|
|
) |
|
|
|
|
0 |
|
|
(σ |
|
|
|
|
||
|
|
|
xy m |
|
|
|
|
2ν
2(1−ν)
0
0 |
|
(ε |
|
) |
|
|
1 |
|
|
|
|
xx |
m |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
χTE |
|
|
|
0 |
(ε |
|
) |
|
− |
1 , |
|
||
yy |
|
|
(15.20) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
m |
|
1−2ν |
|
|||
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
1−2ν (γ |
xy |
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
m |
|
|
|
|
откуда следует вид матриц [D] и {R}:
|
|
|
2(1 − ν) |
2ν |
0 |
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
χE |
|
|
|
[D]= |
2ν |
2(1 − ν) |
0 , |
{R}= |
1 . |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
2(1 + ν)(1 − 2ν) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 − 2ν |
||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 2ν |
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что σxz = 0, |
σyz |
= 0 и решение задачи не зависит от перемен- |
ной z, в системе разрешающих соотношений (15.12) остаются лишь два уравнения:
∫[ϕ′k ,x (σxx )m + ϕ′k , y (σxy )m ]dΩ = ∫ Fx ϕk dΓ + ∫ρFx ϕk dΩ, |
||||
Ω |
Γ |
Ω |
||
|
F |
|
|
|
∫[ϕ′k ,x (σyx )m + ϕ′k , y (σyy )m ]dΩ = ∫ Fy ϕk dΓ + ∫ρFy ϕk dΩ, k = |
|
. |
||
1, m |
||||
Ω |
ΓF |
Ω |
342
В матричной форме эти уравнения записываются в виде, аналогичном выражению (15.14). Вид матрицы {σm} определен выражением (15.20), а также используются обозначения
|
ϕ′ |
0 |
ϕ′ |
|
|
|
|
ϕ |
k |
0 |
|
|
F |
|
ρF |
|
|
|||
[B ]= |
k ,x |
|
k , y |
, |
[ϕ |
|
|
|
|
{F}= |
|
x |
{ρF}= |
|
x |
. |
||||
|
|
|
k |
]= |
|
|
|
|
, |
|
, |
|
|
|||||||
k |
0 |
ϕ′k , y |
ϕ′k ,x |
|
|
0 |
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Fy |
|
ρFy |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
Связь компонентов тензора деформаций и вектора перемещений определяется в виде, аналогичном выражению (15.18), где
ϕ′i |
,x |
0 ϕ′i, y T |
|
||
[Bi ]T = |
|
ϕ′ |
ϕ′ |
|
, |
0 |
|
|
|||
|
|
i, y |
i |
,x |
|
u {ui }= i .
vi
С учетом введенных обозначений окончательно система алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов разложения имеет вид, совпадающий с выражением (15.19). Необходимо отметить, что при интегрировании по области Ω и границе Г
∫ f (x, y)dΩ = ∫ f (x, y)dxdydz = L ∫ f (x, y)dxdy = L ∫ f (x, y)dΩ ,
Ω Ω Ωp Ωp
∫ f (x, y)dΩ = ∫ f (x, y)dxdydz = L ∫ f (x, y)dxdy = L ∫ f (x, y)dΓ ,
Γ Γ Γp Γp
причем во всех слагаемых системы уравнений (15.19) появляется общий множитель L, равный размеру рассматриваемого тела в направлении оси z, который можно сократить. Интегрирование в дальнейшем производится только по об-
ласти Ωp поперечного сечения и по контуру Γp границы (рис. 15.2, б). Реализа-
ция разрешающих соотношений производится на треугольных конечных элементах с линейной интерполяцией решения внутри каждого из них,
u = u ϕ + u ϕ + u ϕ ,
m i i j j k k
v = v ϕ + v ϕ + v ϕ ,
m i i j j k k
где i, j, k – номера вершин произвольного конечного элемента, пробные функции ϕi, ϕj, ϕk определены выражениями (13.5). В матричной форме эти выражения представимы в форме
u ϕi |
0 ui |
ϕ j |
0 u j |
ϕk |
0 uk |
|
|
||||||
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
= |
∑[ϕr ]{ur }. |
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|||||||
v |
0 |
ϕ v |
0 |
ϕ j v j |
0 |
v |
|
|
r=i, j,k |
||||
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
k |
k |
|
|
Соответственно матрицы [Br], r = i, j, k, имеют вид
343
βi |
0 γi |
βj |
0 γ j |
, |
βk |
0 γk |
||||||
[Bi ]= |
γ |
|
, |
[Bj ]= |
γ j |
|
[Bk ]= |
γ |
|
β |
, |
|
0 |
i |
β |
0 |
βj |
|
0 |
k |
|
||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
k |
система уравнений (15.19) преобразуется к форме
∑ ∫[Bs ][D][Br ]T dΩ{ur }= ∫[ϕs ]{F}dΓ+ ∫[ϕs ]{ρF}dΩ+ ∫[Bs ]{R}dΩ, |
s =i, j,k . |
|
(15.21) |
|||||||||||||||||
r=i, j,k Ω |
p |
Γ |
|
Ω |
p |
|
|
|
Ω |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Вычисляются значения матриц, входящих в эту систему уравнений, |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1−ν) |
|
2ν |
0 |
β |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
β |
0 |
γ |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫[Bi ][D][Bi ]T dΩ= |
E |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
∫dΩ= |
|||||
|
|
|
|
|
|
2ν |
2(1−ν) |
0 |
γi |
|||||||||||
2(1+ν)(1 |
|
γ |
|
|
||||||||||||||||
Ω |
|
|
−2ν) 0 |
|
β |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
β |
Ω |
|
|||||
|
p |
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
1−2ν γ |
i |
|
|
p |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
ESp |
2βi2 |
(1−ν)+γi2 (1−2ν) |
|
βi γi |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||
|
2(1+ν)(1−2ν) |
βi γi |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
βi |
(1−2ν)+2γi |
(1−ν) |
|
|
∫[Bi ][D][Bj ]T dΩ= |
|
|
ESp |
|
|
2βiβj (1−ν)+γi γj (1−2ν) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1−2ν) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2β |
γ |
ν+β γ |
|
||||||||
Ω |
p |
|
2(1+ν)(1−2ν) |
j |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
i |
i |
|
|
|
||
∫[Bi ][D][Bk ]T dΩ= |
|
|
ES |
p |
|
|
2βiβk (1−ν)+γi γk (1−2ν) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1−2ν) |
||||||
|
|
|
|
|
|
2β |
γ |
ν+β γ |
|
|||||||||
Ω |
p |
|
2(1+ν)(1−2ν) |
k |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
i |
i |
|
|
|
|||
|
∫[Bj ][D][Bi ]T dΩ= |
|
|
ESp |
|
|
2βjβi (1−ν)+γi γj (1−2ν) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1−2ν) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2β γ |
ν+β |
γ |
|||||||||
Ω |
p |
|
2(1+ν)(1−2ν) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
j |
|
i |
|
|
|
|
|
|
∫[Bi ][D][B j ]T dΩ = |
|
|
ESp |
|
2β2 (1−ν) |
+γ2 (1−2ν) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
j |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
γ |
|
|||||
|
|
|
Ωp |
|
|
2(1+ν)(1−2ν) |
|
j |
j |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫[Bj ][D][Bk ]T dΩ= |
|
|
ESp |
|
|
2βkβi (1−ν)+γk γj (1−2ν) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1−2ν) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2β γ |
ν+β γ |
|||||||||||
Ω |
p |
|
2(1+ν)(1−2ν) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
j |
k |
|
i |
|
|
||
∫[Bk ][D][Bi ]T dΩ= |
|
|
ES |
p |
|
|
2βkβi (1−ν)+γi γk (1−2ν) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1−2ν) |
||||||
|
|
|
|
|
|
2β γ |
ν+β γ |
|||||||||||
Ω |
p |
|
2(1+ν)(1−2ν) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
k |
k |
|
i |
|
|
|
2βi γjν+βj |
γi (1−2ν) |
|
, |
|
||||||||
ββ |
(1−2ν)+ |
2γ |
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|||
i |
j |
(1−ν) |
|
|
|||||||||
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2βi γk ν+βk |
γi (1−2ν) |
|
|
|
||||||||
β β |
(1−2ν)+ |
2γ |
|
γ |
|
|
|
|
, |
||||
i |
k |
(1−ν) |
|
|
|||||||||
i |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2βj γiν+βi γj (1−2ν) |
|
, |
|
|||||||||
β |
β |
(1−2ν)+ |
2γ |
|
|
γ |
|
|
|
|
|
||
j |
|
|
(1−ν) |
|
|
||||||||
j |
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|||
|
|
βj γj |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
βj (1−2ν)+2γj (1−ν) |
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2βj γk ν+βk γj (1−2ν) |
|
, |
||||||||||
β |
β |
(1−2ν)+2γ |
|
γ |
|
|
|
|
|||||
j |
k |
(1−ν) |
|
||||||||||
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2βk γiν+βi γk (1−2ν) |
|
|
|
|||||||||
β β |
(1−2ν)+ |
2γ |
|
|
γ |
|
|
|
, |
||||
k |
|
(1−ν) |
|
|
|||||||||
k |
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
344
∫[Bk ][D][Bj ]T dΩ = |
|
ESp |
|
2βkβj (1−ν)+ γ j γk (1−2ν) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1−2ν) |
||||
2(1+ν)(1−2ν) |
2β |
|
γ |
ν +β γ |
|
|||||||
Ω |
p |
|
j |
j |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
k |
|
|||
|
∫[Bk ][D][Bk ]T dΩ = |
ES |
|
|
2βk2 |
(1−ν)+ γk2 (1− 2ν) |
||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
β γ |
|
||||
|
Ωp |
|
2(1+ν)(1−2ν) |
|
|
k |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
2βk γ jν +βj γk (1−2ν) |
|
, |
||||||
β β |
(1−2ν)+ 2γ |
|
γ |
|
|
|
|
||
k |
j |
(1−ν) |
|
||||||
k |
j |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
βk γk |
|
|
|
|
; |
|
|
β2 |
(1−2ν)+ 2γ2 (1− |
|
|
|
|
||||
ν) |
|
|
|
||||||
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fxϕi |
|
|
||||
∫[ϕi ]{F}dΓ = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dΓ, |
||||||
Γp |
|
Γp |
Fy ϕi |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρF |
ϕ |
|
|
||
|
∫[ϕi ]{ρF}dΩ= ∫ |
|
x |
|
i |
|
|||
|
|
|
ϕ |
dΩ, |
|||||
|
Ω |
p |
Ω |
ρF |
|
|
|||
|
|
p |
y |
|
i |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∫[Bi ]{R}dΩ = |
χETSp |
i |
||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
Ω |
p |
1− 2ν γ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
Fxϕk |
|
|||||
∫[ϕk ]{F}dΓ = ∫ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
dΓ, |
||||||||
Γp |
|
|
|
Γp |
Fy ϕk |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρF |
ϕ |
j |
|
|||
|
[ϕ |
]{ρF}dΩ= |
|
|
x |
|
|
|
||||
∫ |
|
|
|
|
|
dΩ, |
||||||
j |
|
|
|
∫ |
|
ϕ |
|
|
||||
Ω |
|
|
|
Ω |
ρF |
j |
|
|||||
p |
|
|
|
p |
y |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
j |
|
|
[B |
|
]{R}dΩ = |
χETSp |
|
|||||||
∫ |
j |
|
, |
|||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ωp |
|
|
|
1− 2ν γ j |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fxϕk |
|
∫[ϕk ]{F}dΓ = ∫ |
|
|
|
|
dΓ ; |
||
Γp |
Γp |
Fy ϕk |
|
|
|
|
|
|
|
|
ρF ϕ |
j |
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|||
∫[ϕk ]{ρF}dΩ= ∫ |
|
|
dΩ; |
|||||
Ω |
|
Ω ρF ϕ |
j |
|
||||
p |
|
p |
y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
χETSp |
|
||||
∫[Bk ]{R}dΩ = |
|
k |
||||||
|
|
|
|
. |
||||
1− 2ν |
||||||||
Ω |
p |
|
γ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
k |
При выводе этих выражений принято, что в пределах конечного элемента модуль упругости Е, температура T, коэффициенты Пуассона ν и температурного расширения материала χ постоянны; Sp – площадь p-го треугольного конечного элемента. Вводятся матричные обозначения:
uiviu
{u p }= j ,v jukvk
FxϕiFy ϕiF ϕ
{Fp }= ∫ x j
Γp Fy ϕ j
FxϕkF ϕ
y k
dΓ,
ρFxϕi |
|||
|
ρFy ϕi |
||
|
|||
|
|
|
|
|
|
ϕ j |
|
ρFx |
|||
{Fp }= ∫ |
|
ϕ j |
|
Ωp ρFy |
|||
ρFxϕk |
|||
|
|
ϕ |
|
ρF |
k |
||
|
y |
|
+χEβiT (1 −
+χEγiT (1 −
+χEβ jT (1 −
+χEγ jT (1 −
+χEβkT (1 −
+χEγkT (1 −
2ν)
2ν)
2ν) dΩ ,
2ν)
2ν)
2ν)
[B |
][D][B ]T |
[B |
][D][B |
]T |
[B |
][D][B ]T |
i |
i |
i |
j |
|
i |
k |
[Kp ]= ∫ [Bj ][D][Bi ]T |
[Bj ][D][Bj ]T |
[Bj ][D][Bk ]T |
||||
Ωp [B |
][D][B ]T |
[B |
][D][B |
]T |
[B |
][D][B ]T |
k |
i |
k |
j |
|
k |
k |
dΩ,
где {up} – вектор всех узловых перемещений p-го треугольного конечного элемента, [Kp] – матрица жесткости для этого же конечного элемента. Теперь
345
система уравнений (15.21) |
для одного |
конечного |
элемента представляется |
||
в форме (суммирование по индексу p не производится) |
|||||
|
[K p ]{u p } ={Fp }+ {Fp }. |
|
|||
Пример 15.1. Рассматривается осадка длинной стальной полосы с квад- |
|||||
ратным поперечным сечением размером 2×2 м2, зажатой между двумя гладки- |
|||||
ми горизонтальными плитами (рис. 15.3). Каждая из плит осаживается на вели- |
|||||
чину . Определить, на какую величину сместятся боковые стороны этой поло- |
|||||
сы в результате деформирования. |
|
|
|
||
y |
|
4 |
y |
3 |
|
4 |
3 |
||||
|
|
||||
1 |
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
x |
||
а |
|
|
|
б |
|
Рис. 15.3. Геометрическая схема осадки длинной полосы (а); |
|||||
схема кинематических граничных условий (б) |
Так как форма поперечного сечения является симметричной, можно рассматривать лишь четверть исследуемой области (см. рис. 15.3, б). Кинематические граничные условия указаны на этом же рисунке. Поскольку плиты, деформирующие полосу, гладкие, трение между ними и стальной полосой отсутствует, касательные усилия на контактной поверхности равны нулю.
На свободной боковой поверхности полосы отсутствуют как нормальные, так и касательные нагрузки. Для упрощения анализа алгоритма определения напряженно-деформированного состояния объекта рассматриваемая часть поперечного сечения полосы аппроксимируется только двумя конечными элементами 123 и 134, как это показано на рис. 15.3, б.
Пробные функции, ассоциированные с узлами первого треугольного элемента, показанного на рис. 15.4, определены в виде
346
ϕ1 =1 − y, ϕ3 = x, ϕ4 = y − x .
С использованием этих функций формируется матрица жесткости первого конечного элемента,
|
|
|
|
|
1−2ν |
0 |
0 |
2ν−1 2ν−1 1−2ν |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2−2ν −2ν |
0 |
2ν 2ν− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
−2ν |
2−2ν |
0 |
2ν−2 2ν |
|
|
|
[K1] |
|
∫ |
E |
0 |
|
|
|
|||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2(1+ν)(1−2ν) |
|
|
|
|
|
|
|
d . |
|||
|
|
2ν−1 |
0 |
0 |
1−2ν 1−2ν 2ν−1 |
|
||||||
|
|
Ω1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ν−1 2ν |
2ν−2 1−2ν 3−4ν −1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−2ν 2ν−2 2ν |
2ν−1 −1 3−4ν |
|
Поскольку модуль упругости стали E = 2×1011 МПа, коэффициент Пуассона ν = 0,3, площадь конечного элемента S1 = 0,5, коэффициенты матрицы жесткости принимают следующие числовые значения:
|
|
|
0,4 |
0 |
0 |
− 0,4 |
− 0,4 |
0,4 |
|
|
|
|
0 |
1,4 |
− 0,6 |
0 |
0,6 |
−1,4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
− 0,6 |
1,4 |
0 |
−1,4 |
0,6 |
|
[K1 ]= |
E |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
2,08 |
|
0 |
0 |
0,4 |
0,4 |
|
|||
|
− 0,4 |
− 0,4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 0,4 |
0,6 |
−1,4 |
0,4 |
1,8 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
−1,4 |
0,6 |
− 0,4 |
−1 |
1,8 |
|
|
|
|
|
Для упрощения принято, что массовые силы и температурные нагрузки отсутствуют, то есть для обоих элементов {ρF1} и {ρF2 } равны нулю. Для подсчета значений {F1} вся граница первого конечного элемента представляется ввиде суммы Г= Г1 + Г2 + Г3 (см. рис. 15.4), при этом считается, что вдоль каждой границы конечногоэлементаповерхностныенагрузкипостоянны.
На границе Г1 касательная нагрузка Fy1 = 0 в силу симметрии расчетной схемы; на границе Г2 усилие Fx2 = 0 вследствие отсутствия трения между плитой и полосой. Подсчитываются интегралы, содержащие функцию ϕ1 =1− y,
∫ Fxϕ1dΓ = ∫Fx1ϕ1dΓ + ∫Fx2ϕ1dΓ + ∫ Fx3ϕ1dΓ.
Γ |
Γ1 |
Γ2 |
Γ3 |
347
Вычисляются значения каждого из интегралов в этом выражении,
|
1 |
|
1 |
∫ Fx1ϕ1dΓ = Fx1 ∫(1 − y)dy = Fx1 2 , |
∫Fx2ϕ1dΓ = Fx2 ∫(1 −1)dy = 0. |
||
Γ1 |
0 |
Γ2 |
0 |
На наклонной границе удобнее перейти к локальным координатам и вычислить интеграл
∫ Fx3ϕ1dΓ = Fx3 ∫2(1 − ξ 2)dξ = Fx3 2 2.
Γ3 0
y |
Fy2 |
|
|
F 2 |
|
||
4 узел |
3 узел |
||
x |
|||
|
|
||
|
Г2 |
|
|
Fy1 |
1 элемент |
|
Fy3 |
||||
Fx1 |
|
|
|
Г1 Г3 |
|
|
|
Fx3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 узел |
1 узел |
3 узел |
|
Fy3 |
|
4 |
|
|||||||
F 3 |
|
|
|
|
|
|
|
Fy |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
F 4 |
|
||||||
|
|
|
Г3 |
Г4 |
|
|
|
||||
2 элемент |
|
|
|
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Г5 |
|
2 узел |
x |
|||||
|
|
|
Fy5 |
5 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Рис. 15.4. Треугольные конечные элементы, аппроксимирующие поперечное сечение полосы (плоско-деформированное состояние)
Суммированием полученных выражений определяется значение интеграла на всей границе Г,
∫ Fxϕ1dΓ = Fx1 2 + Fx3 2 2 .
Γ
Для вертикальной составляющей поверхностных сил интеграл вычисляется аналогично,
∫ Fy ϕ1dΓ = ∫ Fy1ϕ1dΓ + ∫ Fy2ϕ1dΓ + ∫Fy3ϕ1dΓ,
Γ |
Γ1 |
Γ2 |
|
Γ3 |
|
1 |
|
|
1 |
∫ Fy1ϕ1dΓ = 0∫(1 − y)dy = 0 , ∫ Fy2ϕ1dΓ = Fy2 ∫0dx = 0, |
||||
Γ1 |
0 |
|
Γ2 |
0 |
348
∫ Fy3ϕ1dΓ = Fy3 ∫2(1 − ξ 2)dξ = Fy3 2 2 .
Γ3 0
Для всего интеграла получается значение
∫ Fy ϕ1dΓ = Fy3 2 2.
Γ
Вычисляются интегралы, содержащие функцию ϕ3 = x ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
∫ Fxϕ3dΓ = ∫ Fx1ϕ3dΓ + ∫ Fx2ϕ3dΓ+ ∫ Fx3ϕ3dΓ = Fx1 ∫0dy + Fx3 ∫ξdξ 2 = Fx3 2 2 , |
||||||||||||||||||||
Γ |
|
|
|
|
Γ1 |
|
|
Γ2 |
|
Γ3 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
∫Fyϕ3dΓ= ∫Fy1ϕ3dΓ+ ∫Fy2ϕ3dΓ+ ∫Fy3ϕ3dΓ= Fy2 ∫xdx+Fy3 ∫ξdξ |
2 = Fy2 |
2+Fy3 2 2, |
||||||||||||||||||
Γ |
|
|
|
Γ1 |
|
|
Γ2 |
|
Γ3 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и функцию ϕ4 = y − x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
∫Fxϕ4dΓ = ∫Fx1ϕ4dΓ+ ∫Fx2ϕ4dΓ+ ∫Fx3ϕ4dΓ = Fx1 ∫ ydy + Fx3 ∫0dξ = Fx1 |
2, |
||||||||||||||||||
|
Γ |
|
|
|
Γ1 |
|
|
Γ2 |
|
Γ3 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
∫Fyϕ4dΓ = ∫Fy1ϕ4dΓ+ ∫Fy2ϕ4dΓ+ ∫Fy3ϕ4dΓ = Fy2 ∫ |
(1− x)dx + Fy3 ∫0dξ = Fy2 2. |
||||||||||||||||||
|
Γ |
|
|
|
Γ1 |
|
Γ2 |
Γ3 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
Для первого конечного элемента построен вектор поверхностных нагрузок |
|||||||||||||||||||
|
|
|
{F } |
= 1 |
F1 |
+ F 3 |
2 F 3 2 F 3 2 F 2 + F 3 |
2 F1 |
F |
2 T |
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
2 |
x |
x |
|
y |
x |
y |
y |
|
|
x |
y |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и сформирована система алгебраических уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0,4 |
0 |
0 |
− 0,4 |
− 0,4 |
0,4 |
u1 |
|
Fx1 |
+ Fx3 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
1,4 |
− 0,6 |
0 |
0,6 |
−1,4 |
|
|
|
|
F 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
− 0,6 |
1,4 |
0 |
−1,4 |
0,6 |
|
1 |
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
u |
|
|
F 3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
+ Fy3 |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1,04 − |
0,4 |
0 |
0 |
0,4 |
0,4 |
− 0,4 v3 |
|
Fy2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0,4 |
0,6 |
−1,4 |
0,4 |
1,8 |
−1 |
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
u |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0,4 |
−1,4 |
0,6 |
− 0,4 |
−1 |
1,8 |
|
4 |
|
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
v |
4 |
|
|
F 2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
Пробные функции для второго треугольного элемента (см. рис. 15.4):
ϕ1 =1 − x, ϕ2 = x − y, ϕ3 = y .
349
Матрица жесткости второго конечного элемента имеет представление
|
|
|
|
1−2ν |
0 |
0 |
2ν−1 2ν−1 1−2ν |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2−2ν −2ν |
0 |
2ν 2ν− |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
−2ν |
2−2ν |
0 |
2ν−2 2ν |
|
|
[K2 ]= |
∫ |
E |
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
dΩ. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2(1+ν)(1−2ν) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2ν−1 |
0 |
0 |
1−2ν 1−2ν 2ν−1 |
||||||
|
Ω2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ν−1 2ν |
2ν−2 1−2ν 3−4ν −1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−2ν 2ν−2 2ν |
2ν−1 −1 3−4ν |
Подстановка значений модуля упругости E = 2×1011 МПа, коэффициента Пуассона ν = 0,3 и площади конечного элемента S2 = 0,5 дает
|
|
|
1,4 |
0 |
−1,4 |
0,6 |
0 |
− 0,6 |
||
|
|
|
0 |
0,4 |
0,4 |
− 0,4 |
− 0,4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
−1,4 |
0,4 |
1,8 |
−1 |
− 0,4 |
0,6 |
|
|
[K2 ]= |
E |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
2,08 |
0,6 |
− 0,4 |
−1 |
1,8 |
0,4 |
−1,4 |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
− 0,4 |
− 0,4 |
0,4 |
0,4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,6 |
−1,4 |
0 |
1,4 |
|
|
|
|
− 0,6 |
|
Для подсчета значений {F2}, как и в предыдущем случае, вся граница второго конечного элемента представляется в виде суммы Г = Г3 + Г4 + Г5. Предполагается, что вдоль соответствующих границ поверхностные нагрузки постоянны, при этом на свободной поверхности Г4 нагрузки Fy4 = 0, Fx4 = 0 , на грани-
це Г5 |
усилие F 5 |
= 0 |
вследствие симметрии расчетной схемы. |
Вычисляются |
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интегралы, содержащие функцию ϕ1 =1 − x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
3 |
2 |
|
|
ξ |
3 |
2 2, |
|
|
|
|
∫Fxϕ1dΓ=−∫Fx |
ϕ1dΓ+ ∫Fx |
ϕ1dΓ+ ∫Fx ϕ1dΓ=−Fx |
∫ |
1− |
|
dξ=−Fx |
|
|||||||||||
|
|
Γ |
|
|
Γ |
|
Γ |
|
|
|
Γ |
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
ϕdΓ= |
∫ |
F3ϕdΓ+ |
∫ |
F4ϕdΓ+ |
∫ |
F5ϕdΓ=−F3 |
2 1− |
ξ dξ+F5 |
1 |
(1−x)dx=F5 |
2−F3 |
2 2; |
|||||||
∫ y |
1 |
|
y 1 |
|
y 1 |
|
y 1 |
y |
∫ |
|
|
y |
∫ |
|
y |
y |
|
|||
Γ |
|
|
Γ3 |
|
|
Γ4 |
|
Γ5 |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
функцию ϕ2 = x − y , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
∫ Fxϕ2dΓ = −∫ Fx3ϕ2dΓ + ∫ Fx4ϕ2dΓ + ∫ Fx5ϕ2dΓ = −Fx3 ∫0dξ = 0, |
|
|||||||||||||||||
|
|
Γ |
|
|
|
Γ3 |
|
|
Γ4 |
|
Γ5 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
350