книги / Методы вычислительной математики

εm = um − f ≠ 0,

распределенную в области Ω. Для подсчета моментов μk выбирается система взвешивающих функций ψk , k =1,m , с помощью которых невязка взвешивается в области Ω, и при этом требуется выполнение условия ортогональности

μk = ∫εmψk dΩ = 0, k =1,m

Ω

Если система взвешивающих функций обладает свойством полноты, то из

ортогональности невязки εm ко всем функциям ψk следует, что εm →0.

m→∞

Если кроме этого система пробных функций ϕi(x) обладает свойством замкну-

ния um к точному решению u задачи (12.1).

Пусть пробные функции ϕi(x) выбраны так, что не удовлетворяют точно граничным условиям (12.2) и (12.3) на границах ГU и ГQ. Невязки

εU = um −U , x ΓU , εQ = Q − u′m,n , x ΓQ

взвешиваются на указанных границах области,

Теперь, как и в предыдущем случае, можно потребовать выполнения усло-

и решать совместно систему уравнений (12.5)–(12.7) для поиска коэффициентов ai разложения (12.4) искомого решения. Однако целесообразно объединить соотношения (12.5) и (12.6), (12.7). Для дальнейших выкладок применяется теорема Грина1 [22]:

1 Грин Джордж [14.7.1793 – 31.3.1841] – английский математик и физик. Математику изучал самостоятельно, и поэтому лишь в 1837 году окончил Кембриджский университет.

281

ΩΩ Γ

С учетом этого соотношение (12.5) преобразуется к выражению

Основной результат выполненного преобразования заключается в понижении порядка производной искомой функции, входящей в получаемое соотношение. Иными словами, можно ослабить1 требования к пробным функциям,

Ввел понятие и термин потенциал, развил теорию электричества и магнетизма. Выполнил работу по исследованию отражения и преломления света в кристаллических средах, в которой вывел основные уравнения теории упругости.

1 Полученное соотношение называют слабой формулировкой исходной задачи.

282

∫ψk u′m,n dΓ + ∫Qψk dΓ − ∫umψ′k ,n dΓ − ∫umψ′k ,n dΓ + ∫um ψk dΩ − ∫ fψk dΓ = 0.

Следует обратить внимание, что в полученном выражении искомая функция вынесена из-под дифференциального оператора1. В то же время под знаком оператора Лапласа2 находятся взвешивающие функции, что ужесточает предъявляемые к ним требования.

Если взвешивающие функции удовлетворяют уравнению

ψk = 0, k =1,m ,

из выражения (12.10) следует соотношение, связывающие только граничные значения функции um и u′m,n – производной искомой функции по направлению

нормали к поверхности ΓU ,

Полученные соотношения являются основой граничных методов для решения уравнений в частных производных, например, метода граничных элементов, метода граничных интегральных уравнений, метода Треффца и ряда

1В этом случае полученное выражение носит название обратной формулировки задачи.

2Лаплас Пьер Симон [23.3.1749 – 5.3.1827] – французский астроном, математик, физик. Участвовал в реорганизации системы высшего образования во Франции, в создании Нормальной и Политехнической школ. В 1790 году был назначен председателем Палаты мер

ивесов, руководил введением метрической системы мер. В 1785 году избран членом Париж-

ской академии наук, в 1802 году – почетным членом Петербургской академии наук, в 1816 – членом Французской академии. Научное наследие относится к области небесной механики, математики и математической физики. Выполнены фундаментальные исследования в теории дифференциальных уравнений, интегрировании уравнений в частных производных. В теории вероятностей развил теорию ошибок и способ наименьших квадратов, позволяющие находить наиболее вероятные значения измеренных величин и степень достоверности этих расчетов.

283

других. На рис. 12.1 приведена схема классификации методов взвешенных невязок, предложенная в монографии [4].

12.1. Частные случаи метода моментов

Многие хорошо известные численные методы, используемые при решении задач математической физики, могут интерпретироваться как частные случаи метода моментов.

284

С помощью различных численных методов отыскиваются приближенные решения этого уравнения в виде

um (x) = x(1 − x)(α0 + α1 x + α2 x2 +…),

удовлетворяющем граничным условиям (12.13). Для упрощения в этом разложении по степеням аргумента x удерживаются только два слагаемых:

Погрешность получаемого приближенного решения оценивается с помощью точного решения (12.14). Невязка, получаемая подстановкой приближенного решения (12.15) в уравнение (12.12) равна

В соответствии с идеей метода моментов требуется равенство нулю взвешенной по всей области интегрирования невязки ε1:

где ψk, – полная система взвешивающих функций, k = 0, 1, 2, …

12.1.1. Метод Галеркина

285

В качестве взвешивающих функций ψk выбирается последовательность полиномов 1, x, x2, … В соответствии с (12.17) получаются выражения:

ментов, по сравнению с точным решением (12.14).

Рис. 12.3. Погрешность метода моментов

12.1.2. Метод коллокаций

В качестве взвешивающих функций ψk выбираются δ-функции1 Дирака:

ψ0 = δ(x − x0 ), ψ1 = δ(x − x1 ),

где x0 и x1 – произвольные точки отрезка [0, 1]. Подсчитываются выражения (12.17) для этого случая:

∫1 ε1δ(x − x0 )dx = ε(x0 )= 0,

0

1 Построение δ-функции и ее свойства обсуждаются в прил. 1.

286

∫1 ε1δ(x − x1 )dx = ε(x1 ) = 0.

0

Иными словами, в этом методе требуется удовлетворение невязки не в среднем по всей области интегрирования, а в конечном числе точек отрезка,

показана погрешность решения, полученного методом коллокаций.

Рис. 12.4. Погрешность метода коллокаций

12.1.3. Метод подобластей

Пусть рассматриваемая область разделена на m подобластей Ωk, которые могут перекрывать друг друга. Взвешивающие функции, которые в этом случае можно назвать индикаторными, определяются следующим образом:

Для задачи (12.12)–(12.13) в качестве таких подобластей выбираются Ω0 = [0,12] и Ω1 = [0,1]. Теперь соотношения (12.17) имеют вид

287

рис. 12.5 показана погрешность решения, полученного методом подобластей.

Рис. 12.5. Погрешность метода подобластей

12.1.4. Метод наименьших квадратов

Строится функционал

288

Последнее выражение можно трактовать как вариант метода взвешенных невязок с весовыми функциями

Согласно разложению (12.15) определяются весовые функции

ψ0 = ∂∂αε0 = −x2 + x − 2 , ψ1 = ∂∂αε1 = −x3 + x2 − 6x + 2.

Всоответствии с (12.17) строятся выражения

рис. 12.6 показана погрешность приближенного решения, полученного методом наименьших квадратов.

289