книги / Методы вычислительной математики

Теперь система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно узловых значений температуры Ti(t) и Tj(t) имеет вид

Полученную систему уравнений удобно представить в матричной форме

Для интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (14.24) могут быть использованы разностные схемы: явная

[C]{T}−{T} =[Λ]{T} +{W},

τ

неявная

[C]{T}−{T} =[Λ]{T}+{W},

τ

Крэнка–Николсона

[C]{T}−{T} =[Λ]{T}+{T} +{W}..

τ 2

Последняя разностная схема в виде системы линейных алгебраических уравнений

наиболее часто используется при решении прикладных задач нестационарной теплопроводности. Использование процедуры ансамблирования для всех конечных элементов, аппроксимирующих рассматриваемый стержень, позволяет исключить внутренние неизвестные тепловые потоки qi и qj.

331

15.МЕТОД ГАЛЕРКИНА: ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Статическое равновесие упругого деформируемого тела (в рамках гипотезы о малых деформациях) описывается системой уравнений: равновесия

геометрических

ний и малых деформаций; u – вектор перемещений; n – вектор внешней нор-

тензоры физико-механических свойств; T – температурное поле; ρ – плотность материала. Вся поверхность Г тела разделена на подобласти ГF , где заданы поверхностные нагрузки, и ГU, на которой заданы кинематические граничные ус-

ловия, Γ = ΓF + ΓU , Ω = Ω + Γ.

1 Гамильтон Уильям Роуан [4.8.1805 – 2.9.1865] – ирландский математик и астроном, член Ирландской королевской академии наук. С 1827 года – профессор астрономии в Дублинском университете и директор университетской астрономической обсерватории. В 1833– 35 годах опубликовал работу, в которой дал точное формальное изложение теории комплексных чисел. Построил числовую систему кватернионов, которая явилась одним из источников развития векторного исчисления. В механике предложил метод, названный принципом наименьшего действия. В 1837 году избран иностранным членом-корреспондентом Петербургской академии наук.

333

15.1. Построение разрешающих соотношений

Поскольку уравнение (15.1) векторное, решением его является векторная функция, а значит, для разложения решения в ряд необходимо построить систему векторных пробных функций. Предполагается, что ϕi , i =1,2,..., – полная

и замкнутая система скалярных функций. Векторные пробные функции конструируются в виде

15.1.1. Уравнение равновесия

Пусть ~ – приближенное решение уравнения (15.1). Невязки, получае-

σm

мые при подстановке этого решения в уравнение (15.1) и граничное условие1 (15.4), взвешиваются в соответствии с идеей метода Галеркина с использо-

и соотношения (15.8) первое слагаемое выражения (15.7) преобразуется к виду

поскольку искомая функция ~ теперь вынесена из-под знака производной.

σm

Кроме этого, в выражение (15.9) включены силовые граничные условия (15.4). От векторной формы записи уравнения можно перейти к компонентной2:

1Для упрощения выкладок предполагается, что Гu = , Г = ГF.

2Здесь и далее предполагается суммирование по повторяющимся индексам, знак сум-

мирования Σ опускается.

334

В последнем выражении Hj, j = 1, 2, 3 – коэффициенты Ляме. В декартовой ортогональной системе координат H1 = H2 = H3 = 1. В этом случае выражение (15.11) преобразуется к виду (далее знак черты над символами опущен)

Учитывая, что согласно (15.6) (Φ1 )x = ϕ1, (Φ1 )y = 0, (Φ1 )z = 0 , предыдущее выражение приводится к виду

Аналогичные преобразования с использованием Φ2 и Φ3 приводят к соотношениям

335

∫[ϕ1′,x (σyx )m +ϕ1′, y (σyy )m +ϕ1′,z (σyz )m ]dΩ = ∫ Fy ϕ1dΓ + ∫ρFy ϕ1dΩ,

Ω ΓF Ω

∫[ϕ1′,x (σzx )m + ϕ1′, y (σzy )m + ϕ1′,z (σzz )m ]dΩ = ∫ Fz ϕ1dΓ + ∫ρFz ϕ1dΩ.

Ω ΓF Ω

Для всей системы функций (15.6) полученные выражения можно записать в виде

где k =1, m. Вводятся матричные обозначения

336

с помощью которых систему уравнений (15.12) можно представить в матричной форме

15.1.2. Физические уравнения

Для упруго деформируемого тела связь между напряжениями и деформациями имеет вид закона Гука1:

где θ = (εxx + εyy + εzz ) – объемная деформация; λ и G – коэффициенты Ляме,

которые могут быть определены с помощью коэффициента Пуассона ν и модуля E Юнга2: λ = νE(1 + ν)(1 − 2ν), G = E2(1 + ν). Для рассматриваемого случая

выражения (15.15) принимают вид

σxx = (λ + 2G)εxx + λεyy + λεzz = E [(1 − ν)εxx + νεyy + νεzz ](1 + ν)(1 − 2ν), σyy = E [νεxx + (1 − ν)εyy + νεzz ](1 + ν)(1 − 2ν),

σzz = E [νεxx + νεyy + (1 − ν)εzz ](1 + ν)(1 − 2ν),

σxy = 2Gεxy = Gγxy = Eγxy 2(1 + ν), σyz = Eγyz 2(1 + ν), σzx = Eγzx 2(1 + ν).

Полученные выражения могут быть записаны в матричной форме,

1Гук Роберт [18.7.1635 – 3.3.1703] – английский ученый, один из основателей Лондонского королевского общества. С 1665 преподавал в Лондонском университете в должности профессора. Основные труды выполнены в области физики и астрономии. Начал разработку основ математической теории упругости.

2Юнг Томас [1773 – 1829] – английский ученый, один из основоположников волновой теории света. Сформулировал принцип интерференции, высказал идею о поперечности световых волн. Объяснил аккомодацию глаза, разработал теорию цветового зрения. Ввел модуль упругости, названный его именем. Наибольший вклад внес в изучение акустики, астрономию, расшифровку египетских иероглифов.

337

{σm }= [D]{εm },

Для учета возможных температурных деформаций за счет теплового расширения следует иметь в виду, что компоненты тензора полной деформации определяются суммой

εij = εije + δij εT , εT = χT, i, j = x, y, z ,

где χ – коэффициент температурного расширения материала, T – температура,

отсчитываемая от некоторого начального значения. Объемная деформация θ определяется выражением

θ = εxx +εyy +εzz = εexx +εeyy +εezz +3εT = θe +3εT.

В этом случае связь (15.15) между компонентами тензора упругих напряжений и деформаций представляется в виде

σij = λθeδij + 2Gεije = λ(θ − 3εT )δij + 2G(εij − δij εT )=

=λθδij + 2Gεij − δij (3λ + 2G)εT .

Сиспользованием обозначения

15.1.3. Геометрические уравнения

Вектор перемещений точек сплошной среды раскладывается по системе пробных функций,

um

{um }= vm = u1Φ1 + v1Φ2 + w1Φ3 + u2Φ4 + v2Φ5 + w2Φ6 +…=

wm

338

Связь (15.3) между компонентами тензора деформаций и компонентами вектора перемещений имеет вид

γ yz = w′y + v′z = m (wiϕ′i, y + viϕ′i,z ),

∑

i=1

m

γ zx = u′z + w′x = ∑(uiϕ′i,z + wiϕ′i,x ).

i=1

Полученные выражения в матричной записи

с помощью обозначений (15.13) можно представить в форме

339

i=1

Последовательная подстановка соотношений (15.16) и (15.18) в выражение (15.14) позволяет получить систему линейных алгебраических уравнений

щения в ряд по пробным функциям (15.6). Решение этой системы уравнений позволяет находить поля перемещений (15.17), деформаций (15.18), определять напряженное состояние тела, используя выражение (15.16).

15.1.4. Ансамблирование конечных элементов

Пусть два конечных элемента имеют общую сторону (рис. 15.1, а). При объединении двух конечных элементов (рис. 15.1, б) в единую композицию учитывается условие их механического взаимодействия. Это означает, что интегралы по поверхности ГF в уравнениях (15.19) для двух соседних элементов будут различаться лишь знаками1. Поэтому при поэлементном сложении уравнений неизвестные усилия взаимодействия Fx , Fy , Fz и Fx′, Fy′, Fz′ (силы, яв-

ляющиеся внутренними для системы этих элементов) будут исключены из уравнений. Коэффициенты, находящиеся при одинаковых узловых перемещениях (в рассматриваемом случае – ui, vi и wi), будут складываться.

Рис. 15.1. Конечные элементы, имеющие общую сторону (а); ансамблирование конечных элементов в единую композицию (б)

1Согласно аксиоме статики два тела взаимодействуют с силами, равными по величине

инаправленными в противоположные стороны.

340