книги / Статика в задачах биомеханики
..pdfМинистерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
А.В. Сотин, В.М. Тверье, О.Р. Ильялов
СТАТИКА В ЗАДАЧАХ БИОМЕХАНИКИ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета
2022
1
УДК 531.2 / 612.766.1 С675
Рецензенты:
канд. матем. наук А.М. Герегей (НИИ МТ им. академика Н.Ф. Измерова);
д-р техн. наук С.А. Федосеев (Пермский национальный исследовательский
политехнический университет)
Сотин, А.В.
С675 Статика в задачах биомеханики : учеб. пособие / А.В. Сотин, В.М. Тверье, О.Р. Ильялов. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2022. – 97 с.
ISBN 978-5-398-02812-6
Рассмотрено приложение теории статики твердого тела к решению ряда задач биомеханики человека. Систематически изложена теория статики твердого тела. На примере решения задачи устойчивости мобильного антропоморфного робота-манипулятора рассмотрено применение методов оптимизации для решения статически неопределенных задач. Подробно описаны экспериментальные методы определения некоторых биомеханических параметров опорнодвигательного аппарата человека, рассмотрены постановка и решение задач расчета усилий мышц и связок в зубочелюстной системе, голеностопном и тазобедренном суставах.
Предназначено для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению 09.03.02 «Цифровые технологии и интеллектуальные системы управления» профиля подготовки «Цифровые технологии в биомедицине» истудентов магистратуры по направлениям 15.04.03 «Прикладная механика» профиля подготовки «Биомеханика» и 15.04.06 «Мехатроника и робототехника» профиля подготовки «Интеллектуальная промышленная робототехника». Рассмотренныепримерыприменениятеориистатикитвердого тела для решения задач биомеханики могут быть полезны студентам, изучающимобщийкурстеоретическоймеханики.
УДК 531.2 / 612.766.1
ISBN 978-5-398-02812-6 |
♥ ПНИПУ, 2022 |
2
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Предисловие........................................................................................ |
4 |
Введение.............................................................................................. |
5 |
Глава 1. Статика твердого тела......................................................... |
6 |
1.1. Основные понятия статики. Связи и реакции связи ........... |
6 |
1.2. Проекция силы на ось и на плоскость. |
|
Момент силы......................................................................... |
12 |
1.3. Теория пар сил...................................................................... |
18 |
1.4. Главный вектор и главный момент системы сил .............. |
25 |
1.5. Уравнения равновесия для различных систем сил............ |
34 |
1.6. Центр параллельных сил и центр тяжести......................... |
35 |
1.7. Единый подход к решению задач на равновесие |
|
твердого тела......................................................................... |
40 |
1.8. Применение теории статики твердого тела |
|
для расчета устойчивости мобильного |
|
антропоморфного робота-манипулятора............................ |
40 |
Глава 2. Экспериментальные методы количественной |
|
оценки биомеханических характеристик |
|
опорно-двигательного аппарата человека...................................... |
51 |
2.1. Экспериментальные методы количественной оценки |
|
состояния скелетной мускулатуры..................................... |
52 |
2.2. Экспериментальные методы количественной |
|
оценки влияния экзоскелета на биомеханику |
|
движений человека............................................................... |
54 |
Глава 3. Расчет функциональных нагрузок |
|
на крупные суставы человека.......................................................... |
63 |
3.1. Определение усилий мышц и связок |
|
в зубочелюстной системе..................................................... |
63 |
3.2. Вычисление усилий мышц и связок |
|
голеностопного сустава........................................................ |
73 |
3.3. Расчет нагрузок на тазобедренный сустав |
|
при ходьбе............................................................................. |
79 |
Заключение........................................................................................ |
85 |
Список литературы........................................................................... |
86 |
|
3 |
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие является дополнением к теоретическому курсу компьютерной биомеханики и появилось благодаря научным семинарам и исследованиям, проводимым в Пермской школе биомеханики, основанной Юрием Ивановичем Няшиным. Рассмотренные примеры применения законов теоретической механики для решения задач биомеханики скелетно-мышечной системы человека соответствуют программе курса компьютерной биомеханики для технических вузов и дополняют его демонстрацией методик экспериментального определения биомеханических параметров опорно-двигательного аппарата человека и алгоритмами расчета усилий мышц и связок в зубочелюстной системе, голеностопном и тазобедренном суставах с учетом индивидуальных антропометрических и функциональных характеристик человека.
Эта книга будет полезна всем изучающим теоретическую механику по программам технических вузов, так как приведенные примеры связывают курс с реальными задачами и позволяют глубже понять законы механики, что способствует усвоению студентами основного теоретического курса.
Учебное пособие предназначено для студентов бакалавриата, специализирующихся в области биомеханики, обучающихся по направлению 09.03.02 «Цифровые технологии и интеллектуальные системыуправления» профиля подготовки «Цифровые технологии в биомедицине», и студентов магистратуры по направлениям 15.04.03 «Прикладная механика» профиля подготовки «Биомеханика» и 15.04.06 «Мехатроника и робототехника» профиля подготовки «Интеллектуальная промышленнаяробототехника».
4
ВВЕДЕНИЕ
Компьютерная биомеханика – это раздел биомеханики, посвященный различным способам приложения данной науки в области построения цифрового двойника (виртуальных моделей систем и органов) человека. Ее клинической задачей является не только математическое моделирование функционирования различных органов, но и прогнозирование возможных биомеханических последствий хирургического вмешательства как в раннем, так и в позднем послеоперационных периодах.
Основой компьютерной биомеханики являются механика, информатика (численные методы), анатомия и физиология человека. С помощью механического подхода производится анализ функциональных задач различных систем и органов человеческого организма. Следует отметить, что механика тесно связана с применением математических концепций, составляющих предмет теории оптимизации, которым также будет уделено внимание в данном учебном пособии.
Компьютерная биомеханика основана как на методах механики (законы Ньютона, общие теоремы статики, динамики и т.д.), так и на экспериментальных методах, поэтому для усвоения материала, изложенного в предлагаемом пособии, надо предварительно ознакомиться с курсом анатомии и физиологии, хотя некоторые сведения из этих курсов при необходимости приводятся в соответствующих подразделах. Изучение базовых принципов и общих теорем статики твердого тела служит необходимым условием для постановки и решения задач равновесия механической системы. Для решения задач биомеханики требуется также знание масс-инерционных характеристик сегментов человеческого тела, некоторые из них приведены в тексте.
5
ГЛАВА 1. СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Статика – это раздел теоретической механики, изучающий операции над силами и условия равновесия твердых тел. Объектом изучения в статике является абсолютно твердое тело (иногда материальная точка).
1.1.Основные понятия статики. Связи и реакции связи
Сила – количественная мера механического взаимодействия. Сила – это вектор, т.е. силу характеризует ее величина и направление (в формулах и рисунках векторные величины будут
обозначены жирным шрифтом).
Система сил– совокупность сил, действующих на данноетело. Равновесие – это или состояние покоя, или равномерное прямолинейное движение всех точек тела, при котором ускоре-
ние для всех точек тела равно нулю.
Система сил, под действием которых тело находится в равновесии, называется уравновешенной.
Сила, прибавление которой к данной системе сил делает систему уравновешенной, называется уравновешивающей силой этой системы сил.
Системы сил называют эквивалентными, если движение или равновесие тела не меняется при замене одной системы сил на другую.
Одна сила, эквивалентная данной системе сил, называется равнодействующей данной системы сил.
Аксиомы статики:
1. Тело находится в равновесии под действием двух сил (FA и FB) тогда и только тогда, когда эти силы равны по величине и направлены по прямой, соединяющей точки их приложения, в противоположные стороны. Это простейшая уравновешенная система сил:
6
FА |
А |
FB |
|
|
|
|
|
В |
FA = −FB. |
(1.1) |
2.Действие системы сил на тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.
3.Равнодействующая двух непараллельных сил, приложенных в одной точке, равна диагонали параллелограмма, построенного на этих силах.
4.Два тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и противоположными по направлению (в динамике эта аксиома известна как 3-й закон Ньютона).
5.Принцип затвердевания. Если деформируемое твердое тело, находящееся в равновесии под действием данной системы сил, станет абсолютно твердым (затвердеет), то его равновесие не нарушится. Другими словами, данный принцип означает, что условия равновесия абсолютно твердого тела для не абсолютно твердого тела необходимы, но не достаточны. Например, выполнение условия (1.1) для равновесия абсолютно твердого стержня необходимо и достаточно, а для равновесия нерастяжимой гибкой нити условие (1.1) необходимо, но не достаточно. Нужно добавить условие, что это силы растягивающие.
А |
Стержень |
В |
А |
Стержень |
В |
FA |
|
FB |
FA |
FB |
|
А |
Нить |
В |
А |
Нить |
В |
FA |
|
FB |
FA |
FB |
|
7
Следствия:
1. Не изменяя действие силы на тело, ее можно переносить по линии действия, т.е. вектор силы – скользящий вектор.
Доказательство:
Сила F″ приложена в точке В. Приложим уравновешенную (по аксиоме 1) систему сил (F, F′):
F = –F′ = F″. |
(1.2) |
АВ
F |
F′ |
F″ |
F ≡ (F, F′, F″) ≡ F″, |
(1.3) |
|
т.е. силы (F′, F″), как уравновешенные, могут быть отброшены (аксиома 2).
2.Если система сил имеет равнодействующую, то она имеет
иуравновешивающую силу, и наоборот, причем эти силы равны по величине и противоположны по направлению.
Доказательство:
Согласно определению равнодействующей,
(F1, F2, …, Fn) ≡ R, |
(1.4) |
тогда |
|
R + Fур ≡ 0, |
(1.5) |
следовательно, |
|
R = −Fур. |
(1.6) |
3. Теорема о трех силах.
Линии действия трех уравновешенных непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, пересекаются в одной точке.
Доказательство:
Даны силы FА, FВ, FС. Первые две силы переносим в одну точку:
8
|
А |
В |
FВ |
FА |
R |
|
|
|
FА′ |
FВ′ |
|
|
|
С |
|
|
|
FС |
|
|
FА = FА′. |
(1.7) |
|
FВ = FВ′. |
(1.8) |
|
FА + FВ = R. |
(1.9) |
Тогда, по аксиоме 1, |
FС = −R. |
(1.10) |
Связи и реакции связи
Тела в механике делят на свободные и несвободные. Если тело может иметь любое перемещение в пространстве, то такое тело называют свободным. При наличии каких-либо ограничений на перемещение точек тела тело называется несвободным, а эти ограничения называют связями. Сила, с которой тело, осуществляющее связь, действует на данное тело, называют реакцией связи.
Аксиома реакции связи
Направление реакции связи всегда противоположно тому направлению, по которому связь препятствует перемещению данного тела, причем сила приложена к этому телу.
9
Основные типы реакции связи
1. Неподвижная поверхность:
N
2. Неподвижная линия:
N
3. Неподвижная точка:
NA NB
A 
B
4. Гибкая нить:
T
5.Цилиндрический шарнир:
RA
YA
XA
10