книги / Специальные главы математики

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Пермский государственный технический университет» Кафедра вычислительной математики и механики

Специальные главы математики

Курс лекций для студентов II курса специальности ИСТ факультета дистанционных образовательных технологий

Издательство Пермского государственного технического университета

2007

Рецензент: канд. техн. наук, доцент кафедры ВММ И.Н. Бояршинова

УДК 517 (075.8)

С71

С71 Специальные главы математики: курс лекций для студентов специальности ИСТ ФДОТ/ сост. Малыгина В.В. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2007. – 58 c.

Курс лекций «Специальные главы математики» включает в себя три раздела: вариационное исчисление, интегральные уравнения и элементы уравнений математической физики. В данном учебном пособии излагаются основные теоретические сведения, приводятся примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения. Для понимания материала достаточно знаний в объеме первого курса (наиболее важны разделы «Дифференциальное и интегральное исчисление» и «Дифференциальные уравнения»).

Программа курса

1.Основы вариационного исчисления.

1.1.Первые задачи вариационного исчисления: задача Дидоны, задача о брахистохроне, задача о геодезических линиях на поверхности.

1.2.Вариационная задача с неподвижными концами. Вариация функционала. Необходимое условие экстремума.

1.3.Уравнение Эйлера.

1.4.Частные случаи уравнения Эйлера.

1.5.Функционалы, зависящие от высших производных. Уравнение Эйлера – Пуассона.

1.6.Функционалы, зависящие от нескольких функций. Система уравнений Эйлера.

1.7.Вариационные задачи на плоскости и в пространстве.

1.8.Вариационные задачи с подвижными границами. Задача навигации.

1.9.Изопериметрическая задача.

2.Интегральные уравнения.

2.1.Уравнения Фредгольма и Вольтерра.

2.2.Некоторые задачи, приводящие к интегральным уравнениям.

2.3.Решение уравнений Фредгольма с вырожденным ядром: случаи регулярных и характеристических чисел.

2.4.Решение уравнений Вольтерра: метод последовательных приближений, сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям, метод преобразований Лапласа.

3.Уравнения математической физики.

3.1.Классификация уравнений математической физики: уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов.

3.2.Решение волнового уравнения на оси и полуоси по формуле Д' Аламбера.

3.3.Метод Фурье в задаче теплопроводности для конечного стержня.

3.4.Решение задачи Дирихле для плоской прямоугольной пластинки.

Основы вариационного исчисления

Лекция 1. Понятие о вариационном исчислении

Как известно из курса дифференциального исчисления, вопрос отыскания экстремумов гладкой функции сводится к исследованию нулей ее производной; более того, введению самого понятия производной как раз и способствовали попытки решения задач на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции.

Аппарат дифференцирования оказался простым, универсальным и эффективным методом, с помощью которого удается решать практически любые задачи на экстремум, если интересующая нас ве-

личина может быть задана как функция, то есть представляет собой отображение числового множества в числовое множество. А если область определения или множество значений – не числа? Получается, что тогда у нас нет ни функции, ни ее производной, ни, стало быть, метода решения задач на экстремум... С другой стороны, для объектов, не являющихся функциями, задачи на экстремум ничуть не утрачивают своей актуальности, и необходимо как-то научиться их решать.

Метод решения задач на экстремум для отображений более общей природы, чем функции, и составляет суть классического вариационного исчисления, основы которого были заложены в XVIII веке в работах двух выдающихся математиков того времени – Леонарда Эйлера и Жозефа Луи Лагранжа.

Рассмотрим вслед за Эйлером и Лагранжем задачу о нахождении наибольшего и наименьшего значения функционалов – отображений, областью определения которых являются произвольные пространства, а множеством значений – числа (вещественные или комплексные). Легко привести примеры функционалов. Возьмем в качестве области определения плоскость или трехмерное пространство – получим функционал, который мы называли раньше функцией двух или трех переменных. Пусть область определения – множество непрерывных на отрезке функций. Поставим в соответствие каждой функции число – значение определенного интеграла от функции по данному отрезку – снова получим функционал, на этот раз интегрального вида.

Для функционалов удалось построить столь же простой и красивый метод решения задач на отыскание экстремумов, как и для функций. Это оказалось возможным как раз потому, что для функцио-

налов нашелся аналог дифференциала. Им оказалось введенное в ра-

ботах Лагранжа понятие вариации функционала, которое явилось основой нового раздела математики (и дало ему название).

Оказалось, что замена дифференцирования варьированием сохраняет практически без изменений теоремы классического анализа, на которых базируется решение задач на экстремум: в точке экстре-

мума первая вариация необходимо равна нулю, а характер критиче-

ской точки (максимум, минимум, отсутствие экстремума) определяет-

ся свойствами второй вариации.

Основываясь на этих результатах, можно, выстраивая подходящие функционалы, получать решения многих задач, связанных с нахождением экстремумов.

Задача о брахистохроне или как льва узнают по когтям

всего попадет в точку В. Такую кривую назвали брахистохроной (от греческих слов «брахистос» – кратчайший и «хронос» – время).

История задачи о брахистохроне начинается с 1696 года. Ее формулировка и первое решение принадлежит Иоганну Бернулли. Им же задача была предложена Лейбницу, который посоветовал Бернулли опубликовать «столь прекрасную и до сих пор неслыханную задачу» для состязания между геометрами, предоставив годичный срок для решения. По истечении срока оказалось, что только трое математиков сумели найти решение задачи о брахистохроне: Лопиталь, Якоб Бернулли и ... некий таинственный автор, опубликовавший решение без подписи в одном английском журнале. Но Иоганн Бернулли сразу угадал анонима: лишь один человек в Англии мог решить задачу с таким блеском – сэр Исаак Ньютон. Как писал сам Бернулли, он узнал Ньютона, как льва узнают по когтям.

Интересно, что термин «брахистохрона» оказался нужен только для постановки задачи. После ее решения выяснилось, что брахистохрона – это давно известная математикам и механикам циклоида.

Изопериметрическая задача или легенда о Дидоне

Дидона, дочь трирского царя, бежавшая от отца, после многих приключений прибыла на берег Африки. Жившие там туземцы согласились продать ей участок земли на берегу моря, но «не больше, чем можно окружить воловьей шкурой». Однако предприимчивая Дидона разрезала воловью шкуру на очень узкие полоски, из которых связала очень длинную веревку. А затем Дидона столкнулась с геометриче-

ской задачей: как следует положить веревку, чтобы она, вместе с морским берегом, ограничила участок земли наибольшей площади?

Легенда утверждает, что Дидона успешно решила эту задачу и на отведенном ей участке основала город Карфаген.

Задача о геодезических линиях

После того как вывели формулу для вычисления длины пространственной кривой, возникла задача: найти кратчайшую среди всех кривых, лежащих на заданной поверхности и соединяющих две точки А и В этой поверхности. Например, на плоскости такой линией будет отрезок АВ, на сфере – дуга окружности большого круга, проходящая через точки А и В. Для поверхностей же более сложных решение задачи не было известно. А такие кратчайшие линии были нужны картографам и геодезистам, не зря их сейчас называют геодезическими линиями на поверхности. Интересный результат о геодезических линиях на поверхностях вращения получил французский ученый Алексис Клеро. Он доказал, что вдоль таких геодезических произведение расстояния от оси вращения на косинус угла между геодезической и параллелью остается постоянным.

Лекция 2. Уравнение Эйлера

Рассмотрим функционал вида

a

где функции x предполагаются непрерывно дифференцируемыми на интервале (a,b) . Функцию F t,x,x& будем предполагать непрерывно

дифференцируемой по всем своим аргументам столько раз, сколько потребуют содержащие ее уравнения.

Поставим задачу: найти в указанном классе функций такую, на которой функционал f (x) принимал бы наибольшее

(наименьшее) из всех возможных значений.

В такой постановке задача не вполне корректна, поскольку мы не определили, что понимать под наибольшим (или наименьшим) значением функционала.

Определение. Пусть функционал f (x) задан на функциональном множестве Х и принимает значения во множестве вещественных

Точки максимума и минимума объединяют общим названием – экстремали. Понятно, что в точке максимума функционал принимает наибольшее, а в точке минимума – наименьшее из возможных значений.

Следовательно, решение задачи о наименьшем (наибольшем) значении функционала – это поиск экстремалей.

Введем основное для всего курса понятие – вариацию функцио-

есть вариация превращается в дифференциал функции в точке.

Докажем следующую теорему, которая является аналогом (и по содержанию, и по форме) необходимого условия экстремума для функций.

Уравнение (1.2) есть обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение содержит две произвольные постоянные; значит, решив уравнение, мы найдем семейство экстремалей, зависящее от двух параметров. Чтобы определить экстремаль однозначно, требуется задать некоторые дополнительные условия. В классической постановке это – условия закрепленных границ:

Добавляя к уравнению Эйлера условия (1.3), получаем для нахождения экстремалей обычную краевую задачу. В случае интегрируемости уравнения Эйлера в квадратурах, решение этой задачи может быть получено аналитическими методами; в прочих случаях используют приближенные и численные методы решения.

Пример 1. Найти экстремали следующего функционала

постоянными коэффициентами, решение которого легко записывается

Лекция 3. Частные случаи уравнения Эйлера

Уравнение (1.2) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка (вообще говоря, нелинейное), для которого нет универсального алгоритма построения решения в квадратурах. Но, как известно из курса обыкновенных дифференциальных уравнений, существуют целые классы дифференциальных уравнений, обладающих рядом специальных свойств: например, уравнение может допускать понижение порядка; может не содержать явно некоторых переменных; оказаться линейным или автономным и т.п. Эти свойства могут существенно упростить решение вариационной задачи, поэтому целесообразно находить, учитывать и классифицировать эти специальные случаи. Особенно полезна классификация, дающая возможность «пред-

сказать» свойства уравнения Эйлера по виду функции F t, x, x& .

1. F F t, x . Уравнение Эйлера имеет вид Fx t, x 0 , т.е. является функциональным, а не дифференциальным.

2. F t, x, x& M t, x N t, x x&, т.е. подынтегральная функция является линейной относительно производной. Уравнение Эйлера снова

Функции, удовлетворяющие функциональным уравнениям, не образуют параметрического семейства и не обязаны удовлетворять граничным условиям.

Пример 2. Найти экстремали следующего функционала

ную кривую, которая может быть экстремалью: x t2 . Но вариационная задача содержит еще граничные условия, которые для найденной