книги / Специальные главы математики

Решение. Подынтегральная функция относится ко второму ти-

выполняется тождественно, то, как известно из курса интегрального исчисления, это означает, что подынтегральная функция являет собой

полный дифференциал.

В данном случае его легко восстановить: x xt& d xt ; следовательно,

т.е. значение функционала остается неизменным при любой дифференцируемой на a,b функции. Значит, все эти функции (их бесконечное множество) являются решениями данной вариационной задачи.

5. F F x, x& . Уравнение Эйлера снова допускает понижение порядка и принимает вид:

F x, x& xF& x& x, x& C .

Лекция 4. Обобщения уравнения Эйлера

Пользуясь теми же методами, несложно получать аналоги уравнений Эйлера для функционалов более общего вида. Остановимся на двух из них.

Функционал зависит от производных до n-го порядка

Для функционалов вида

b

f x F (t, x, x&&, x,K , x n ) dt

a

экстремали являются решениями уравнения Эйлера–Пуассона:

Понятно, что для однозначного выбора экстремали требуется дополнительно задать условия на границах:

Соответственно, граничные условия принимают вид:

x(a) A0 , x&(a) A1, x(b) B0 , x&(b) B1.

Пример 5. Найти экстремали следующего функционала

Решение. Система уравнений Эйлера–Пуассона имеет вид:

Выражая из второго уравнения x через &y и подставляя его в первое

уравнение, получаем уравнение относительно x : x(4) x 0 . Решая это уравнение, получаем семейство экстремалей x(t) , из которого

двукратным дифференцированием находим семейство экстремалей y(t) . Окончательно имеем:

Вариационные задачи на плоскости и в пространстве

Функционалы, рассмотренные выше, имели областью определения множества функций одной переменной. Соответственно, уравнение Эйлера, к которому сводилась вариационная задача, представляло собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.

Предположим, что вариационная задача должна быть поставлена и решена для функции нескольких (ради определенности – двух)

независимых переменных: x x t,s . Тогда, если мы продолжим изучение функционалов интегрального вида, то вместо функции F t,x,x&

следует рассматривать функцию F t ,s,x, xt , xs , а вместо однократ-

ного интеграла появится двойной, взятый по некоторой плоской области G Ў2 .

Уточним условия на функцию x . Помимо непрерывности в области G вместе со своими частными производными, она должна удовлетворять граничным условиям. Остановимся на этом подробнее. В лекции 2 для однозначного определения экстремали задавались зна-

чения x a и x b , т.е. значения функции x на границах отрезка a,b . Для функции двух переменных, продолжая аналогию, естест-

венно задать условия на границе области G . Обозначим эту границу G и потребуем, чтобы

Полученное уравнение представляет собой уравнение в частных производных второго порядка. Если функция x зависит только от одной переменной, то оно превращается в уравнение Эйлера.

Пример 6. Найти экстремаль функционала

уравнение эллиптического типа. Область, на которой ищется решение, есть внутренность круга (ограниченное множество), граница его – окружность, вдоль которой функция x обращается в нуль. Следовательно, искомая экстремаль является решением задачи Дирихле для внутренности круга. Для круговых областей естественно переформулиро-

нородному (с ненулевыми граничными условиями):

Как известно из курса уравнений математической физики, решение задачи (1.7) имеет представление в виде ряда:

Учитывая граничные условия, получаем

откуда, по формуле для коэффициентов ряда Фурье (или по теореме Стеклова), получаем:

держательной. Функционал в этом случае начинает зависеть, вообще говоря, от трех переменных: функции x и параметров , x( ) .

Пусть x0 – экстремаль, ( 0 , x0 ( 0 )) – вторая граничная точка, на которой реализуется экстремум функционала (1.8). Тогда, в силу

Если на какой-нибудь кривой x0 (t) достигается экстремум в

задаче с подвижными границами, то экстремум заведомо достигается на более узком классе кривых, имеющих общие граничные точки с кривой x0 (t) .

Следовательно, должно быть выполнено основное необходимое для достижения экстремума в задаче с неподвижными границами условие – функция x0 (t) должна быть решением уравнения Эйлера.

Значит, на функции x0 (t) уравнение

d

Fx dt Fx& 0

обращается в тождество. А тогда в формуле для вариации функционала (1.8) первое интегральное слагаемое обращается в нуль и вариация приобретает вид

Для дальнейшего анализа полученной формулы целесообразно рассмотреть разные виды множеств, которым может принадлежать подвижная граничная точка.

1. Пусть ( , x( )) D , где D – некоторое плоское множество, со-

независимы, и для равенства нулю вариации необходимо и

2.Свободная граничная точка перемещается по вертикальной прямой. Тогда 0 , и вариация равна нулю, если (и только

если) Fx&t 0 0 .

3.Свободная граничная точка перемещается по горизонтальной прямой. Тогда x( ) 0 , и необходимое условие экстремума

4.Граничная точка ( , x( )) перемещается по некоторой кривой

x( ) . Тогда равенство (1.9) принимает вид

F & x& Fx& t 0 0 .

Полученное равенство называется условием трансверсальности.

Замечание. Условию трансверсальности часто удается придать простой геометрический смысл: например, для функционалов вида

Отсюда следует, что условие трансверсальности эквивалентно требованию

1 x&&t 0 0 ,