книги / Надёжность технических систем и техногенный риск. Структурно-энергетическая теория отказов

В этом параграфе рассмотрим возможность построения математической модели восстановления свойств материалов элементов от последствий энергетического воздействия, которая не просто явилась бы уравнением, удовлетворительно описывающим экспериментальные данные, а позволила бы представить себе реальные процессы, параметры которых имеют четкий физический смысл. Предварительно уточним ряд понятий, которые используются в данном параграфе.

Под термином «восстановление» будем понимать гипотетические процессы, способствующие уменьшению эффективности энергетического воздействия с течением времени или в определенных условиях эксплуатации. Это равносильно тому, что количество поглощаемой энергии в объеме материала уменьшается, следовательно, вероятность отказа элемента снижается.

Повреждение материала элемента – это отклонение его контролируемых свойств от начальных.

Из этих определений следует, что в аспекте настоящей работы безразлично, что физически представляют собой эти повреждения, а также какова природа эффекта восстановления. Для построения модели восстановления существенно лишь то, что процессы восстановления материалов от последствий энергетического воздействия, так же как и процессы повреждения материалов, могут совершаться по различным статистическим закономерностям. Различия эти должны сказаться как на изменении характера распределения числа повреждений по различным элементам испытуемой совокупности, так и на кинетике процесса восстановления.

Поскольку не всякие повреждения и даже группа повреждений должны приводить к возникновению отказов элементов, то последствия энергетического воздействия можно свести к трем типам повреждений:

1) обратимые повреждения, возникающие вместе с энергетическим воздействием и исчезающие вместе с ним (рис. 6.19, а); наиболее характерный пример таких повреждений – упругая деформация узлов и деталей машин;

141

а

б

в

Рис. 6.19. Виды изменений свойств материалов при энергетическом воздействии: 1 – импульс энергии; 2 – изменение свойств материалов

142

2)обратимые повреждения, возникающие вместе с энергетическим воздействием, но исчезающие лишь некоторое время спустя после его прекращения (рис. 6.19, б); пример – повреждения, возникающие при нагреве тела и исчезающие при остывании тела до начальной температуры;

3)необратимые повреждения, возникающие при некоторой величине энергетического воздействия и не исчезающие после его прекращения (рис. 6.19, в); наиболее характерными необратимыми повреждениями являются остаточная деформация, износ, старение

ит.д.

Очевидно, что восстановление свойств материалов от последствий энергетического воздействия возможно лишь от обратимых повреждений, причем скорость восстановления в сильной степени должна зависеть от соотношения числа обратимых и необратимых повреждений, накопившихся в материале элемента к определенному моменту времени. Поэтому количественное описание процессов восстановления должно базироваться на изучении закономерностей возникновения обратимых и необратимых повреждений.

6.5.1.Модель восстановления без учета необратимых повреждений

Допустим, что отказ элемента описывается моделью, в которой одному событию поглощения активной квазичастицы соответствует одно элементарное повреждение. Тогда элементарным актом восстановления будет ликвидация последствия отдельного события поглощения активной квазичастицы – элементарного повреждения. Если вероятность восстановления данного элементарного повреждения в единицу времени постоянна и равна µ, а элементарные акты восстановления являются независимыми событиями, то задача построения модели восстановления заключается в том, чтобы построить случайный процесс, соответствующий данному типу восстановления, и определить вероятности его состояний, а также среднее число повреждений в чувствительных микрообъемах материала объекта как функции времени восстановления.

Поскольку число элементарных повреждений в материале элемента является конечным, то в качестве множества состояний слу-

143

чайного процесса можно взять счетную совокупность S0, S1, …, Si, Si + 1 и полагать, что случайный процесс в момент времени t реализует состояние Si, если в этот момент в дефектной структуре материала элемента имеется i элементарных повреждений. Процесс рассматривается непрерывным во времени. Очевидно, что в силу сделанных предположений относительно характера восстановления вероятности перехода Pij из состояния Si в состояние Sj за время ∆t будут зависеть лишь от номеров состояний и величины ∆t. Поэтому рассматриваемый случайный процесс есть марковская цепь с непрерывным временем.

В некоторое состояние Si данного марковского процесса за промежуток времени ∆t с вероятностями порядка малости не выше, чем ∆t, можно попасть лишь двумя следующими способами:

1)перейти из состояния Si + 1 с вероятностью (i + 1)µ ∆t + 0(∆t);

2)остаться в состоянии Si с вероятностью 1– iµ ∆t + 0(∆t).

Граф этого марковского процесса, где вероятности перехода за время ∆t даны с точностью до 0(∆t), представлен на рис. 6.20.

Рис. 6.20. Описание поведения процесса n(t) за малое время ∆t без учета необратимого компонента повреждения

Обозначим через Pi(t) вероятность состояния Si в момент времени t(i = 0, 1, 2, ...). Начальным распределением вероятностей состояний является пуассоновское распределение числа повреждений при энергетическом воздействии Е:

Построим систему дифференциальных уравнений, которые удовлетворяют функции Pi(t). Из сформулированных выше пунктов 1 и 2 следуют соотношения

144

Pi(t + ∆t) = (1 – iµ ∆t)Pi(t) + (i + 1)µ ∆t Pi+1(t) + 0(∆t);

i = 0, 1, 2, …,

из которых делением обеих частей на величину ∆t и предельным переходом при ∆t = 0 получается система дифференциальных уравнений

В теории марковских цепей полученная система (6.26) описывает случайный процесс гибели (размножения).

Уравнения этого процесса обычно решаются исходя из предположения о том, что процесс начинается из некоторого состояния Si0 (i0 ≥ 1, случай i0 = 0 тривиален), т.е. при начальных условиях

0 ≤ i ≤ i0.

Учитывая, что процессу восстановления предшествует энергетическое воздействие, в результате которого реализуется пуассоновское распределение числа повреждений в чувствительных микрообъемах материала, то число i0 имеет пуассоновское распределение. Следовательно, решением системы (6.26), удовлетворяющим начальному распределению вероятностей состояний (6.25), будут функции

∞

Pi (t) = ∑ Pi (t;i0 ) Pi0 (0).

i0 =i

145

С учетом формул (6.25) и (6.28) получаем

Это означает, что начальное распределение элементарных повреждений, возникших в чувствительных микрообъемах материала элемента в результате энергетического воздействия Е, деформируется за время восстановления t в пуассоновское распределение с параметром, задаваемым выражением (6.29). Следовательно, в данном случае модель отказов элементов должна быть такой же, как и в результате поглощения энергии, величина которой

экспоненциально уменьшается с течением времени восстановления t. Назовем эту энергию эффективной поглощенной энергией, подчеркивая тем самым, что отказ элемента определяется значением именно этой величины энергии, поглощенной материалом элемента к моменту времени t. Поэтому можно утверждать, что восстановление происходит по типу уменьшения эффективной поглощенной энергии (ТУЭПЭ) в материале элемента в соответствии с уравнением (6.30). На практике такой тип восстановления соответствует случаю обратимой деформации, например упругой деформации твердых тел, когда исходные свойства тел восстанавливаются после снятия приложенных внешних сил. При этом соблюдается закон Гука

σ = Eε,

где σ – напряжение;

E – модуль упругости;

ε– относительная деформация.

146

Поскольку относительная деформация после снятия нагрузки уменьшается и стремится к нулю, то закон Гука характеризует уменьшение напряжения в твердом теле после снятия нагрузки так же, как и уравнение (6.30).

Заметим, что при t → ∞ Eэф(t) → 0, что означает полную ликвидацию последствий энергетического воздействия в результате бесконечно долгого восстановления. Кроме того,

Это значит, что при бесконечно долгом времени восстановления процесс восстановления стремится к состоянию S0, т.е. к состоянию, при котором материал объекта полностью восстанавливается от повреждений. Однако опыт эксплуатации элементов указывает на то, что дело обстоит далеко не так. При определенных значениях энергетического воздействия, и даже в условиях длительного хранения, наблюдаются необратимые изменения свойств элементов.

6.5.2. Модели восстановления, учитывающие необратимые повреждения

В рамках рассмотренной модели восстановления наличие необратимых повреждений можно трактовать следующим образом. Существует некоторое критическое число n, такое, что если за время энергетического воздействия возникает (n + 1) или более элементарных повреждений, то материал объекта утрачивает способность к восстановлению, и с течением времени число первичных повреждений остается неизменным, а именно таким, каким оно стало в результате энергетического воздействия Е. Если же при энергетическом воздействии Е в чувствительных микрообъемах материала возникло более чем n элементарных повреждений, то происходит процесс восстановления по типу уменьшения эффективной поглощенной энергии. Граф марковской цепи, соответствующий такому

147

n

Pm (t) = ∑ Pm (t;i0 ) Pi0 (0).

i0 =m

Отсюда с использованием формулы (6.28) для вероятностей состояний с номерами, не превосходящими n, получается выражение

то можно сказать, что от пуассоновского распределения с параметром αE0exp(–µt) оно отличается множителем, зависящим как от времени восстановления, так и от номера состояния. Поэтому, строго говоря, нельзя утверждать, что в данном случае восстановление происходит по типу уменьшения эффективной поглощенной энергии. Если же оставить термин «эффективная поглощенная энергия» лишь для среднего числа повреждений, имеющихся в чувствительных микрообъемах материала в момент времени t, то для эффективной поглощенной энергии как математического ожидания числа повреждений получаем следующее выражение: