книги из ГПНТБ / Кириллов В.И. Предельные теоремы и соотношения теории вероятностей, используемые в задачах о боевой эффективности лекция

ВСЕННО-ВОЗДУШНАЯ КРАСНОЗНАМЕННАЯ ОРДЕНА КУТУЗОВА

_________ АУА7ТВМИЯ имени Ю.А.ГАГАРИНА____________

Доцент доктор военных наук генерал-майор авиации В.И.КИРИЛЛОВ

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕСРЕМЫ И СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЗАДАЧАХ

О БШВСЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ

Лекция

МОНИНО - 1968

- 2 -

В лекции изложены содержание и практическое применение пре­ дельных теорем Ляпунова и Лапласа, лироко применявшихся в зада­ чах о боевой эффективности, а также дана характеристика распре­ деления Пуассона.

Излагаемый теоретический материал иллюстрируется решением практических хзадач.

Лекция предназначается для самостоятельной работы слушателей Военно-воздуиной академии.

-3 -

ВВ Е Д Е Н И Е

Втеории вероятностей и вествн ряд теорем н соотношений, которые ■менуют предельными, т .е . имеющими место, справедливыми ври некото­ рых предельных условиях, например при достаточно большом числе опы­ тов или при некоторых ограничительных условиях, накладываемых на рассматриваемые случайные величины.

Эти предельные теоремы и соотноиения имеют больное теоретическое

ипрактическое значение. Так, например, теппр.мя 4 .М.Ляпунова устанав­

ливает, при каких условиях и какие случайные величины подчиняются так называеноиу нормальному распределении- которое широко распространено на практике. Теоретическое обоснование нормального распределения поз­ волило не только понять физическую сущность нормального распределе­ ния, но и научно предположить, где, когда, при каких условиях и какие случайные величины должны подчиняться нормальному распределению.

А это позволяло, в свою очередь, дать более иирокое теоретическое обоснование различный положениям н методам теории вероятностей и , что особенно важно, существенно расширить круг эадач, решаемых методами теории вероятностей. В связи с этим теорему А.М.Ляпунова часто на­ зывают центральной теоремой теории вероятностей, подчеркивая этим факт особо важного ее значения в теории вероятностей и ее применениях для решения практических задач.

Теорема Лапласа, характеристику основных положений которой мы бу­ дем давать, является частным случаем более общей теоремы А.М.Липуиоюм. Однако те специфические, частные условия, для которых она справедлива, часто имеют место в задачах по сценке боевой эффективности, поэтому она инеет и самостоятельное практическое значение.

В последние года в связи с быстрым развитием и широким практиче­ ским использованием количественных методов оценки боевой эффективности большое применение получило распределение Пуассона - распределение не­ которых случайных величин прерывного типа, имеющее место при определен­ ных ограничительных условиях. Распределение Пуассона используется, например, в таких математических методах, как теория массового обслу-

- 4 -

гнвания, теория надежности технических средств, теория поиска объек­ тов и т .д . Этой; распределению также будет дана характеристика, а в последующей показано, как оно используется в различных методах и задачах по оценке боевой эффективности.

Поскольку в изучаемой курсе основный является применение соответ­ ствующих теоретических положений для практического реиения задач, доказательства теорем Ляпунова и Лапласа, а также распределения Пуассона не приводятся.

- 5 -

величин распределение случайной величины

п

Z = Y Z X . i i

будет сколь угодно близко к нормальному распределению.параметры, ко­

торого:

- центр рассеивания

п

- среднее квадратическое отклонение

Теорема справедлива для условий, при которых параметры распреде­ ления каждой из суммируемых случайных величин не преобладают над параметрами распределения других суммируемых случайных величин, т.(

- 6

когда все суммируемые случайные величины примерно одинаково влияют на окончательный результат. Подобные условия на практике обычно выполняются.

2 . Практическое применение теоремы в задачах о боевой эффективности

теоремы при решении задач по оценке боевой эффективности, поэтому характеризуем это особо.

Если случайная величина Z будет являться суммой нескольких случайных величин прерывного типа:

п

то она сама будет случайной величиной прерывного типа.

При большом числе П суммируемых случайных величин случайную величину Я можно считать подчиненной нормальному распределению и при решении задач принимать ее за случайную величину непрерывного типа.

При оценке боевой эффективности часто возникает необходимость определения вероятностей различного числа появления события в гг опытах (например, различного числа попаданий в цель при п вы­ стрелах).

В курсе теории вероятностей было показано, что точное значение вероятностей в этом случае может быть вычислено с использованием метода производящих функции, однако это решение будет очень громозд­ ким и потребует выполнения сод-ашх по объему вычислений.

Покажем, как, используя положения теоремы Ляпунова, можно упро­ стить решение этой задачи и получить приближенное значение интере­ сующей нас вероятности.

Пусть производится П опытов, в каждом из которых интересующее нас событие может появиться различное число раз.

Тогда общее число 'оя г лопия события в П. опытах может быть пред­ ставлено так:

На рис.1 представлена геометрическая интерпретация формулированных положений. Число появления интересующего нас события в опытах как случайная величина прерывного типа будет характеризоваться много­ угольником распределения. При большом числе опытов ломаная линия этого многоугольника распределения будет близка к плавной кривой нормального распределения с указанными выше параметрами. Этой кри­ вой можно заменить ломаную линию многоугольника распределения.

В связи с этим появляется возможность упрощения решения некоторых задач по вычислению вероятностей.

Покажем это.

Поскольку ломаная линия многоугольника распределения характери­ зует распределение вероятностей различных значений числа появления события и она заменяется кривой нормального распределения, то веро­

где

п

( 6)

- 9 -

Изложенное поясняется рис.2 .

Рис. 2. Тачное и приближенное значение ВероятностиР„ того, что событие пояВится т раз В п опытах

ной величиной непрерывного типа, подчиненной нормальному распреде­ лению, то искомая вероятность определится по известному из курса теории вероятностей соотношению с помощью таблицы приведенной функ­

ции Лапласа: