Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кириллов В.И. Предельные теоремы и соотношения теории вероятностей, используемые в задачах о боевой эффективности лекция

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

2.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

- 10 -

р ( т« - т * ”

где ат к	Ет определяются соотношениями (				6 ) и ( ? ) .
в)	Определение вероятности того, что				событие
	появится не	иенее М раз	в	п	опятах
Подобного рода задача является наиболее типичной, например,
при оценке	эффективности	применения	вредств		поражения.
Вероятность того, что		событие появится		не	менее М раз в п

опытах будет равна вероятности того, что число появления события

будет	не менее М и не более М тах	раз ( М т а х - максимально
возможное число появления события в л		опытах):
	Рм =Р (т * М ) = р ( М ± т * М т ах) .
На	основании формулы (8) эта вероятность определится следующим
образом:

Практически допустимо при	вычислении вероятности считать, что
. Подобное допущение не вносит заметных погрешностей в
вычисляемую вероятность.
Имея в виду, что ф ( ° о )	= I , окончательно получим:

О )

- II -

где От и Ет по-прежнему будут определяться соотношениями {6)

и (7 ).

Решим теперь несколько примеров.

Пример I . По цели в постоянных условиях выпускается 10 серий снарядов. В каждой серии выпускается 3 снаряда. Ряд распределения числа попаданий снарядов каждой серин следующий:

Возможное число	0	I	2	3
попаданий	0	I	2	3
попаданий
Вероятности этих	0,1	0,3	0,4	0,2
чисел попадании

Определить вероятность того, что из 10 серий в цель попадет' число снарядов, не меньшее 6 , но не большее 20.

Решение. На основании теоремы Ляпунова общее число попаданий т будет подчинено нормальному распределению. Определим параметры

этого распределения.

На основании указанного ряда распределения числа попаданий сна рядов из серии параметры распределения числа попаданий для каждой

серии снарядов определяйся			так:
-	математическое ожидание числа попаданий
	-00,1 + 10,3 + 2* 0,4 + 3» 0,2			= 1,7 попаданий;
-	среднее	квадратическое	отклонение
(5 ^ .= у ^ (0 -1 ,7 )2 .0 ,1			+ (1 -1 ,7 )2 . 0 , 3 +	(2 -1 ,7)2 . 0 ,4 + (3 -I,? )2.Q2L
	1		= 0 ,9 попаданий.
Поскольку все серии снарядов одинаковы,				параметры распределе
ния	общего числа попаданий определятся следующим образом:
-	математическое ожидание числа попаданий
	f m	= g		попаданий;
-	среднее	квадратическое отклонение числа попаданий

					- 12 -
6 Г	п в —	i r 1	/ ------- --- '		= ’фо <Э =^/Ш 0,9=2,84 попадания.
	=1/ I K S '	=1'id		s '
т	У*=i /77/		'	mi	mi

Хаким образом, параметры распределения случайной величины Общего числа попаданий в цель) будут следующие:

- центр рассеивания

а= F = 1 7 попаданий;

ту т

-вероятное отклонение

=0,675 O ' = 0,675 »2,В4 = 1,92 попадания.

ТП /71

Определим теперь вероятность того, что число попаданий в цель будет не менее =6, но не более тр - 20.

Имея в виду обдую формулу определения вероятности

вданном случае получим:

\1 [ л / 20-J7

Используя таблицы приведенной функции Лапласа, окончательно будем иметь;

р ( 6^/ГС ^ 20) = ? / 0 , 707 + 1,000 ] = 0 ,8 5 ,

Примечание. При точном решении задачи методом производящих функций требовалось бы суммировать коэффициенты при степенях от б до 20 в разложении вида:

f ( x ) = ( q i +0,3 X + 0,4 £ S+0,2 £ 3) ■

- 13 -

Громоздкость и слоаность решения этой задачи очевидны, поэтому подобный путь решения практически непригоден.

Пример 2 .	Условия	те же,	что	и в	предыдущем примере.	Определить
вероятность	того, что	в ’ цель	попадет		не менее 12 снарядов.
Решение.	На основании формулы			(9)	искомая вероятность

В данном случае,	имея в виду, что М	=12 попаданий, а т -	17 по
паданий и Еп =1,92	попадания (см.решение	предыдущего примера),	по
лучим:

Пример 3. Условия те же, что и в примере I .

Определить вероятность того, что в цель попадет I ? снарядов. Решение. Поскольку в данном случае центр рассеивания и вероятное

отклонение соответственно равны - I? попаданий и Е =1,92 по падания, то дифференциальная функция распределения числа попаданий будет иметь вид:

1,92Цг е

Искомая вероятность будет равна значению' этой функции при т = 17. Таким образом,

- 14 -
f i	Л
^	(17-17)
I J I *	f i
f i	f i
Р„*Ч>(17)= 1,92 V T	= 0,14.
Р„*Ч>(17)= 1,92 V T	1,92 f f

Заметим, что для определения этой вероятности методом произво дящих функций потребовалось бы найти коэффициент при X 1' в раз

ложении функции	следующего вида:
У { X ) =	( 0,1 + 0,3 •X + ОД » х 2 + 0,2 -X )10.

Подобное решение задачи в практическом осуществлении выглядит чрезвычайно сложно.

Таковы возможности применения положений теоремы Ляпунова для ре шения некоторых задач при оценке боевой эффективности.

Применяя положения теории вероятностей для решения приведенных выше задач, следует помнить, что определение вероятностей будет при ближенным. При малом числе опытов погрешность в определении вероят ностей может достигать заметной величины. Кроме того, она может быть значительной и в том случае, если исходные ряды распределения резко ассиметричны, т .е . если в них наиболее вероятным является либо самое малое либо самое большое возможное число появления события в данном опыте. Примеры таких ассиметричных рядов распределения приведены на рис.З.

Наиболее вероятны м алы е числа лояВле- , нив события

Наиболее Вероятны большие числа появления события

Рис 3 Ассиметричные ряды распределения

15 -

3 .

Возможные уточнения

при решении практических

задач

Принимая формально число

появления события в

опытах

за случайную величину непрерывного типа, необходимо согласиться с

тем, что

эта

случайная величина может принимать любое значение из

интервала О ^ т ^ п ,

не только

целые

значения. Поэтому

более

строго вероятность

р т

того,

что событие появится

тп

раз,

надо

предЬтавлять

не в

виде

ординаты <р {т )

дифференциальной функции рас

пределения,

как это показано на рис.2, а в виде площади

кривой рас

пределения,

ограниченной слева

ординатой

тп -

0 ,5 , а

справа -

орди

натой m

0,5 (рис.4 ).

Площади таких фигур,

основание каждой

из

которых равно единице, и должны суммироваться при вычислениях вероят ности.

Таким образом, вероятность того, что событие появится не менее m ^ и не более m ^ раз, должна определяться по формуле:

а вероятность того, что событие появится не менее М ' раз,по формуле:

Подобное уточнение основных соотношений для вычисления вероятно стей является естественным и непосредственно вытекает из физической сущности теоремы Ляпунова в ее применениях для решения задач о веро ятностях различных чисел появления события в опытах.

Методика решения практических задач с использованием соотношений

(10) и	( I I ) такая же,		что и с применением	уравнений (8) и (9 ),			по
этому решать отдельные самостоятельные примеры на использование							со
отношений		(10) и ( I I )	не будем. Заметим только, что при			большом	числе
опытов	Л.	решение	задач по формулам (8)	- (9)	и (10)	- ( I I ) дает
практически одинаковые результаты. Разница между					этими	решениями

- 16 -

<р(т)

Рис. 4. Численное значение Иероятности Р т тою\ что событие поябится т раз

	- 17 -
будет заметна при малых значениях п .		Поэтому в последнем			слу
чае рационально использовать соотношения		(10) и ( I I )	как	более
точные.
П.	ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА
I .	Сущность теоремы
На практике часто встречаются такие условия, когда			в	каждом Зли
те может появиться или не появиться интересующее нас			событие,		а
опыты независимы и выполняются в неизменных условиях,			в результате

чего для каждого из них вероятность появления события одна и та же. Для этих условий, как и в теореме Ляпунова, можно число появления

события		в	п опытах при решении задач принимать за случайную вели
чину	непрерывного типа, подчиненную нормальному распределению				с па
раметрами:
-	центр		рассеивания
			а т ~ * Г >		(12)
-	среднее квадратическое			отклонение
			<5'т = ] /	^ ’/	(13)
где	П -		число опытов;
	р	-	вероятность появления события в одном опыте;
i	- р	-	вероятность недаявления события в одном опыте.

Теорема Лапласа является частным случаем более общей теоремы Ляпунова и может быть доказана, опираясь на последнюю. Покажем это. Общее число появления события в П опытах представляет собой

сумму чисел появления его в каждом опыте:

	п
	т — T Z	т,-	,
	i —i	1	'
где	- число появления события в			{ -том опыте.

с- i Ы 71

-18 -

Вкаждой опыте событие может либо появиться, либо не появиться. Следовательно, число появления события в каждом опыте может при

нимать		одно	из	двух значений:	0	(если	оно не появляется)		или
I	(если оно		появляется). Если		вероятность появления события в одном
опыте		равна	р	, а вероятность		его непоявления		равна ^	= i - р ,
то	ряд	распределения числа появления события в одном опыте будет
иметь		вид:
			Возможное число появления				0	I
			события
			Вероятности этих		чисел			Р
			появления события					Р

На основании представленного ряда распределения математическое ожидание числа появления события в одном опыте определится так:

• l i = 0 c l + i Р = Р ;

а среднее квадратическое отклонение следующим образом:

V ; =■]/(o	- p f j +	( i - p	f p = ] / р / + у гр - i p t f r ( р +$)'■
Так как	p + ( ^ = i	, то	окончательно
		Ъ = V n ■

Поскольку все опыты выполняются в неизменных условиях, то зна чения и для каждого из них будут одинаковыми.

Общее число появления события в тг опытах равно сумме чисел появления его в каждом опыте:

лг = T Z т - . i = i

- 19 -

Поэтом; параметры распределения числа т появления события в п опытах определяеея так:

- математическое ожидание (которое б;дет являться центром рас сеивания случайной величины т )

- среднее квадратическое отклонение

= /g	=	.
Поскольку случайная величина т равна сумме		нескольких случай

ных величин, то на основании теоремы Ляпунова при достаточно боль шом числе слагаемых (в данном случае при достаточно большом числе опытов) она будет подчинена нормальному распределению. Зная пара

метры ее	распределения	Ctm и	<Тт , можно, используя известные
соотношения, вычислить вероятности различных значений числа т
появления	события в п	опытах.
	2. Практическое		применение теоремы в задачах
	о боевой эффективности

Характер и методика решения задач с использованием положений теоремы Лапласа аналогичны характеру и методике решения задач с использованием теоремы Ляпунова. Поэтому непосредственно на приме рах покажем возможности практического применения теоремы Лапласа

в задачах о боевой эффективности.				Р =0,4.
Пример 4.	Вероятность попадания	в	цель	Р =0,4.	По цели
раздельно в неизменных условиях выпускается 20 снарядов.
Определить	вероятность того, что число попаданий в цель будет
не менее	=6, но не более	-	13.
‘ Решение.	Полагая, что число опытов (выстрелов)				=20 достаточ
но для того,	чтобы считать, что число		тп	попаданий	в цель под

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ