книги из ГПНТБ / Кириллов В.И. Предельные теоремы и соотношения теории вероятностей, используемые в задачах о боевой эффективности лекция

- 20 -

чинено нормальному распределению, найдем параметры распределения числа попаданий в цель:

- центр рассеивания

Ет = Q675 <Эт = 0,675 • 2,2 = 1,48 попадания.

Искомая вероятность

Используя таблицы приведенной функции Лапласа, окончательно подучим:

р ( б ^ т ± rf) = * — [ 0>977 + 0, 037^ = 0, 807.

Пример 5 .Условия те же, что и в предыдущем примере. Определить вероятность того, что в цель попадет не менее

5 снарядов.

Редение. Поскольку максимальное число попаданий не ограничено,

' j [ i + Ф (г, m )]=j [ t+ о,82 б ]=о ,т .

ние вероятности. Погрешность в определении вероятностей может ока­ заться весьма заметной при малом числе'опытов и в том случае, если вероятность появления события в одном опыте очень мала (близка к нулю) или очень велика (близка к единице).

В последнем случае для получения более точного результата рацио­ нально использовать соотношения (10) и ( I I ) , которые справедливы

и для данного случая, поскольку теорема Лапласа является частным случаем теоремы Ляпунова.

Ш. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

Распределение Пуассона занимает весьма важное место в теории боевой эффективности. Оно, в частности, используется в таких мате­ матических разделах теории боевой эффективности, как теория массо­ вого обслуживания, математические методы характеристики динамики боя, во многих задачах о боевой эффективности.

Предположим, что некоторые однородные события появляются в раз­ личные моменты времени или в различных местах.- Условно эти события представим в виде точек на некоторой оси ох (р и с .5 ). Бели по этой оси откладывать время, то нанесенные точки будут характеризовать моменты появления событий, если откладывать расстояния, то точки будут характеризовать места появления событий и т .д .

О

■х

Рио.5- Появление событии при распределении Пуассона

Точки на оси ох располагаются случайным образом, при этом вы­ полняются следующие условия:

- точки в среднем распределяются по оси с одинаковой плотностью. Это означает, что вероятность попадания т точек в какой-либо от­ резок заданной длины -о зависит только от длины этого отрезка и не зависит от того, где расположен этот отрезок;

-вероятность совмещения двух иди более точек практически ничтож­ на и может быть принята равной нулю;

-точки располагаются независимо одна от другой.

При этих условиях вероятность того, что на отрезке длины появится ровно т точек, будет определяться формулой:

( » )

где Л - средняя плотность распределения точек на оси 01 (среднее число точек, приходящихся на единицу длины оси ОХ ) .

Пример 7. С самолетов, находящихся в полете, поступают по радио донесения на командный пункт. В среднем sa I час поступает 15 до­ несений.

Определить вероятность того, что в течение 4 мин. поступит

Sдонесения (считая, что длительность донесения мала).

Решение. Плотность поступления донесений:

*15

Л= “gQ- = 0,25 донесений.

Математическое ожидание числа донесений sa t = 4 м ин.:

й =Л ■t = 0,25 • .4 = I донесение.

Вероятность того, что за 4 мин. поступит т = 3 донесения :

- 24 -

Для сокращения и облегчения вычислений вероятностей

составлена специальная таблица.

В приложении № I приведен образец такой таблицы. В полном виде она дана в сборнике: "Вспомогательные таблицы для решения задач по оценке боевой эффектииюсти"(изд.ВВД,1967 ) .

Пример 8 . За один час полета самолет-разведчик может просмо­ треть 30 000 км2 площади океана. Средняя плотность судоходства в данном районе составляет одно судно на 10 000 км2 океана.

Пример 9 . По цели выпускается раздельно 10 снарядов. Математиче­ ское ожидание числа попаданий в цель равно 2 снарядам. Жизненно важные объекты занимают 25% площади цели.

Определить вероятность того, что не будет ни одного попадания в жизненно важные объекты, если считать, что в среднем попадания вну­ три площади цели располагаются равномерно.

Решение. Математическое ожидание числа попаданий в жизненно важ­ ные объекты цели'?

а = 2 • 0,25 = 0,5 попаданий.

- 25 -

Вероятность того, что не будет попаданий в жизненно важные объекты цели;

Рт т /' е

Поскольку т =0 , a Q! = { , то искомая вероятность:

2. Определение вероятности того, что событие появится не менее т раа

Во многих практических задачах, в частности в задачах о бое­ вой эффективности .часто возникает необходимость определения ве­ роятности того, что интересующее нас событие появится не менеет раз.

Эта вероятность, как известно, определяется соотношением:

п

так как при условиях, формулированных для распределения Пуассона (см.выше), логически не исключается возможность появления любого числа событий.

m-i

т. е . вначале вычислить вероятность того, что событие появится иенее т раз, а затеи эту вероятность вычесть из единицы.

Пример 10. При разрыве снаряда осколки разлетаются со средней плотностью 5 осколков на I м2 площади, на которой расположена цель. Площадь цели составляет 0,6 и2 .

Вероятность попадания менее двух осколков:

Ро f Р { ■ 0,0498 + 0,1494 = 0,1992.

Вероятность попадания не менее двух осколков I

Рг = I - 0,1992 = 0,8008.

- 27 -

Для облегчения решения аналогичных задач составляется таблица вероятностей того, что событие появится не менее т раз при на­ личии распределения Пуассона. Образец такой таблицы приведен в приложении К? 2 ( в полной виде' таблица дана в сборнике: "Вспомо­ гательные таблицы для решения задач по оценке боевой эффектив­ ности").

Наиболее часто вычисляется вероятность того, что событие по­ явится не менее одного раза. При оценке боевой Эффективности та$сая задача имеет особый интерес.

Решение этой задачи таково:

числяется по такой же формуле при условии, что вероятность появле­ ния события в одном опыте мала.

Действительно, ели вероятность появления события в одном опыте

его иногда называют распределением редких явлений, т .е . таких, ко­

Пуассона:

а- а

Pm тп!

где а = п р .

3 . Параметры распределения случайной величины. подчиненной распределению Пуассона

Математическое ожидание f m числа появления события при на­ личии распределения Пуассона определяется так:

Если вычислить эту сумму, то получим:

/ « - * •

Другой результат невозможно было получить, так как ранее в вы­ ражении

Если вычислить эту сумму, то получим:

Полученный результат весьма интересен. Оказывается, ври нали­ чии распределения Пуассона дисперсия числа появления события рав­ на математическому ожидания числа появления события. Это свойство распределения Пуассона очень важно. Если, например, на основании опытов получится близкое совпадение математического ожидания и дис­ персии, с достаточным основанием можно считать, что случайная ве­ личина подчинена распределению Пуассона, и наоборот, существенное отличие математического ожидания до дисперсии должно заставить усомниться в наличии распределения Пуассона.