книги из ГПНТБ / Егоров Н.И. Физическая океанография

3,0

Рис. 7.17. Безразмерные функции распределения элементов воли в глубоком море.

I — функция обеспеченности высот волн в точке, отнесенных к их

от высоты волн в точке заданной обеспеченности к высоте трехмер­ ных волн той же обеспеченности; 4 — функция обеспеченности перио­ дов, отнесенных к их среднему значению.

16 Заказ N? 115

обеспеченность относительных высот волн, а по оси ординат само

h

отношение — . h

Из (7.33') легко можно получить относительную высоту волн,, выраженную через их обеспеченность

h

h

Переходя от натуральных логарифмов .к десятичным и подстав­ ляя вместо п его численное значение, получим

Для определения обеспеченности абсолютной высоты волны из: конкретной совокупности волн необходимо предварительно вычис­ лить среднее значение высот волн этой совокупности; тогда, опре­ делив по кривой 1 рис. 7.17 или (7.34) безразмерную высоту волны заданной обеспеченности и умножив ее на среднюю высоту данной совокупности волн, получим искомую абсолютную высоту.

Функция распределения высот трехмерных волн. Распределе­ ние высот трехмерных волн, так же как и высот волн в точках, под­ чиняется нормальному закону распределения случайных величин Гаусса. Однако в данном случае необходимо исходить не из двух­ мерного, а трехмерного закона распределения. Вследствие этого аналитическое выражение функции обеспеченности оказывается бо­ лее сложным.

Повторяемость (плотность вероятности) высот трехмерных волн определяется следующим выражением:

242

искомые функции:

/Д/.) = ехр

или

4 - = 1,712 1 - \ g F ( \ ) ,

К

4 - = 1,712 V“ lg Д ( L ) .

1

Для трехмерных воли связь между средней длиной волны и сред­

ней длиной гребня определяется простым соотношением L = 2'K.

Функции распределения периодов волн и скорости их распро­ странения. Функция распределения (обеспеченности) периодов волн определяется по функции распределения длин волн с учетом связи между периодом и длиной волны

На основе известного из теории вероятности правила, гласящего, что если f (х) — функция плотности вероятности случайной величины е, связанной посредством функции х=<р(у) с другой случайной ве­ личиной г], то интегральная функция распределения последней оп­ ределяется формулой

<Р (у)

Для нашего случая g-е

2ic

После замены т* через средний период т на основе соотношения

4

о

244

получаем функцию распределения (обеспеченности) периодов волн в виде

4 1 1

/-'(т) = ехр

где

Г (jc—J—1)= J е 4х dt

о

— гамма-функция.

Величина Г ^ ~ 0,9064. Подставляя ее значение и производя

логарифмирование, найдем

-^=1,36у - l g / 7 ( Т ) ,

или

/7(х)= ехр -0,9064

Учитывая, что скорость распространения волн с пропорцио­ нальна периоду волны, т. е.

с = 1 1

2л

получаем аналогичное выражение для функции распределения ско­ рости распространения волн, представленное на рис. 7.17 кривой 4

^ = l , 3 6 V - l g / 7(cT,

с

или

Из функций распределения элементов волн мелкого моря наиболее исследованы функции распределения высот волн. На рис. 7.18 при­ ведены функции распределения (обеспеченности) высот волн задан­ ной обеспеченности относительно средней высоты волны на мелко­ водье при различных значениях отношения средней высоты волны

h

h к глубине моря Н. Кривая — =0 относится к глубокому морю.

Аналитическое выражение безразмерных функций распределения

1 По последним данным показатель степени при — может быть меньше 4.

245

3,0

Рис. 7.18. Функция обеспеченности высот волн, отнесенных к средней высоте волны на мелководье, при различных значениях отношения средней вы­

соты волны h к глубине места Н.

высот волн в точке, по Б. X. Глуховскому, имеет вид

1—/г*

246

Функции распределения периодов видимых волн в мелком море аналогичны таковым для глубокого моря. Функция распределения длин волн мелкого моря определяется по функции распределения периодов и связи между периодом и длиной волны мелкого моря

После преобразований получаем

периодов (у берега).

247

Приведенные функции распределения элементов воли позволяют по рассчитанному (измеренному) значению элемента волны данной обеспеченности получить значение того же элемента любой обеспе­ ченности и тем самым составить полную картину волнения (его спектр). Установленные зависимости между высотой волн в точке (двухмерной волны) и высотой трехмерных волн позволяют свести задачу расчета (прогноза) волнения к плоской (двухмерной) за­ даче.

§ 38. Основы спектральной теории ветровых волн

Спектральная теория морских волн относительно молода и да­ леко не завершена. В ней сделаны еще только первые шаги, кото­ рые тем не менее уже находят свое приложение к решению таких практических задач, как предсказание морского ветрового волне­ ния, определение воздействия волн на корабль и др.

Спектральная теория изучает процесс ветрового волнения, ис­ пользуя современные достижения теории случайных процессов и, в частности, спектральное представление таких процессов с учетом гидродинамики и энергетики волн. В ней рассматривается реальная взволнованная поверхность как сумма большого числа плоских си­ нусоидальных волн с различными амплитудами, частотами, напра­ влениями распространения и случайными фазами.

Предполагается, что каждая элементарная волна обладает опре­ деленной энергией, приходящейся на единицу поверхности и завися­ щей от частоты (периода) волны. Количество энергии, приходя­ щееся на элементарные волны с частотами от р до p + dp, можно записать в виде е(р)г/р. Энергия волн, как следует из соотношения

где а — амплитуда волны, р — плотность воды.

Подставляя вместо энергии элементарной волны Е ее значение

Функция Л2(р), характеризующая распределение энергии волн по их частотам, называется ч а с т о т н ы м э н е р г е т и ч е с к и м

248

с п е к т р о м волн. Как следует из (7.39), размерность спектра Л2(р) см2-с. После умножения на d\i произведение Л2(р)<7р (7.39) имеет размерность см2, а квадратный корень из него (7.38) дает ам­

от скорости ветра. Относительно небольшие значения энергии волн при скорости ветра 10 м/с охватывают полосу частот 0,083 до 0,3 с-1 (р = 0,3 с-1 не помещены на шкале частот), что соответствует перио­ дам волн от 12 до Зс. Максимум спектральной энергии концентри­ руется около р = 0,124 или т = 8,1 с.

С увеличением скорости ветра увеличивается количество энер­ гии, а диапазон частот с существенным количеством спектральной энергии все больше и больше распространяется на меньшие значе­ ния частот р, что соответствует большим значениям периодов т. При скорости ветра 15 м/с частоты меняются от 0,048 до 0,24 с-1, а пе­ риоды— от 17 до 5 с. Полоса максимума смещается в сторону бо­ лее низких частот. При скорости ветра 15 м/с эта полоса находится около р = 0,0826 или т=12,1 с, а при 20 м/с — около р = 0,0625 или т= 16,0 с.

2491

Частота pmax, на которую приходится наибольшее количество энергии для различных скоростей ветра w, выражается (по Пир­ сону, Нейману, Джеймсу) формулой

W

Определение зависимости энергетического спектра АДр) от ско­ рости (силы) ветра для установившегося волнения является перво­ очередной задачей спектральной теории. На рис. 7.19 эта зависи­ мость представлена графически для трех скоростей ветра. В на­ стоящее время получены (на основе обработки волпограмм) различными исследователями аналитические выражения для энерге­ тического спектра. Из последних работ следует отметить спектр, полученный Пирсоном и Машкевичем (1964) на основе обработки 460 волнограмм полностью развитого волнения для Северной Ат­ лантики. Он имеет вид

4 "

ехр

где а = 8,1-10~3, р = 0,74, w — скорость ветра на горизонте 19,5 м. Для неустановившегося волнения определение спектра является значительно более сложной задачей, так как в этом случае необхо­ димо учитывать не только силу ветра, но и продолжительность его

действия и длину разгона.

Задача определения спектров волн осложняется еще тем, что, как показали исследования, они зависят не только от частоты волн, но и от направления их распространения. Поэтому, строго говоря, спектр является функцией двух переменных: ц и 0, и его следует выражать в виде функции А2(р, 0). Такой спектр называют д в у х ­ м е р н ы м энергетическим спектром.

Если спектр А2(р, 0) представляет непрерывную функцию р и 0, то величина А2(р, 0)dpd0 равна количеству удельной волновой энер­ гии спектральных составляющих с частотами от р до p-f d\x и на­ правлениями от 0 до 0+ d0.

Частотный спектр получается из двухмерного спектра путем ин­

тегрирования по всем углам 0

+7С

Л2(р )= J А2(.х, 0)d0.

Одномерный угловой спектр, определяющий зависимость энергии от направления, определяется из двухмерного спектра ин­ тегрированием по всем частотам

с о

Л2(е)==| Л2(1А; 6)rf0>

о

Функции А2(р, 0), А2(р), А2(0) характеризуют плотность спек­ тральной энергии и, следовательно, служат дифференциальными ха­ рактеристиками энергии волн.

:250