Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Жаботинский А.М. Концентрационные автоколебания

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

70	ГЛАВА Т Р Е Т Ь Я
Из системы. (3.28)	видно, что а должно быть меньше единицы в

силу того, что концентрации не могут быть отрицательными, т. е.

Ai < /с 3.	(3.29)
Автоколебания в системе (3.27) возникают при
Р < 1 — а.	(3.30)

Характер колебаний такой же, как и во всех моделях, производ ных от системы Лотка.

Эдельстейн (Edelstein, 1970) показал,	что учет обратных реак
ций в системе (3.25) может привести к	появлению трехстацио
нарных состояний. В этом случае схема имеет вид:

А X;	X + Y й 2Y,	Y + Е ^	С;С ё Е + В.	(3.31)
к- 1	к-2	к ~ з	а'-4

После исключения методом КСК концентраций фермента его комплекса (с) система уравнений принимает вид

х — k±A — k-iX — k2xy + &_2y2,

й — k m	— k w2 —	^о(</ - KiB)
y - k 2xy	k-2y		y + Km + K l ,
где			k-з +
e0 —' &“E	A"m —		k-з +
e0 —' &“E	A"m —		kz
			kz

k-sk-i K2 = кзк‘ \

(е) и

(3.32)

Система x — у = 0 может иметь три действительных положитель ных решения.

Если в схеме (3.1) линейный автокатализ заменить автокатали зом более высокого порядка, то мы получим систему Селькова

(Sel’kov, 1968):
х — kx — k2xyr,	у — k^y'1— k3y.	(3.33)

Хотя эта система была исследована при произвольном у, следует ограничиться наиболее реальным случаем квадратичного автока

тализа	(у = 2).	Введем		безразмерные	величины
и	k\k2		кз	1/,	а = *!	(3.34)
			k	1/,	Щк«
Тогда	систему (3.33)		можно записать		в виде
й =	1 — uv2,	v	= a	(uv2 — v).		(3.35)

Эта система имеет		единственное положение равновесия п0— v0 =		1,
а абсцисса	v = 0	является устойчивой интегральной	кривой.
Положение	равновесия становится неустойчивым при		а )> 1,	и

МО Д ЕЛ И К О Н Ц Е Н Т Р А Ц И О Н Н Ы Х К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н Ы Х СИСТЕМ

в системе появляется предельный цикл. С ростом а этот предельный цикл увеличивается и при а = 1,234 исчезает, сливаясь с сепарат рисой, которая уходит на бесконечность, приближаясь к v ~ 0.

Схема

А X, B + X -»-Y + D, 2Х -+- Y ЗХ, X

(3.36)

предложенная Лефевром (Lefever, 1968), очень близка к модели

(3.33).

ДИНАМИКА ОДНОСУБСТРАТНЫХ ОДНОФЕРМЕНТНЫХ РЕАКЦИЙ В ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЕ

Блок-схема односубстратной одноферментной реакции была приведена в предыдущей главе (2.66). Здесь мы запишем ее в не сколько ином виде:

(3.37)

Схема (3.37) — простейшая в ферментативной кинетике. Однако, благодаря разнообразию взаимодействий S и Р с молекулой фер мента, эта система обладает достаточно богатым поведением.

Стационарные характеристики ферментативной реакции. Рас смотрим стационарные зависимости v2 от S и Р, считая S и Р внеш ними параметрами. Напишем достаточно общую схему:

S +	Е	SE -> Е + Р,
SE + S ^ S 3E -> SE + Р,
SE +	Р	SPE —> РЕ + Р,		(3.38)
Е +	Р д гР Е , PE + S ^ S P E ,		SPE +	S z* S2PE ->■ SPE + P,
SPE +		P j± S P 2E -> P 2E + P,	PE +	PT=iP2E.

Придавая константам скорости различные значения и принимая часть из них равными нулю, мы получим из системы (3.38) все важные частные случаи: угнетение субстратом, угнетение продук том, активацию продуктом, квадратичную активацию продуктом, квадратичную активацию субстратом, а также всевозможные их комбинации.

1. Угнетение субстратом:

s +	e S s e - ^ e +	p ,	s e + s J± s 2e .	(3.39)
	kieS			(3.40)
V2 ”	Km + S + K iS *	’		(3.40)
V2 ”	Km + S + K iS *	’

где Ki = ks/k-s-

72 ГЛАВА Т Р Е Т Ь Я

2. Активация продуктом:
S +	E ^ S E - > E + P,	SE + Р -п SEp 4 ' e + 2Р,	(3.41)
	к .	к
	eS I k2 -)- ki
V» =	SP	kip	(3.42)
	Km + s + — r - 4	k^ m
	Km	k^ m

где	Km = (fe-3 +			ki)/k3.
3. Квадратичная активация продуктом:
S + E ^ S E - > E + P,						SE + P ^ S E P ,
s e p + p A s e p 2 Л е р 2 + p,							e + p ^ e p ,
			Ь-.				k
			Ь-.
Е Р		+ Р д г Е Р 2,
		*_7
		еS ( к* -4-		kb	\
		еS ( к* -4-		р2 1
„	_		\	к т	/
				kb
		Ктп +	S +	s + 1 7	Я*
		Ктп +	S +	-------г - 5-	Я*
				K .
где		Km =	(k-l -j- ks)/kit			k -Jka ~ k^/k, >> i.
4.	Угнетение продуктом					(конкурентное):
S +		E ц± SE -> E + P,				E +	P Si EP,
			koeS
V®“		KmQ+KiP) + S ’

где Ki = /чз/*-з

(3.43)

(3.44)

(3.45)

(3.46)

Квазистационарные характеристики открытых систем. Рассмот рим различные варианты схемы (3.37).

С х е м а с с у б с т р а т н ы м у г н е т е н и е м и о б р а

т и м о й	р е а к ц и е й		п р и т о к а	с у б с т р а т а (Сельков,
1965):		kz	k-i	ki	fc.
S0	S (*),
		E rn SE -> E 4- P, P -> ,			SE + S ni S2E. (3.47)
к .		k

Альтернативный вариант (*) — побочный сток субстрата S0i,S i* ‘(**)- Запишем систему уравнений по схеме (3.47), обозначив [SE] = х,

	МО Д ЕЛ И К О Н Ц Е Н Т Р А Ц И О Н Н Ы Х		К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н Ы Х СИСТЕМ		73
[S2E] =		у.
S	==	о ■—•л1.\|.S — hоSЕ —Iz^Sx -С /?_Зх		Iz^^y^
х	=/г35 £ — (/е_2 + k3)x — k^Sx +		k^y,
у =		k^Sx — k-.i'y,			(3.48)
Ё =		— knSE 4- (/г_2 + ^з) х,

Р= /г3х — kbP,

х+ У + Е = е.

Применим метод КСК, полагая, что e< ^S . Введем безразмерные величины

с =			К т =	k-2 "Ь Аз		р =	а —	kiSa
с =	Кт ’		К т =			р =	а —	Азе ’
Р =	A-i/Cm	’	х =	knet	Т	Aj	б -=	ЕтпАб
Р =	А3е	’	"	Кт ’	Т	k -i ’	----	Азе
Уравнения для		медленных переменных будут иметь вид
	Р’ " Т + 3 + Т 3				Р =	1 + с + тз*	бр .	(3.49)

_ Первое из уравнений (3.49) не зависит от р и может быть решено отдельно. Стационарные точки этого уравнения определяются из условия а = 0, т. е.

О •Рб 1 з + таг " (3.50)

При определенных значениях параметров уравнение (3.50) имеет три корня. Скорость притока 5 в систему (&iS0) — это наиболее


удобный	для управления		параметр		в (3.47), ему соответствует в
системе	(3.49), (3.50)	безразмерный			параметр	а.	Зависимость
Со — решений уравнения			(3.50)	от а	приведена на рис. 13. Зави
симость а от с для а*		(рис. 13)		показана на рис.		14.	Легко видеть,

что крайние стационарные точки устойчивы, а средняя неустой чива.

С х е м а с к в а д р а т и ч н о й а к т и в а ц и е й п р о д у к т о в :

	k\	S	/;■	/е3	E + P,
S0 ~i S,		S	E 72 SE		E + P,
ft-l			k_2
P +	k,	EP,			(3.51)
P +	E ^	EP,			(3.51)
	k-i
P +	ЕР й EP2,
	k	- 5	kf		kgi
S +		ka	kf		kgi
S +	EP2 ^ SEP2 -> ЕР2 +				P, P-* .

ft-6

7 4

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

Рис. 13. Зависимость стационар ной концентрации субстрата от скорости его притока в системе с субстратным угнетением (3.49)

Рис. 14. К определению устойчи вости стационарных состоянии в системе с субстратным угнете нием (3.49)

Рис. 15 Расположение нуль-изо клин на фазовой плоскости си стемы с квадратичной актива цией продуктом (3.53)

Кривые		I —4 соответствуют	о = О
при	различных значениях		cti:
1 , 4	— режим ждущего генерато
	ра	импульсов (кнпп-реле);

2— автогенератор;

3— триггер

Применение метода КСК при использовании безразмерных величин

II о	00		Р = /С4Л			k—г -р кг		, k—Ц—\|—А?
	6 к				Am	~	кг	г” ~~ кг	’
а =	—	,	r' _ Къ		__ h	К	ki	кг	’
								* ■ =
			р “ К*	’	7 ~ k3 ’		k - i
	« т

дает систему

,г>/ /	klSo
а 3 = а Р т , «1	= - j ^ ,

уравнений относительно

„	k—lKm
U-2 —-	, ?
	кзе

медленных

(3.52)

а„ = ■ кг

4 Клк3е >

переменных:

а = а, — а 2а —	а (1 + азр2)	(3.53)
	1 + а + Р + 3'(1+ а'*3)Р3 ’

Га (1 -4- азр2)

Р - а [ 1 + а + р + 3' (1 + а'в)р* ~ ° 4Р- ‘

Стационарные характеристики системы (3.58) показаны на рис. 15.

МОДЕЛИ КОНЦЕНТРАЦИОННЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

С х е м а с у г н е т е н и е м					с у б с т р а т о м и
д у к т о м (Сельков,			19676;	Самойленко, Сельков, 1972):
ft-i	ks	кз
	ks	кз
S + E j ± S E - > E -1- P ,
	*-2
SE +	h.i	S2E,		fa
SE +	S	S2E,	E + P ^ E P ,
	*-4			&-5
SE +	fa	SEP,	S 2E +	fts
SE +	P	SEP,	S 2E +	P ^ S 2EP,
	k-5	ft?		*-5
	ka	ft?

Е' + Р РЕ' -> Е' + Р' -> .

к.

п р о-

(3.54)

Как и в предыдущих случаях, получаем систему уравнений относи тельно ст и р:

о —— — Otj-J		аз5'9 (1 +			р) ’
	(1 + с +	аз5'9 (1 +			р) ’
р	с		- Рп	Р	'		(3.55)
Р = а [;,(1 +	с + азз-) (1 +	р)		7 +Р
где р — г^-Р,	а = Д / ( т ,		р	he'
где р — г^-Р,	а = Д / ( т ,		р	= ~hT’ г =		k-6
	“3 -				k-s	k-	(3.56)
	“3 -				К т =		(3.56)

Остальные обозначения такие же, как и в системе (3.52).

Для определения числа стационарных точек в системах типа

(3.37)	удобно	графическое		построение зависимости v2 от о и		р.
Покажем это		на примере системы (3.55)1. Графическое построение
v2 (р) с помощью уравнения				Vj = v2 (а = 0) дано на рис. 16, а,		б.
Нахождение особых			точек	с помощью уравнения v2 =	v 3 (р =	0)
показано на рис. 16,			б. Видно, что при у < ^ р легко получить един
ственное стационарное состояние на неустойчивой части					характе
ристики. При		у > > р	такая	ситуация редко имеет место, но зато
можно	легко	получить три		стационарные точки. Хотя	плоскость
(v2, р)	удобна для определения числа особых точек, она неудобна

для анализа поведения системы. Стационарные характеристики системы (3.55) на фазовой плоскости приведены на рис. 17.

Для системы (3.53) построение, аналогичное показанному на рис. 16, дано на рис. 9.

1 v. — безразмерные скорости, соответствующие vL.

76	ГЛАВА ТРЕТЬЯ

Рис. 16. Определение числа стационар ных состояний в системе с угнетением субстратом и продуктом (3.55)

Объяснение в тексте

Рис. 17. Расположение нуль-изоклин па
фазовой плоскости		системы	с угнетением
субстратом и продуктом (3.55)
Кривые 1,	2, 3, 4	соответствуют		р = 0 прн
различных	значениях а: I,		3 —	кипп-реле:
2 — автогенератор;		4 — триггер

Возможна более сложная цепь реакций, в результате которой происходит квадратичный автокатализ,— это схема с реактивацией

(Karfunkel,		Seelig, 1972):
So	S,
S +	E	SE —> E -j- P,			E I	El,		„
P + I ^ P I ,			PI +	P ? ± P 2I.			1	j
В этой системе кроме фермента присутствует ингибитор I и урав
нения сохранения записываются в виде
[SE] +		[El +	[IE] =	в,	[I] +	[IE] +	[Plj + [P2I] = I.

Продукт Р, связываясь с ингибитором, блокирует его, что тожде ственно активации фермента продуктом.

Динамика систем. С и с т е м а	(3.47) — (3.50) при определен
ных параметрах обладает тремя	положениями равновесия, в ней

возможны переключения из одного устойчивого состояния равно весия в другое и гистерезис. Опишем процесс переключения.

Рассмотрим систему при фиксированных значениях всех пара метров, в частности а = а* (рис. 13). Пусть первоначально система находится в состоянии аг. Если в результате внешнего воздействия

МОДЕЛИ КОНЦЕНТРАЦИОННЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

или флуктуации а станет больше о2, то система перейдет в состояние а 3 (рис. 14) и будет находиться в а3 до тех пор, пока новое внешнее воздействие не уменьшит а до уровня ниже сг2. Кинетика перехода описывается первым уравнением (3.49). Гистерезис при медленном изменении параметра а показан на рис. 18.


Рис. 18. Гистерезис в		системе
(3.49) при изменении		скорости
подачи субстрата
а — изменение о0 при увеличении а.:
б — то ж>. при	уменьшении а
С и с т е м а	(3.51) — (3.53). Из рис. 15 видно, что система

может иметь от одного до трех стационарных состояний. Ситуация, когда имеется два стационарных состояния,— негрубая и соот ветствует касанию изоклин о = 0 и р = 0. Наиболее интересны два случая:

1.	Единственное стационарное состояние находится на неустой
чивой ветви изоклин р =			0. В этом случае в системе возникают авто
колебания,		показанные	на рис. 19, а.
- 2.	Три	стационарные точки. В этом случае средняя		из них—
всегда	седло, крайние — устойчивые узлы, или фокусы.			Система

является триггером с двумя устойчивыми состояниями.

Эти два режима вместе с режимом, обладающим единственным устойчивым положением равновесия, занимают большую часть пространства параметров. Кроме того, в малой области этого про-

ба

Рис. 19. Автоколебания о и р в (3.53) (а) и в системе (3.55) (б)

78 ГЛАВА т р е т ь я

странства существуют режимы с тремя стационарными состояниями, в которых или одно неседло, или оба неустойчивы. В этих режимах предельный цикл охватывает либо неустойчивое неседло, либо все

три положения	равновесия.	аналогична предыдущей и имеет
С и с т е м а	(3.54) — (3.56)	аналогична предыдущей и имеет
все те же динамические режимы. Однако S и Р меняются ролями,
что видно уже из сравнения рис.		15 и 17. Автоколебания показаны
на рис. 19, б.

КОЛЬЦЕВЫЕ СИСТЕМЫ

В биологических и химических системах часто встречаются схемы, в которых продукт цепи реакций влияет на начало этой цепи. Такие системы мы будем называть кольцевыми.

1. Простейшим случаем является каталитическая реакция, в к торой катализатор может находиться в трех и более формах:

/zi-Si	fc.S,		(3.58)
Xi — >х2	■х, —	x„
			Xl

Возможность концентрационных колебаний была впервые ис

следована на	примере этой системы (при	п — 3) (Hirniak,	1910;
Christiansen,	1961; Bak, 1963).
В системе	(3.58), если она является	открытой (5/ =	const),

возможны затухающие колебания около единственного стационар

ного состояния.			Затухание тем меньше, чем больше стадий и чем
ближе	друг	к	другу скорости отдельных	стадий.	Обозначим
k,Sj =	aj и сделаем замену переменных:
хх = anUx,		Xj = aj^Uj.			(3.59)
Тогда	характеристическое уравнение системы			(3.58)	примет вид
П {X - а/) - 1			= 0.		(3.60)

Исследовать это уравнение в общем виде затруднительно. По этому рассмотрим частный случай, когда все а ;- равны между собой (Higgins, 1967), т. е. а,- = а. Тогда, введя т = at, получйм вместо

(3.60)

(1 +	Х)п -		1 = 0.				(3.61)
Отсюда
К: =	•	2,t/	— 1 =	cos— —	1 +	i- sin-^t-i	(3.62)
К: =	е	п	— 1 =	cos— —	1 +	i- sin-^t-i	(3.62)
>				П	1	П

где / = 0, 1 . . . п — 1. Тогда логарифмический декремент зату хания равен

МОДЕЛИ КОНЦЕНТРАЦИОННЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Легко видеть, что в системе имеется одно нулевое собственное знаУчение, соответствующее закону сохранения:

2 * / = const.

Если п — четное, то имеется еще одно действительное собственное значение при j = п/2. Все остальные собственные значения ком плексные. При этом минимальное затухание у первой гармоники (/ — 1, п — 1). Если п очень велико, то для /< ^ п

у. . .	2л/	л/	(3.64)
		п
л/. П-) — п

Колебания этого типа реализуются в системах матричного синтеза, где катализатором является матрица с сидящей на ней полимера зой. Различным состоянием катализатора (X,-) соответствуют раз

ные положения

полимеразы

на матрице

(см. Введение, стр. 14).

Линейная

система,

которая

представляет

собой кольцо из

псевдомономолекулярных

реакций, может

давать

только затуха

ющие колебания. Введение нелинейных

стадий в

кольцевую си

стему приводит к автоколебаниям.

Одним из таких случаев является ингибирование конечным

продуктом

начального

участка

цепи

ферментативных

реакций

^"(Сельков, 1967а; McKay,

Morales,

1967;

Walter,

1972а):

Е,

So—> Si

■s„-

(3.65)

U - )

Эта схема

может быть описана системой уравнений:

•Si =

V o

—

и1>

St =

Vi,

(3.66)

1 + «s i

где v0 — скорость первой стадии в отсутствие ингибитора, которая

считается

постоянной;

о,- — описывается

формулой

Михаэлиса-

Ментен:

kjSj

Vi =

(3.67)

К"Ч+ S<

Если St

Ктр то

(3.67) упрощается:

Vi =

liSi.

(3.68)

Для возникновения автоколебаний в такой

системе нужно, чтобы

п > 3.

С увеличением п область параметров, в которой возможны

колебания, расширяется. Сельков (1967а) показал наличие авто

колебаний

системе (3.66)

при

п =

3;4

у = 1 ,

если

Vi (i Ф п)

i. описывались

выражением (3.68),

a vn — выражением

(3.67). Мак

Кей и Моралес (McKay,

Morales,

1967)

получили колебания в си

стеме с у >

где

все

vt описывались

линейными выражениями

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ