книги из ГПНТБ / Обрезков, В. И. Гидроэлектрические станции в электроэнергетических системах

а точнее оптимальности управления, является предметом одного из основных разделов вычислительной математи­ ки — математического программирования.

Поскольку целевая функция (7-5) объективно отра­ жает протекание исследуемого процесса, постольку она является его математической моделью и в качестве по­ следней она может быть линейной или нелинейной, де­

определяется как характером своей задачи, так и ее постановкой.

7-3. Н е к о т о р ы е м е т о д ы математического п р о г р а м м и р о в а н и я для решения оптимизационных задач

Методы математического программирования обычно делят на две группы: аналитические и численные.

К первой группе относятся методы, в которых систе­ ма уравнений, описывающая исследуемый процесс, пред­ ставляется в виде аналитических функций, дифференци­ руемых хотя бы раз. и имеющих конечное число точек разрыва. К ним относятся дифференциальное и вариа­ ционное исчисления, а также принцип максимума Понтрягина.

Вторая группа является более общей; к ней относятся линейное квадратичное или выпуклое, нелинейное и ди­ намическое программирование. Наиболее разработанны­ ми (вплоть до наличия общего алгоритма решения) являются линейное и выпуклое программирование. Од­ нако большинство задач оптимального управления от-

230

носится к наименее разработанному нелинейному про­ граммированию, для которого, к сожалению, все еще нет общего метода решения. Это обстоятельство крайне затрудняет решение оптимизационных задач этого класса, что приводит к необходимости отдельного обос­ нования используемого метода применительно к каждой конкретной задаче.

Наиболее распространенными методами решения оптимизационных задач, или, как говорят, методами по­ иска экстремума в линейном, выпуклом и нелинейном программировании, являются градиентный метод и его модификации и метод покоординатного спуска. Эти ме­ тоды называются регулярными в отличие от метода слу­ чайного поиска, когда решение ищется с той или иной организацией случайных проб.

Наконец, с точки зрения получения частного или об­ щего решения различают локальные или глобальные ме­ тоды поиска.

К первым из них относятся все аналитические и ука­ занные регулярные методы поиска.

Глобальные методы поиска менее разработаны и не имеют общего алгоритма решения. К ним относятся ме­ тоды однородной сетки, тяжелого шарика, оврагов, ди­ намического программирования и т. д.

Для решения какой-либо конкретной задачи необхо­ дим, как было сказано выше, выбор наиболее рацио­ нального метода поиска. При правильном выборе фазо­ вых координат и управления он обеспечит наиболее бы­

граммирования, используемых при решении задач по

в заданной области определения функции

231

и при дифференцируемое™ / ( U ) хотя бы один раз по всем щ.

Процесс решения системы (7-6) будет одношаговый. Так как решению системы (7-6) будут отвечать лю­ бые экстремумы (максимум и минимум), то для опре­ деления нужного необходимо провести дополнительные исследования функции в экстремальных точках, а в об­ щем случае и в граничных. В большинстве случаев при малом количестве переменных и неограниченной обла­ сти определения это исследование заключается в про­

верке знака второй производной функции / ( U ) по и-у

в точке U нет ни максимума, ни минимума.

Для заданной области определения /(И ) указанное исследование заключается в последовательном расчете экстремальных значений функции внутри области опре­

к ах разрыва функции и ее производной. Искомое реше­ ние находится непосредственным сравнением получен­ ных значений.

При большом количестве переменных и заданной об­ ласти определения / ( U ) поиск решения нередко бывает чрезвычайно затруднен. В этом случае более целесооб­ разным является использование численных методов.

функции, доставляющие экстремальные значения неко­ торым величинам, зависимым от этих функций и назы­ ваемым функционалом.

232

Методы вариационного исчисления представляют СОбой обобщение методов дифференциального исчисления при бесконечном числе переменных. Классическое вариа­ ционное исчисление предназначено для решения тех за­ дач, которые сформулированы в аналитическом виде, непрерывны, дифференцируемы (рассматривается класс кусочно-гладких функций, т. е. функций с угловыми точ­ ками) и не имеют никаких ограничений на управление и координаты.

Основным методом решения вариационных задач является сведение их к исследованию некоторых диф­ ференциальных уравнений, которые являются необходи­ мыми и достаточными условиями экстремума функцио­ нала. Процесс решения при этом является непрерывным. Условия, определяющие решение задач, в основном диктуются их характером. Сами задачи классифициру­ ются следующим образом. По числу независимых пере­ менных различают задачи с функциями одной или не­ скольких переменных. Число отыскиваемых функций мо­ жет быть также различным. По виду граничных усло­ вий различают задачи с закрепленными или свободными концами. На исследуемую функцию могут быть наложе­ ны дополнительные условия в виде уравнений связи, представленных или в интегральной форме (изолериметрическая задача) или в виде простых функциональных зависимостей типа (7-8).

Необходимые условия экстремума функционала пред­ ставляются в виде некоторой системы нелинейных диф­ ференциальных уравнений, называемой уравнениями Эйлера. Решения уравнений Эйлера, т. е. его интеграль­ ные кривые, называются экстремалями. Ниже будут рас­ смотрены лишь некоторые вариационные задачи, явля­ ющиеся наиболее характерными для гидроэнергетики. При этом будем использовать написание функционалов в том виде, как это наиболее часто встречается в мате­ матической литературе. В частности, независимую пере­ менную время t будем записывать как аргумент функ­ ционала, а не функций.

(7-10)

to

при и (t0) =и0 и u(tK) =ик.

233

Необходимым условием экстремума / будет являться

234

Это задача на условный экстремум. Необходимые условия экстремума / при наличии условия (7-17) нахо­ дятся путем сведения рассматриваемой задачи к зада­ чам «а» или «б» (в случае многих переменных) и вве­ дения неопределенных множителей Лагранжа. Таким об­ разом, в задаче определяется экстремум некоторого вспо­ могательного функционала

Такого рода задачи являются наиболее общими за­ дачами вариационного исчисления и часто встречаются при оптимизации производственных процессов.

г) Задачи с дополнительными связями. Такого рода задачи также являются задачами на условный экстре­ мум и формулируются так: найти экстремум функцио­ нала

'«

так и представленными в виде дифференциальных урав­ нений

к задаче на безусловный экстремум. Для этого подынте­ гральная функция в уравнении (7-10) с учетом допол-

235

нительных условий типа (7-21) записывается в виде вспомогательной функции

Уравнения Эйлера в этом случае приобретают вид:

k

Произвольные постоянные, так же как и в предыду­ щих случаях, определяются из граничных условий.

д) Задача с подвижными концами. Требуется найти экстремум функционала

/ = j" F(t, и, и') dt U

при условии, что концы искомых экстремалей лежат на двух кривых И = ф ( / ) и u--ty(t).

Решение задачи осуществляется с помощью уравне­ ния Эйлера (7-12) и условий трансверсальности

Условия трансверсальности (7-24) позволяют найти положение концов экстремали, а недостающие произ­ вольные по-прежнему определяются из граничных усло­ вий.

До сих пор в качестве необходимых условий рассма­ тривались уравнения Эйлера. На практике они обычно дополняются еще одним условием — условием Лежандра. Оно утверждает, что для того, чтобы кривая u = u(t) доставляла минимум функционалу (7-13), необходимо, чтобы вдоль этой кривой выполнялось условие

Что касается достаточных условий существования экстремума, то они являются весьма сложными даже для простейших задач. Однако в большинстве практиче­ ских задач исследование их не требуется, так как един-

236

ственность вида решения становится ясной из самой фи­ зической сути задачи.

Решение дифференциальных уравнений Эйлера, осо­ бенно в задачах с многими переменными, часто является очень сложным. Поэтому в последнее время стали при­ меняться так называемые прямые методы вариационного •исчисления, дающие приближенные решения.

Основная идея этих методов состоит в том, что ре­ шение вариационной задачи сводится к решению неко­ торой другой задачи на экстремум функции конечного

.числа переменных. Последняя решается обычнымимето­ дами, и далее предельным переходом получается реше­ ние исследуемой вариационной задачи. .....

Широкому использованию классического метода ва­ риационного исчисления в значительной мере, препят­ ствуют вычислительные сложности учета ограничений

.типа неравенств. В этом случае в области заданных огра­ ничений уравнения Эйлера превращаются в неравенства, и экстремум приходится искать к некоторой замкнутой области, где ограничения не сказываются. Однако в этих случаях экстремум может достигаться и не на экстрема­

П р и н ц и п м а к с и м у м а П о н т ір я г и н а

Принцип максимума является развитием и обобще­ нием вариационного исчисления. Он позволяет находить решения не для кусочно-гладких функций, а для более широкого класса кусочно-непрерывных и при наличии

237

Задача формулируется следующим образом. Требу­ ется найти такие управления U, которые переводили бы систему за время to—t* из начального положения Х(£0 ) = = Хо в конечное Х ( г ] ( ) = Х к и доставляли максимум функ­ ционалу

называются автономными. Решение задачи для неавто­ номных систем может быть легко получено сведением их к эквивалентной автономной системе.

Так же как и в вариационных задачах, могут иметь место задачи с закрепленными или свободными време­ нем или концами траектории.

Рассмотрим основные положения принципа макси­ мума для автономной системы со свободным временем и закрепленными концами Х0 и Х„.

Сущность принципа' максимума заключается в сле­ дующем. Введем в рассмотрение новую координату

238

С помощью функции Ж, называемой функцией Га­ мильтона, системы (7-31) и (7-32) могут быть пред­ ставлены в виде гамильтоновой системы:

руются следующим образом. Для того, чтобы функцио­ нал (7-28) достигал максимума, необходимо существова­

Таким образом, принцип максимума сводится к за­ мене решения одной экстремальной задачи другой, более простой.

Если решение системы граничное, то оно может быть легко получено простым анализом значений Ж для за­ данного и = ид°п и выбором U, обеспечивающего Ж = = макс.

Как в классическом вариационном исчислении урав­ нения Эйлера, так и в принципе максимума уравнения Понтрягина являются только необходимыми условиями экстремума функционала и обеспечивают получение ло­ кального решения. Проверка достаточных условий так­ же заменяется анализом физической сути задачи и инже­ нерной интуицией.

Наиболее эффективен принцип максимума для реше­ ния линейных систем с ограничениями на управления. Для решения нелинейных задач, а также задач с огра­ ничениями фазовыми координатами достоинства прин­ ципа максимума в значительной мере теряются.

Выше рассматривался принцип максимума для непре­ рывного времени, однако его можно использовать и для дискретного. При этом, разумеется, возникнет отличие как в формулировке задачи, так и в алгоритме ее ре­ шения.

239