книги из ГПНТБ / Вопросы технологии машиностроения и радиотехники [сборник статей]

Машгиз, 1971 г.

3. Е л и с е е в И. Я. О методах проектирования и изготовления техноло­ гической координатной оснастки в приборостроении, Сборник материалов кон­ ференции «Молодые ученые и исследователи — производству». Владимирский

НИР № 61—68 «Создание устройства, предотвращающего поломку режущего инструмента на малогабаритных агрегатных станках». Владимирский поли­ технический институт, г. Владимир, 1968 г.

ШЕНШЕВ А. Н.

О ПРИБЛИЖЕНИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМАМИ

В СТАТЬЕ ПРИВОДИТСЯ ОДИН ИЗ СПОСОБОВ АППРОКСИМАЦИИ ПОЛИНОМАМИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть {Ln(cp)} последовательность линейных ''операто­ ров переводящих всякую функцию ф(х) э С([а, &]) в алгебраи­

ведлива следующая теорема: Если последовательность функций •{ f n { x ) }■ непрерывных на [а, Ь], равномерно сходится на [а, 6] к функции f ( x ) так, что lim E n (fn )\\Ln \\= 0, то последователь-

Пусть Tn(fn, х) — аглебраический полином степени не выше «п» наименее отклоняющийся от fn(x) на отрезке [а, Ъ]

70

tp(x), непрерывную на отрезке [—я, я], переводят в тригономет­

аналогично доказать, что при условии lim En(fn) ||Lti||=0, после-

Я -*■ со

довательность {Ln(fn)} равномерно сходится к f(x) на [—я, я]. Здесь En(fn)—наилучшее приближение функции fn(x) тригонометрическим полиномам порядке не выше «п» на отрез­ ке [—я, я] . На основании этой теоремы построим конкретные последовательности алгебраических и тригонометрических поли­ номов аппроксимирующие непрерывные функции.

Пусть х '1)

42) *<2>

х(Л+1) д-(Л+1) Х(П+1)

—треугольная матрица узлов интерполяции на отрезке [— 1, 1], причем числа n-ой строки матрицы есть корни полинома Чебы­ шева степени «ш>, то есть корни полинома cos п (arccos х).

функции fn{x) есть функции из класса LipM 1 на

(_оо + оо М = Sup|/(x)| 1Х1<я

Известно, что En(fn) наилучшее приближение fn(x) тригоно­ метрическим полиномам порядка не выше «п» на [—я, я] или на (—оо, + оо) удовлетворяет условию:

U,n П

(— оо, + о о ) .

Приведем выражения для полиномов Ln(fn).

ЯX + a n

- я x - a n

Полиномы Ln(fn) можно записать в следующей интеграль­ ной форме. Пользуясь известным преобразованием, получим

73

ЛИТЕРАТУРА

П. П. К о р о в к и н . «Линейные операторы и теория приближений». Физ-

матгиз 1959 г. стр. 203 (1), 85 (2), 164 (3).

ШОКАЛЬСКИЙ Б. В.

К ВОПРОСУ О ПЕРСПЕКТИВНЫХ ИСКАЖЕНИЯХ

Исследуется вопрос о нахождении взаимосвязи между точками объекта и точками проекционной по­ верхности аналитически, а'также даны рекомендации для внесения исправлений в пространственную форму объекта. Библиографий 5. Иллюстр. S.

Часто при рассматривании окружающих нас объектов мы видим не действительную их форму, а искаженную и только благодаря нашему опыту и некоторым особенностям зрительно­ го восприятия догадываемся о действительной их форме.

В процессе развития человека его органы чувств накаплива­ ют так называемые условные рефлексы. Зрительный орган че­ ловека также накапливает опыт правильного восприятия объек­ тов, наблюдаемых им в природе в различных положениях. Способность человека относительно константно воспринимать объекты, мысленно догадываться об их правильной форме приня­ то называть относительной константностью зрительного восприя­ тия. Кроме того, что зрительный орган человека сам стремится корректировать искажения, в архитектурной практике*принято вносить поправки в форму объекта для более правильного его восприятия.

При рассматривании объекта мы наблюдаем два вида иска­ жений. Искажения связанные с удалением предмета и искаже­ ния связанные с ракурсностью. Искажения связанные с удале­ нием исправляются увеличением отдельных частей предмета — это свойственно, особенно, монументалистам, которые вносят такие исправления для большей выразительности. Исправления на ракурсность вносят в свои картины художники, когда изоб­ ражают на картине объекты со значительно меньшим ракурсом, чем это наблюдается в природе. Исправления на ракурсность рекомендуется вносить, и при проектировании украшений высо­ ко расположенных, и при проектировании монументов. Особен­ но важно это там, где монумент или высоко расположенное ук­ рашение рассматривается под большим углом зрения.

В работах разных авторов (1, 2, 3, 4) для исправления иска­ жений применяются различные проекционные поверхности и да­ ны примеры их применения. В настоящей статье исследуется во­ прос о нахождении взаимосвязи между точками объекта и точ-

74

ками проекционной поверхности аналитически, а также даны рекомендации для внесения исправлений в пространственную форму объекта.

Воспользуемся для этого исследования проекционной по­ верхностью предложенной в работе (3). Кривизна этой проек­ ционной поверхности (рис. 1) равна-двойному расстоянию от точки рассматривания 0 до объекта. Найдем зависимость между рассматриваемым размером L и соответствующим ему разме­ ром L\ на проекционной поверхности.

По рис. 1 составляем уравнения для линий Li и, L

- , 2

Если отрезки L\ и L ограничены углом зрения ф, то между точ­ ками их будет вполне определенная зависимость и для любой точки на линии L можно найти соответствующую на линии L\.

75

Для любого радиуса р, проведенного из точки рассматрива­ ния под углом 180° — ср, можно написать уравнение

ветствовать точка Мх(х\, у{)_на линии L\, где координата Х\ опре­ делится из уравнений ( 1), (3)д

kx - 1/ М ' - т Г

или

(k2 — 1)х2 — Rx — — R2= 0

4 •

Координата у\ определится подстановкой отрицательной коор­ динаты Х\ из уравнения (4) в уравнение (1). Линейная величи­ на хорды на кривой Ь\ определится как расстояние между точ­ ками. Для определения расстояния между точками линии L\ по длине дуги можно воспользоваться формулой длины дуги

L,_ = j v T + i p d x

где пределы интегрирования (а, Ь) есть координаты х, опреде­ ляемые по формуле (4). Решим эту задачу для нашего случая.

У>2_

После подстановки в формулу (5) на участке Х\Х2 длина дуги будет представлена выражением

I / « - H i )

Например', для верхней части полуокружности после подста-

76

Если кривизна проекционной поверхности представлена как функция угла ср (рис. 2), то эту задачу лучше решить в поляр­ ных координатах

Li = j V Р2 — р '2 й?Ф

ф,

После переноса начала координат о в центр оь получим для

Аналогичное выражение получится, если кривизна проекци­ онной поверхности будет представлена в параметрической фор- '

но получим выражение (6).

77

Представленная методика определения соответствия между точками рассматривая на вертикальной стенке и точками проек­ ционной поверхности можно обобщить на любую, например, на­ клонную плоскость и любую проекционную поверхность. В этом

случае соответственные точки можно найти без применения гра­ фических построений. Когда такая аналитическая зависимость между поверхностями установлена, то задача сводится к вычис­ лению значений определенного интеграла в функции переменно­ го верхнего предела.

В заключение рассмотрим некоторые рекомендации по внесе­ нию исправлений в форму объекта с использованием проекци­ онной поверхности, предложенной в работе (3). Предлагаемые

79