книги из ГПНТБ / Гайнулин, Р. Н. Топографо-геодезические съемки лиманов изыскания и съемочные работы при проектировании и строительстве лиманного орошения

где Wi, W2,."> Ws-— невязки в суммах углов треугольников, вычисляемые по формулам:

w¡ = 1 +2 + 3-180°,

w2 = 4 + 5 + 6 = 180°,

w5= 13 + 14 + 15-180°.

Условное уравнение горизонта:

где wr =3+6 + 9+ 12+ 15—360°.

Полюсное условное уравнение:

7. §! (1 ) + 84 (4) + + (7) + 8,0 (10) +Аз (13) - §2 (2) -

где ôi,Ô2, •••, би — изменение логарифма синуса угла при увеличении угла на 1" (б выбираются из таблиц логарифмов синусов углов) ;

w„ = lg sin 1 + lg sin 4 + lg sin 7 + lg sin 10 + lg sin 13 —

—lg sin 2 — lg sin 5 — lg sin 8 — lg sin 11 — lg sin 14.

Всоответствии с теорией упрощенного уравновешива­ ния условные уравнения фигур и горизонта отнесем в пер­ вую группу, а полюсное условное уравнение — во вторую.

Для первой группы условных уравнений система нор­ мальных уравнений коррелат (63) примет вид:

Зкб + к6 +Ws =0

кі + к2 +кз + к4 + к5+5к6 +\ѵг = 0 j

70

Из решения этих уравнений найдем коррелаты ki, k2,

..., k6. Подставив их значения в уравнения поправок (62),

(70)

(Cj)' =

где (Aj)', (Bj)' и (Cj )' — первичные поправки соответ­ ственно в связующие и промежуточные измеренные углы треугольника с номером j (в центральной системе на рис. 8 углы 3, 6, 9, 12 и 15 — промежуточные, а осталь­ ные — связующие) ;

Wj —невязка в треугольнике с номером j;

wr— невязка за условие горизонта;

n —число треугольников (у нас п = 5).

Для получения вторичных поправок полюсное услов­ ное уравнение (68) можно записать в таком более общем виде

углы;

w/— свободный член полюсного условного уравнения, полученный по исправлен­ ным первичными поправками углам, т. е.

< = Zig sin а: - zig sin в:.

71

Так как при упрощенном уравновешивании на вторич­ ные поправки налагается условие (65), то вместо (72) по­ лучим

Этому условному уравнению соответствует следующее нормальное уравнение коррелат

2 0Aj + Sßj )2 kn +-wn = 0.

Отсюда

Согласно уравнению поправок через коррелаты получим такие вторичные поправки:

Введя в измеренные углы первичные и вторичные по­ правки, получают уравновешенные углы, сумма которых по каждому треугольнику должна равняться 180°, а сум­ ма центральных (промежуточных) углов — 360°.

Зная длину исходной стороны и используя уравнове­ шенные значения углов, по теореме синусов находят дли­ ны всех других сторон.

Наметив ходовую линию (см. рис. 8), вычисляют дирекционные углы и румбы ее сторон, приращения коорди­ нат и координаты всех определяемых пунктов.

Аналогично может быть выполнено упрощенное урав­ новешивание геодезического четырехугольника, цепочки треугольников между двумя твердыми сторонами и дру­ гих несложных сетей.

72

УРАВНОВЕШИВАНИЕ ХОДОВ С ОДНОЙ УЗЛОВОЙ ТОЧКОЙ

Очень часто геодезическое обоснование создается в виде ходов, прокладываемых от исходных пунктов стар­ ших классов (в сетях местного значения это могут быть ходы полигонометрии 1 и 2 разряда или технического ни­ велирования, а в съемочных сетях — теодолитные или ни­ велирные ходы). Пересекаясь, эти ходы могут иметь одну или несколько общих, так называемых узловых точек.

Если ходы имеют одну узловую точку, то при матема­ тической обработке результатов измерений вычисляют:

при уравнивании углов — дирекционные углы узловой линии (за узловую линию может быть принята линия лю­ бого хода, имеющая одним концом узловую точку);

при уравновешивании приращений координат—-коор­ динаты узловой точки — абсциссы и ординаты;

при уравновешивании превышений — высоты узловой точки.

За окончательное значение дирекционного угла узло­ вой линии, координат или отметки узловой точки прини­ мается значение, найденное по формуле общей арифмети­ ческой средины, а ходы уравниваются по правилам уравнивания одиночных ходов, проложенных между дву­ мя твердыми точками. Такой метод уравнивания получил название способа общей арифметической средины.

Рассмотрим этот способ на примере уравнивания си­ стемы нивелирных ходов, изображенной на рисунке 9.

Перед уравновешиванием на схему ходов выписывают отметки исходных реперов (На, Нв, Нс), суммы превы­ шений по ходам, полученные из нивелирования, длины хо­ дов L (или число станций по этим ходам п).

Проверяют допустимость невязок в суммах превыше­ ний по наиболее коротким ходам между исходными репе­ рами, например, от А до С и от В до С:

f1>3= [hjl — [h3l — (Нс — На ), Í2,3 = Ih2] — [h3[ — (Нс — Нв ).

73

ù À l ùb.

Если невязки допустимые, приступают к уравновеши­

Если число станций, приходящихся на 1 км хода, силь­ но колеблется по отдельным ходам, то веса вычисляют по формуле

74

По формуле общей арифметической средины находят окончательное значение отметки узловой точки

После этого по каждому ходу А—1, В—1 и С—1 вы­ числяют невязки в превышениях

fh3 = H3 —Ң

Контролем вычисления служит зависимость [Pfh] = 0. Распределив невязки fh по ходам пропорционально расстояниям (или числу станций) между точками, по исправленным превышениям вычисляют окончательные

отметки этих точек.

Для оценки точности вычисляют [11]:

среднюю квадратическую погрешность р нивелирова­ ния хода длиной к км

<8°>

где N — число ходов (на рис. 8 N = 3) ;

t — число узловых точек (на рис. 8 t = 1 ) ;

среднюю квадратическую погрешность ткм ниве­ лирования хода длиной 1 км

если вес вычислялся по формуле (77), то погрешность ткм находят по формуле

(82)

75

¡среднюю квадратическую погрешность уравнове­ шенного значения отметки узловой точки

СПОСОБ ПОЛИГОНОВ ПРОФЕССОРА В. В. ПОПОВА

Профессор В. В. Попов предложил оригинальный спо­ соб уравновешивания сети полигонометрических, теодо­ литных и нивелирных полигонов, получивший название способа полигонов или способа красных чисел.

В способе полигонов при уравновешивании полигоно­ метрических и теодолитных сетей вначале уравновешива­ ют углы, а затем — приращения координат.

Детали этого способа рассмотрим на примере уравни­ вания углов сети теодолитных полигонов, изображенной на рисунке 10.

Перед уравновешиванием подсчитывают сумму вну­ тренних углов по каждому полигону, вычисляют угловые невязки и проверяют их допустимость. Кроме того, если связующие углы двух смежных полигонов, например, ß и ß', были измерены самостоятельно, то до уравнивания определяют невязку за условие горизонта

fr=(ß + ß')-360°

и распределяют ее с обратным знаком поровну на оба этих угла. То же самое проделывают со всеми другими связующими и центральными углами (ßb ß2, ße, ßi)-

Для уравновешивания составляют просторную схему сети. В середине ходов записывают номер хода (N¡) и число углов в нем. При подсчете числа углов придержи­ ваются правила: число углов хода равно числу сторон

внем.

Всередине каждого полигона заготавливается прямо-

76

угольная рамочка, в которой будут проставляться после­ довательно изменяющиеся в процессе уравновешивания невязки. Над этими рамочками римскими цифрами запи­ сывают номера полигонов, а ниже (внутри рамочки) — невязку полигона.

С внешней стороны каждого полигона (желательно против середины соответствующего хода) также вычерчи­ вают прямоугольные рамочки, в которых в процессе урав­ новешивания будут записывать последовательно появ­ ляющиеся поправки. Над этими рамочками красной ту­ шью или чернилами (на рис. 10 они показаны черным цветом) записывают так называемые красные числа, зна­ чение и смысл которых в следующем.

На рисунке 10 полигон 1 составлен ходами Nb N2 и N3. Обозначим невязку полигона через wb а число углов в хо­ дах соответственно через П], П2 И Пз.

Поправки Ѵі на ходы получают так:

• (84)

П1 H- п2 + Пз Величины

и k3 = ^-(Sn = n! + п2 + п3) (85)

и называются красными числами.

Таким образом, красные числа являются коэффициен­ тами пропорциональности при вычислении поправок хо­ дов. Легко убедиться, что сумма красных чисел каждого полигона должна равняться единице. Это служит контро­ лем правильности их вычисления (например, для полиго­ на II : 0,32 + 0,42 + 0,26=1,00).

Распределение невязок выполняют последовательны­ ми приближениями, переходя от одного полигона к дру­ гому. Чтобы процесс приближений был короче, рекомен-

77

дуется уравновешивание начинать с полигона, имеющего наибольшую по абсолютной величине невязку. В нашем примере это полигон 1. Невязку этого полигона ( — Г,4) умножают на красные числа этого же полигона (0,33; 0,40; 0,27) и полученные произведения, сумма которых должна быть равна невязке ( —О',8 — 1',0—0',6 = 2',4), за­ писывают во внешние рамочки полигона под соответ­ ствующими красными числами. Вычисления лучше всего выполнять при помощи логарифмической линейки.

Распределенную невязку подчеркивают и переходят ко II (соседнему) полигону. Во втором полигоне теперь будет новая невязка, равная сумме прежней невязки и поправки, перешедшей из I полигона: + l',7 — l',0= +0',7. Учтенную поправку (—1',0) подчеркивают, записывают новую невязку ( + 0',7) и ее уже умножают на красные числа этого полигона (0,32; 0,42; 0,26). Результаты кон­ тролируют ( + 0',2 + 0',3 + 0',2=+0',7) и записывают во внешние рамочки полигона под соответствующими крас­ ными числами. Распределенную невязку подчеркивают и переходят к следующим полигонам — к III, а затем-—к IV. Распределением невязки IV полигона заканчивается первый цикл (первый обход полигонов).

Возвращаются к I полигону и начинают второй цикл распределения невязок. В нем теперь будет новая невяз­ ка, равная сумме поправок, пришедших из смежных поли­ гонов: + О',2 + О',2 = +0',4. Эта невязка распределяется по тому же правилу, что и в первом цикле. Переходя после­ довательно к другим полигонам, повторяют те же дей­ ствия, что и ранее. Закончив второй цикл, начинают тре­ тий и т. д. до тех пор, пока невязки во всех полигонах станут равными нулю. После этого подсчитывают суммы чисел (итоговые поправки) в каждой рамочке с красным числом.

Окончательные поправки по каждому ходу находят как алгебраическую сумму итоговых поправок, записан­ ных в рамках под красными числами для данного хода,

79