книги из ГПНТБ / Гайнулин, Р. Н. Топографо-геодезические съемки лиманов изыскания и съемочные работы при проектировании и строительстве лиманного орошения

А. И. Дурнева; теодолитные, тахеометрические и мензуль­ ные ходы; лучевые системы; четырехугольники без диаго­ налей по методу И. В. Зубрицкого; микротриангуляция взамен теодолитных ходов (см. рис. 6).

Поскольку детальное описание большинства из этих методов приводится почти во всех курсах геодезии, то мы дадим краткую характеристику лишь некоторых, относи­ тельно новых или часто применяемых методов.

По методу четырехугольников без диагоналей И. В. Зубрицкого нет необходимости измерять все сторо­ ны, а достаточно измерить лишь по одной боковой сторо­ не, за исключением первого и последнего четырехугольни­ ков, в которых измеряют по две стороны: Ьі, а; и ап и dn (для контроля, рис. 7). В четырехугольниках измеряют все углы. Длины сторон вычисляют по формулам:

а sin С + b sin (А + В)

(57)

b sin А + a sin (В + С) sin В

После этого, зная координаты исходных пунктов, мож­ но вычислить координаты всех пунктов съемочной сети. По сравнению с теодолитными ходами в методе четырех­

Рис. 7, Метод четырехугольников без диагоналей

60

угольников без диагоналей объем линейных измерений сокращается в 2,5—4 раза [11].

Лучевые системы по существу представляют собой по­ лярный способ определения координат пунктов съемочно­ го обоснования с той особенностью, что расстояния от исходных точек до определяемых измеряют при помощи свето- и радиодальномеров. Длина линий может быть про­ контролирована двойным измерением с перестановкой отражателя в створе измеряемой линии и сравнением разности расстояний с отрезком, измеренным рулеткой.

При съемочных и трассировочных работах на объек­ тах проектируемого лиманного орошения съемочное обо­ снование очень часто создают прокладкой теодолитных ходов в виде замкнутых полигонов или систем с узловыми точкам. По точности теодолитные ходы делятся на два разряда. Ходы 1 разряда прокладываются с относитель­ ной погрешностью не грубее 1 : 2000, а 2 разряда — не грубее 1 : 1000. Линии в ходах можно измерять оптиче­ скими дальномерами, редукционными тахеометрами, дли­ номерами, стальными лентами и рулетками.

Допустимые длины теодолитных ходов в зависимости от их разряда и масштаба съёмки приведены в таблице

15 [8].

61

где n — число углов в ходе или полигоне.

В открытой местности съемочное обоснование иногда целесообразнее создавать методом микротриангуляции в виде цепочек треугольников или вставок пунктов, опреде­ ляемых прямыми, обратными или комбинированными за­ сечками. Между исходными сторонами допускается при съемке в масштабе 1 : 5000 — не более 20, 1 : 2000 — не более 17, 1 : 1000 — не более 15 и 1 : 500 — не более 10 треугольников [8].

Углы треугольников не должны быть менее 20°, допу­ стимые длины сторон — от 150 до 800 м. Предельные не­ вязки треугольников — 1',5.

Съемочное плановое обоснование при мензульной и тахеометрической съемках развивают в количестве, позво­ ляющем проводить Съемки (ориентировочно считается, что на съемочную трапецию любого масштаба должно приходиться в среднем от 20 до 40 пунктов съемочной се­ ти). Длины мензульных и тахеометрических ходов долж­ ны удовлетворять требованиям, приведенным в таблице

16 [8].

Угловые невязки в тахеометрических ходах не должны превышать величины, подсчитанной по формуле (58).

Допустимые линейные невязки вычисляют по формуле

где S — длина хода, м;

п — число линий в ходе.

Высотное съемочное обоснование создается с целью передачи высот на все пункты съёмочной сети. При этом высоты можно определять как методом геометрического

62

УРАВНОВЕШИВАНИЕ СЕТЕЙ МЕСТНОГО ЗНАЧЕНИЯ И СЪЕМОЧНЫХ СЕТЕЙ

ПОНЯТИЕ О СПОСОБЕ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

В любой геодезической сети при наличии избыточных измерений или избыточных исходных данных (исходных базисов, дирекционных углов, координат) возникают определенные математические условия. Но из-за неизбеж­ ных погрешностей, которые присущи измерениям любой точности, эти математические условия, вытекающие из геометрических свойств фигур, не будут выполняться. Например, если в треугольнике аналитической сети изме­ рить все три угла, то сумма их в общем случае не будет равна 180°, т. е. появится угловая невязка.

Очевидно, возникает необходимость уравновесить сеть, т. е. искусственно ввести в результаты измерений по­ правки, которые восстановили бы математические зависи­ мости между измеренными величинами. При этом нас интересуют такие поправки, введя которые мы одновре­ менно получали бы значения измеренных величин, наибо­ лее близкие к их точным (в идеале — истинным) значе­ ниям.

Над изобретением способа отыскания таких поправок (над теорией математической обработки результатов из­ мерений) многие сотни лет работали крупнейшие матема­ тики (и геодезисты) своего времени. И только в начале XIX века трое выдающихся ученых — А. М. Лежандр

(1752—1833), К. Ф. Гаусс (1777—1855) и П. С. Лаплас

(1749—1827)— почти одновременно и независимо друг от

64

друга открыли метод уравновешивания, получивший на­ звание «способа наименьших квадратов». Но только К. Ф. Гауссу удалось дать этому способу наиболее совер­ шенное и глубокое теоретическое обоснование [9].

При уравнивании по способу наименьших квадратов поправки (і) в результаты измерений находят под усло­ вием [(і)2] = min, если измерения равноточные, или под условием [p(i)2]=min, если измерения ' неравноточные (квадратные скобки — знак суммы, р — веса результатов измерений).

Уравновешивание по способу наименьших квадратов можно выполнить либо по методу условных измерений, либо по методу косвенных измерений.

В плановых сетях местного значения и съемочных се­ тях могут возникать условные уравнения фигур, горизон­ та, боковые (полюсные), сторон (базисов), дирекционных углов, координат (абсцисс и ординат). При уравно­ вешивании таких сетей чаще всего применяют метод условных измерений.

Уравновешивание по методу условных измерений за­ ключается в следующем. Каждому математическому условию, возникающему в геодезической сети, соответ­ ствует определенное, так называемое «условное уравне­ ние поправок».

Пользуясь символикой Гаусса, условные уравнения поправок в общем виде можно записать так:

[г (і)] + wr = 0

где a i, bi, ..., Гі — коэффициенты;

Wa, Wb, ..., wr —свободные члены условных уравнений; (і)-(1), (2),..., (n) —

— поправки, которые надо найти.

Так как число неизвестных поправок п всегда больше

числа условных уравнений г, то решить систему уравне­ ний (60) обычными методами алгебры невозможно.

Доказано, что отыскание поправок по принципу наи­ меньших квадратов — это задача высшего математиче­ ского анализа на условный экстремум. В принципе такая задача может быть решена с помощью вспомогательных множителей Лагранжа, так называемых коррелат [11].

Для этого умножим уравнения (60) на неопределен­ ные множители — 2ка,—2кь, ....—2кг и составим функцию Лагранжа, при этом для простоты математических выкла­ док ограничимся случаем равноточных измерений. Полу­ чим

F = [(О2) — 2ka {Іа (і)] +■ wa) - 2kb {[b (i)] + wb] — ... —

—2kr([r(i)] + wr( =min.

Чтобы функция F действительно была минимальной, коррелаты к должны быть такими, чтобы частные произ-

д F

водные — по каждому неизвестному (1) от функции F

равнялись нулю (это установила высшая математика) :

^Г) = 2(1)-2а1ка-2&1кь-... — 2^ = 0

= 2 (2) - 2a2ka - 2b2kb - ... - 2r2kr = 0

(61)

óF

ó(n) ' 2 (n) — 2a„ka — 2bnkb — ... — 2rnkr = 0

На основе уравнений (61) легко получить:

(1) = ajka + bjkb + ... + rjkr

(2) = a2ka + b2kb + ... + r2kr

(62)

(n) — anka + bnkb + ... + rnkr

66

Равенства (62) называют уравнениями поправок через коррелаты.

Подставим полученные значения поправок в условные уравнения (60) и сделаем приведение подобных членов. Окончательно получим

[aa] ка + [ab] кь + ... + [ar] kr + wa = О

[ab] ка + [bb] кь + ... + [br] kr + wb = О

(63)

[ar] ка + [br] кь + ••• + [rr] kr + wr = О

Эта система уравнений носит название системы нор­ мальных уравнений коррелат. Здесь г уравнений и г неиз­ вестных коррелат, а такие уравнения принципиально про­ сто решаются известными методами алгебры, например, методом последовательного исключения неизвестных.

Найдя коррелаты ка, кь, ..., кг, на основе уравнений (62) получим поправки в измеренные величины (1), (2)..., (п). Введя эти поправки в результаты измерений, полу­ чим их окончательные (вероятнейшие) значения:

L=i + (і)

2 = 2 +(2) . (64)

п = п + (п) .

Оценку точности выполняют по правилам теории погреш­ ностей измерений на основе вероятнейших поправок (1), (2),..., (п).

УПРОЩЕННОЕ УРАВНОВЕШИВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

Несложные геодезические сети (аналитические сети, построенные в виде центральной системы, геодезического четырехугольника, цепи треугольников между двумя

твердыми сторонами и др.) для ускорения и облегчения вычислений уравновешивают упро­ щенным способом.

При упрощенном уравновешивании си­ стему условных урав­ нений (60) предвари­ тельно делят на дветри группы (в зависи­ мости от конкретного вида этих условных уравнений). В первую группу принято вклю­ чать наиболее простые условные уравнения:

все условные уравнения фигур, горизонта и дирекционных углов. Во вторую группу включают боковые (полюс­

меньших квадратов, т. е. под условием [(i)'2] = min. Пер­ вичные поправки вводят в измеренные углы и по исправ­ ленным углам вычисляют свободный член условного уравнения второй группы. Из решения условных уравне­ ний второй группы находят вторичные поправки (і)" так­ же по способу наименьших квадратов, т. е. под условием [(i)"2] = min. Но вторичные поправки вводят теперь толь­ ко в связующие углы Aj и Bj (рис. 8), соблюдая условие: поправки в связующие углы должны быть равны и проти­ воположны по знаку

68

а поправка в промежуточные углы Сі не вводится, т. е. (Cj)" = O.

Благодаря такому правилу выполняются математиче­ ские условия второй группы и одновременно не наруша­ ются выполняемые после введения первичных поправок условия первой группы.

Чтобы выполнялись условия третьей группы (условия абсцисс и ординат), вводят поправки только в вычислен­ ные приращения координат пропорционально длинам сторон ходовой линии (на рис. 8 ходовая линия показана пунктиром). Таковы теоретические положения упрощен­ ного способа уравновешивания несложных геодезических сетей.

Кратко рассмотрим некоторые конкретные приемы уравновешивания сетей местного значения и съемочных сетей, наиболее типичные в практике выполнения геоде­ зических работ для проектирования и строительства ли­ манного орошения.

УПРОЩЕННОЕ УРАВНОВЕШИВАНИЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

В центральной системе, состоящей из п треугольни­ ков, возникает п условных уравнений фигур, одно услов­ ное уравнение горизонта и одно боковое (полюсное) условное уравнение.

Напишем все условные уравнения, возникающие в центральной системе, показанной на рисунке 8.

Условные уравнения фигур:

4.(10) +(11) +(12) + w4 = 0

5.(13) + (14) + (15) + w5 = 0

69