Скляр в пересказе Орешкина

4.11.Зависимость вероятности битовой ошибки от вероятности символьной ошибки

Рассмотрим различие вычислений битовой ошибки для ортогональных и неортого-

нальных сигналов:

ортогональные сигналы. Можно показать, что соотношение между вероят-

ностью битовой ошибки (Рb) и вероятностью символьной ошибки (РЕ) для ортогональных

M-арных сигналов дается следующим выражением:

или равно РЕ, так же как и при передаче сигналов MFSK. В то же время имеется и сущест-

венное отличие. Для ортогональной передачи сигналов выбор одного из (М – 1) ошибоч-

ных символов равновероятен. При передаче в модуляции MPSK каждый сигнальный век-

тор не является равноудаленным от всех остальных. На рис.4.2,а показано восьмеричное пространство решений, где области решений обозначены восьмеричными символами в двоичной записи. При передаче символа (011) и появлении в нем ошибки наиболее веро-

ятными являются ближайшие соседние символы, (010) и (100). Вероятность превращения символа (011) вследствие ошибки в символ (111) относительно мала. Если биты распреде-

ляются по символам согласно двоичной последовательности, показанной на рис.4.2,а, то некоторые символьные ошибки всегда будут давать две (или более) битовые ошибки, да-

же при значительном отношении сигнал/шум.

Рис. 4.2. Области решения в сигнальном пространстве MPSK: а - в бинарной кодировке; б - в кодировке Грея

51

Для неортогональных схем, например MPSK, часто используется код преобразова-

ния бинарных символов в M-арные, такие, что двоичные последовательности, соответст-

вующие соседним символам (сдвигам фаз), отличаются единственной битовой позицией;

таким образом, при появлении ошибки в М-арном символе высока вероятность того, что ошибочным является только один из k прибывших битов. Кодом, обеспечивающим по-

добное свойство, является код Грея (Gray code); на рис.4.2,б для восьмеричной схемы PSK

представлено распределение битов по символам с использованием кода Грея.

Можно показать, что при использовании кода Грея вероятность ошибки будет сле-

дующей:

Примеры задач

Пример 4.1. Найдите вероятность появления ошибочного бита в системе, ис-

пользующей схему BPSK и скорость 1 Мбит/с. Принятые сигналы Acos( t) и –Acos( t)

детектируются когерентно с использованием согласованного фильтра. Величина А равна

10 мВ, спектральная плотность шума - 10–11 Вт/Гц.

Решение.

Пример 4.2. Предположим, что символьная скорость передачи данных - 1000

символов/с. Рассчитайте максимальную разницу в фазах сигналов MPSK для количества сигналов М = 8. Рассчитайте минимальную разницу в частоте несущей для М = 8 ортого-

нальных сигналов когерентной MFSK. Рассчитайте вероятность битовой ошибки для обе-

их схем при условии Eb 9 дБ .

N0

Решение.

В случае фазовой манипуляции сигналы представляют собой синусоиду с разной фазой. Все пространство фаз составляет 2π, следовательно, чтобы равномерно распреде-

лить фазовое пространство между восемью сигналами, на каждый сигнал нужно выделить

2π/M, в нашем случае - 2π/8. Тогда сигналы будут представлять собой

52

Контрольные вопросы

1.Что такое полосовая модуляция?

2.Какие методы полосовой модуляции вы знаете?

3.Нарисуйте общую структурную схему корреляционного приемника.

4.Что такое комплексная огибающая?

5.Какова взаимная зависимость вероятностей битовой и символьной ошибки?

6.Что такое код Грея?

54

Глава 5. Теория информации

Теория информации - раздел прикладной математики, определяющий информа-

цию как некоторую измеримую величину, изучающий ее свойства. Основателем теории информации по праву считают Клода Шеннона (1916 - 2001). В основе этой теории лежит вероятностное представление мира. Простейшей единицей измерения информации приня-

то считать бит. Информацией принято считать совокупность сведений о каком-либо со-

бытии, процессе. Сообщение - последовательность символов, в виде которых представле-

на информация. Объект, передающий информацию, - источник. Количество информации

(некоторая мера информации) характеризует степень уменьшения неопределенности представлений принимающей стороны о состоянии источника сообщения после получе-

ния этого сообщения приемником.

5.1. Количество информации

Рассмотрим случай достоверного приема сообщения. Пусть ai - некоторое сооб-

щение. Информация, доставляемая сообщением ai, будет тем больше, чем неожиданнее для получателя оказалось соответствующее состояние источника сообщений. Если по ап-

риорной информации (в общем случае включая информацию, доставленную предыдущи-

ми символами) получателю было достоверно известно, что в момент передачи данного сообщения источник находился в состоянии, характеризуемом сообщением ai, т.е. апри-

орная вероятность этого состояния равна единице, то получение сообщения ai не дает по-

лучателю никакой дополнительной информации. Чем меньше априорная вероятность со-

стояния ai, тем большую информацию вносит получение данного сообщения. В связи с этим можно считать, что количественная мера информации, которую несет сообщение ai,

должна быть функцией априорной вероятности P того, что источник в момент передачи находился в состоянии ai:

Если в системе имеет место не одно сообщение, а несколько, их можно задать множеством (алфавитом) ai a1,a2 , ,am , где m - объем алфавита.

Для такой системы справедливо свойство аддитивности:

55

i 1

В реальных системах вероятности P(ai) могут априорно меняться в зависимости от того, что было принято ранее приемником. Такие системы называют каналами с памятью,

в противном случае, когда вероятность при текущем приеме не зависит от предыдущего,

система называется каналом без памяти.

5.2. Энтропия

Для описания источника в целом (а не отдельных его сообщений) используется па-

раметр энтропия. Энтропия характеризует источник сообщений с точки зрения среднего количества информации на сообщение, и рассчитывается как математическое ожидание:

i 1

Энтропия принимает максимальное значение при равновероятных сообщениях.

Тем самым энтропию, как и в физике (химии) можно рассматривать как меру не-

упорядоченности (сообщений), максимальную в случае полной неупорядоченности - рав-

новероятности.

Избыточность источника - это избыточность числа символов, используемых дан-

ной системой для передачи некоторого количества информации относительно минимума необходимого их числа:

Было бы неправильным всегда рассматривать избыточность как признак несовер-

шенства источника сообщений. Так, при передаче текста, когда свойства источника сооб-

щений определяются словарем данного языка, избыточность совершенно необходима для обеспечения удобства заучивания и произношения слов, разборчивости речи, мелодично-

сти языка и т.п. В общем случае передачи информации по каналам связи избыточность является необходимой платой за достоверность в условиях наличия помех.

Рассмотрим возможность появления ошибок. В данном случае даже после получе-

ния сообщения остается возможность ошибки в идентификации сообщения

где H ( A|A ) представляет собой меру количества информации, теряемой из-за оши-

бок. Это то количество информации, которое мы не получили из-за ненулевой неодно-

значности после получения сообщения. Рассмотрим пример 5.1.

5.3. Пропускная способность

Пропускной способностью канала называется максимально возможная в канале скорость передачи информации.

Для дискретных систем

ddtγ Vk H (B) ,

где Vk - скорость передачи символов; H(B) - энтропия, характеризующая канал и алфавит канала.

Производительностью источника называется скорость поступления информации от источника

ddtγ Vи H ( A) ,

где Vи - скорость передачи символов источника; H(А) - энтропия, характеризующая источник и алфавит источника.

Максимальная скорость передачи информации достигается только в случае макси-

мальной энтропии, т.е. при использовании равновероятных сообщений:

Рассмотрим теорему Шеннона (для дискретного канала без помех). Если макси-

мальная пропускная способность дискретного канала без помех превышает производи-

тельность источника, т.е.

Vk log2 m VиH (A) ,

то существует способ кодирования и декодирования сообщений источника с энтро-

пией H ( A) , обеспечивающий сколь угодно высокую надежность отождествления приня-

тых комбинаций с действительно переданными. В противном случае способа передачи без ошибок нет.

Теорема Шеннона (для дискретного канала с помехами) изменяется до вида

Vk log2 m H B|B VиH (A) ,

где учитываются потери пропускной способности в результате неоднозначности идентификации сообщений, описанной выше.

57

5) В случае, если невозможно однозначно идентифицировать полученное сообще-

ние, возникает неоднозначность, которая показывает, что мы получили меньше информа-

ции, чем могло содержаться в сообщении при его однозначной идентификации. По усло-

виям задачи полученный зеленый шар отличается от белого, после получения сообщения

а в случае зеленого шара, без возможности различать цвета, полученное количество информации составляет

Мы получили столько информации, что при идентификации можем отбросить все белые шары, 4 из 8

Пример 5.2. Определите: 1) какое количество информации можно получить,

бросив игральную кость 3 раза? 2) только четность выпавшего числа; 3) сколько инфор-

мации "потеряется" для каждого из бросков, если учитывать только четность, но не значе-

ние?

Решение.

1)Для трех бросков игральной кости, пользуясь свойством аддитивности:

Υlog2 16 3 7,75 бит .

2)Если учитывать только четность выпавших чисел:

Υ(log2 0,5 3) 3 бит .

3)Для каждого броска "потеряется":

Пример 5.3. Пусть в канал связи с шириной полосы F1 внесли такие изменения,

что при старой пропускной способности ширина полосы увеличилась в 2 раза. Как при этом изменилось соотношение сигнал/шум?

59