Скляр в пересказе Орешкина

Эта функция может реализовываться различными способами: на входе приемника, в

демодуляторе, распределяться между этими двумя устройствами или вообще не реализовы-

ваться.

В блоке демодуляции и дискретизации (см. рис.3.1) изображен принимающий фильтр (по сути, демодулятор), выполняющий восстановление сигнала в качестве подго-

товки к следующему необходимому этапу - обнаружению. Фильтрация в передатчике и канале обычно приводит к искажению принятой последовательности импульсов, вызван-

ному межсимвольной интерференцией, а значит, эти импульсы не совсем готовы к дис-

кретизации и обнаружению. Задачей принимающего фильтра является восстановление уз-

кополосного импульса с максимально возможным отношением сигнал/шум (signal-to-noise ratio - SNR) и без межсимвольной интерференции. Оптимальный принимающий фильтр,

выполняющий такую задачу, называется согласованным (matched), или коррелятором

(correlator) и описывается далее. За принимающим фильтром может находиться выравни-

вающий фильтр (equalizing filter), или эквалайзер (equalizer); он необходим только в тех системах, в которых сигнал может искажаться вследствие межсимвольной интерферен-

ции, введенной каналом. Принимающий и выравнивающий фильтры показаны как два от-

дельных блока, что подчеркивает различие их функций.

Два этапа процесса демодуляции/обнаружения показаны на рис.3.1. Этап 1, преоб-

разование сигнала в выборку, выполняется демодулятором и следующим за ним устройст-

вом дискретизации. В конце каждого интервала передачи символа Т на выход устройства дискретизации, додетекторную точку, поступает выборка z(T ) , иногда называемая тес-

31

товой статистикой. Значение напряжения выборки z(T ) прямо пропорционально энер-

гии принятого символа и обратно пропорционально шуму. На этапе 2 принимается реше-

ние относительно цифрового значения выборки (выполняется обнаружение).

3.1. Условие ортогональности и векторное представление сигналов

Функции j , k считаются ортогональными, если

Набор из N ортогональных функций задает пространство сигналов, и представляет собой оси этого пространства.

Условие ортогональности можно сформулировать следующим образом: каждая функция j (t) набора ортогональных функций должна быть независимой от остальных

функций набора. Каждая функция j (t) не должна интерферировать с другими функция-

ми в процессе обнаружения. С геометрической точки зрения все функции j (t) взаимно перпендикулярны.

Произвольный конечный набор сигналов si (t) i 1,...,M , где каждый элемент множества физически реализуем и имеет длительность Т, можно выразить как линейную

32

3.2. Отношение сигнал/шум

Важнейшим критерием качества аналоговой системы связи является отношение средней мощности сигнала к средней мощности шума (S/N или SNR). В цифровой связи в качестве критерия качества чаще используется нормированная версия SNR, Eb / N0 , Eb -

это энергия бита, и ее можно описать как мощность сигнала S, умноженную на время пе-

редачи бита Tb . N 0 - это спектральная плотность мощности шума, и ее можно выразить как мощность шума N, деленную на ширину полосы W. Поскольку время передачи бита и скорость передачи битов Rb взаимно обратны, Tb можно заменить на 1/ Rb

Еще одним параметром, часто используемым в цифровой связи, является скорость

передачи данных, измеряемая в битах в секунду. В целях упрощения выражений, встре-

чающихся в книге, для представления скорости передачи битов вместо записи Rb будем писать просто R. С учетом сказанного перепишем выражение (3.6) так, чтобы было явно видно, что отношение Eb / N0 представляет собой отношение S/N, нормированное на ши-

рину полосы и скорость передачи битов.

3.3. Критерий максимального правдоподобия приема сигналов

Критерий принятия решения, используемый в этапе 2 (см. рис.3.1), описывался следующим образом:

жении (3.8) основан на минимизации вероятности ошибки. Вычисление этого минималь-

ного порога 0 начинается с записи связи отношения плотностей условных вероятно-

33

стей и отношения априорных вероятностей появления сигнала. Поскольку плотность ус-

ловной вероятности p(z | si ) также называется правдоподобием si , формулировка

есть критерий отношения правдоподобий. В этом неравенстве P(s1) и P(s2 ) явля-

ются априорными вероятностями передачи сигналов s1 (t) и s2 (t) , a H1 и H 2 - две воз-

можные гипотезы. Правило минимизации вероятности ошибки (формула (3.9)) гласит, что если отношение правдоподобий больше отношения априорных вероятностей, то следует

где a1 - сигнальный компонент z(T ) при передаче s1 (t) ; a2 - сигнальный компо-

нент при передаче s2 (t) . Порог 0 , представленный выражением (a1 a2 ) / 2 , - оптималь-

ный порог для минимизации вероятности принятия неверного решения в этом важном частном случае. Описанный подход называется критерием максимального правдопо-

добия.

Если бы пример был М-мерным, а не бинарным, всего существовало бы М функций правдоподобия, представляющих М классов сигналов, к которым может принадлежать принятый сигнал. В этом случае решение по принципу максимального правдоподобия представляло бы выбор класса, имеющего самое большое правдоподобие из М возмож-

ных.

3.4.Вероятность ошибки

Впроцессе принятия бинарного решения существует две возможности возникно-

вения ошибки.

Суммарная вероятность ошибки равна сумме вероятностей всех возможностей ее появления. Для бинарного случая вероятность возникновения ошибочного бита можно выразить следующим образом:

или

34

Для равных априорных вероятностей (т.е. P(s1) P(s2 ) 1/ 2 ) имеем

В случае равновероятных сигналов и симметричных гауссовых правдоподобий ве-

роятность битовой ошибки можно оценить как

Здесь Q(x) называется гауссовым интегралом ошибок и часто используется при

описании вероятности с гауссовой плотностью распределения. Определяется эта функция следующим образом:

3.5. Согласованный фильтр

Для минимизации вероятности битовой ошибки как значения гауссова интеграла нужно максимизировать параметр данной функции. Для этого применяется согласован-

ный фильтр (matched filter) - линейное устройство, спроектированное, чтобы давать на выходе максимально возможное для данного передаваемого сигнала отношение сиг-

нал/шум. Такой фильтр должен обладать оптимальной передаточной функцией H0 ( f )

Итак, импульсная характеристика фильтра, дающего максимальное отношение сигнал/шум на выходе, является зеркальным отображением сигнала сообщения s(t) , за-

паздывающим на время передачи символа Т.

35

3.6. Оптимизация вероятности ошибки

Для оптимизации (минимизации) Pb в среде канала и приемника с шумом AWGN

(см. рис.3.1) нужно выбрать оптимальный принимающий фильтр на этапе 1 и оптимальный

порог принятия решения на этапе 2. Для минимального Pb в общем случае необходимо вы-

брать фильтр (согласованный) с максимальным аргументом функции Q(x) . Следователь-

но, нужно определить максимальное (a1 a2 ) / 2 0 , что равносильно максимальному

Для согласованного фильтра уравнение (3.20) является важным промежуточным результатом, включающим энергию разностного сигнала на входе фильтра. Из этого урав-

нения можно вывести более общее соотношение для энергии принятого бита. Для начала определим временной коэффициент взаимной корреляции , который будем использовать

Используя определение коэффициента корреляции, получаем:

Рассмотрим случай 1 . Такие сигналы использовать невозможно, поскольку сиг-

налы связи (элементы алфавита) должны быль максимально несопоставимы, чтобы их можно было легко различать (обнаруживать).

36

ния, модулируют импульсы, которые затем фильтруются для согласования с определен-

ными ограничениями полосы.

Пусть характеристика Hc(f) представляет передаточную функцию всей системы,

отвечающую за все этапы фильтрации в различных местах цепочки передатчик-канал-

приемник. Вследствие системной фильтрации принятые импульсы могут искажаться,

"размываться" и перекрываться. Подобный процесс получил название межсимвольной интерференции (intersymbol interference - ISI). Даже при отсутствии шумов воздействие фильтрации и искажение, вызванное каналом, приводят к возникновению ISI.

Исследованием проблемы задания формы принятого импульса с тем, чтобы пре-

дотвратить появление ISI на детекторе, долгое время занимался Найквист. Он показал, что минимальная теоретическая ширина полосы системы, требуемая для определения Rs сим-

волов/с без ISI, равна Rs / 2 Гц.

3.8. Формирование импульсов с целью снижения ISI

Ранее говорилось, что принимающий фильтр часто называется выравнивающим,

если он настраивается на компенсацию искажений, вносимых передатчиком и каналом.

Другими словами, конфигурация этого фильтра выбрана так, чтобы оптимизировать об-

щесистемную частотную передаточную функцию H(f). Одна из часто используемых пере-

даточных функций H(f) принадлежит к классу функций Найквиста (нулевая ISI в моменты

взятия выборок) и называется приподнятым косинусом (raised-cosine).

Коэффициент сглаживания (roll-off factor) определяется как r W W0 /W0 , где

0 r 1. Коэффициент сглаживания - это избыток полосы, деленный на ширину полосы по

уровню –6 дБ (т.е. относительный избыток полосы). Для данного W0 выравнивание r зада-

ет требуемый избыток относительно W0 и характеризует крутизну фронта характеристики фильтра.

Используя ограничение ширины полосы по Найквисту (минимальная ширина по-

лосы W, требуемая для поддержания скорости Rs символов/с без межсимвольной интер-

ференции, равна Rs / 2 Гц), можно вывести более общее соотношение между требуемой полосой и скоростью передачи символов, включающее коэффициент сглаживания r .

38

Примеры задач

Пример 3.1. На рис.3.2 иллюстрируется утверждение, что любой произвольный интегрируемый набор сигналов может представляться как линейная комбинация ортого-

нальных сигналов. На рис.3.2,а показан набор из трех сигналов - s1 (t) , s2 (t) и s3 (t) . 1) Покажите, что данные сигналы не являются взаимно ортогональными.

2) Докажите, что сигналы 1(t) и 2 (t) на рис.3.2,б, ортогональны.

3) Покажите, как неортогональные сигналы из п. 1 можно выразить как линейную комбинацию ортогональных сигналов из п. 2.

4) На рис.3.2,в показаны другие два сигнала 1 (t) и 2 (t) . Покажите, как неорто-

гональные сигналы, представленные на рис.3.2,а, выражаются через линейную комбина-

цию сигналов, изображенных на рис.3.2,в.

s1(t)

t

Рис.3.2. Пример выражения произвольного набора сигналов через ортогональный набор: а - произвольный набор сигналов; б - набор ортогональных базисных функций; в - другой набор ортогональных базисных функций

Решение.

1) Сигналы s1 (t) , s2 (t) и s3 (t) , очевидно, не являются взаимно ортогональными,

поскольку не удовлетворяют требованиям ортогональности, т.е. интегрирование по вре-

мени (по периоду передачи символа) скалярного произведения любых двух из трех сигна-

лов не равно нулю. Покажем это для сигналов s1 (t) и s2 (t) .

39

Подобным образом интегрирование по интервалу времени Т каждого из скалярных

произведений s1 (t) s3 (t) и s2 (t) s3 (t) дает ненулевой результат. Следовательно, множество сигналов si (t) i 1, 2, 3 , изображенных на рис.3.2,а, не является ортогональным.

изображенный на рис.3.2,в.

s1(t) 1 (t) 3 2 (t); s2 (t) 2 1 (t);

s3 (t) 1 (t) 3 2 (t).

Эти соотношения показывают, как произвольный набор сигналов {si (t)} выражает-

ся через линейную комбинацию сигналов ортогонального набора { j (t)} .

Пример 3.2. Рассмотрим бинарную систему связи, принимающую равновероят-

ные сигналы s1 (t) и s2 (t) плюс шум AWGN (рис.3.3). Предположим, что в качестве при-

нимающего фильтра используется согласованный фильтр и спектральная плотность мощ-

ности шума N 0 равна 10 12 Вт/Гц. С помощью значения напряжения и времени принятого сигнала, показанных на рис.3.3, вычислите вероятность появления ошибочного бита.

40