- •Курс общей физики (лекции)
- •Электродинамика и научно-технический прогресс
- •Свойства электрических зарядов
- •Закон Кулона
- •Электрическое поле
- •Идеи близко - и дальнодействия
- •Напряжённость электрического поля. Поле точечного заряда. Графическое представление электрических полей
- •Принцип суперпозиции электрических полей
- •Поле диполя
- •Поле бесконечно заряженной нити
- •Лекция 2«Теорема Гаусса для электрического поля»
- •Поток вектора напряжённости электрического поля
- •Теорема Гаусса для электрического поля
- •Применение теоремы Гаусса для расчёта электрических полей
- •Поле бесконечной заряженной нити
- •Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости. Поле плоского конденсатора
- •Поле сферического конденсатора
- •Лекция 3 «Потенциал электростатического поля»
- •Работа сил электростатического поля при перемещении заряда. Потенциал и разность потенциалов.
- •Теорема о циркуляции в вектора напряжённости электростатического поля
- •Связь напряжённости и потенциала электростатического поля
- •Примеры расчёта потенциала электростатических полей
- •Потенциал поля точечного заряда (рис. 3.8.)
- •Разность потенциалов на обкладках сферического конденсатора (рис. 3.9.)
- •Лекция 4 «Электростатика проводников»
- •Электрическое поле заряженного проводника
- •Проводники во внешнем электрическом поле. Явление электростатической индукции. Электрическая защита.
- •Электроёмкость проводника. Конденсаторы. Емкость конденсаторов.
- •Ёмкость плоского конденсатора
- •Ёмкость сферического конденсатора
- •Ёмкость цилиндрического конденсатора
- •Энергия электрического поля. Плотность энергии.
- •Лекция 5 «Электрическое поле в диэлектриках»
- •Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков. Поляризуемость и вектор поляризации.
- •Диэлектрическая проницаемость. Вектор электрического смещения.
- •Законы электрического поля в диэлектриках
- •Закон Кулона
- •Теорема Остроградского-Гаусса
- •Условия на границе двух диэлектриков
- •Лекция 6 «Постоянный электрический ток»
- •Электрический ток. Характеристики электрического тока
- •Законы Ома для участка цепи
- •Закон Ома в интегральной форме
- •Закон Ома в дифференциальной форме
- •Пример расчёта силы тока в проводящей среде
- •Закон Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной формах
- •Лекция 7 «Постоянный электрический ток»
- •Сторонние силы. Источники тока. Э.Д.С. Источника
- •Закон Ома для неоднородного участка цепи. Закон Ома для замкнутого контура.
- •Правила Кирхгофа
- •Классическая теория электропроводности металлов
- •Лекция 8 «Электромагнетизм. Основы магнитостатики»
- •Электростатика. Краткий обзор.
- •Магнитное взаимодействие электрических токов
- •Магнитное поле. Закон Ампера. Индукция магнитного поля.
- •Принцип суперпозиции магнитных полей. Закон Био-Савара-Лапласа.
- •Магнитное поле прямолинейного тока
- •Магнитное поле на оси кругового тока
- •Магнитное поле движущегося заряда
- •Лекция 9 «Основы магнитостатики»
- •Краткий обзор предыдущей лекции
- •Сила Лоренца
- •Теорема Гаусса и теорема о циркуляции магнитного поля. Система уравнений Максвелла электро- и магнитостатики.
- •Примеры расчёта магнитных полей
- •Поле прямолинейного тока
- •Поле бесконечного соленоида
- •Поле тороида
- •Лекция 10 «Электромагнитная индукция. Энергия магнитного поля»
- •Явление электромагнитной индукции
- •Опыты Фарадея
- •Правило Ленца
- •Электродвижущая сила индукции. Закон Фарадея.
- •Индуктивность. Индуктивность соленоида. Явление самоиндукции.
- •Токи размыкания и замыкания цепи. Энергия и плотность энергии магнитного поля.
- •Лекция 11 «Электрические колебания»
- •Колебательные контуры. Квазистационарные токи.
- •Собственные электрические колебания
- •Собственные незатухающие колебания
- •Собственные затухающие колебания
- •Вынужденные колебания
- •Резистор (r) в цепи переменного тока (рис. 11.7.)
- •Индуктивность в цепи переменного тока (рис. 11.9.)
- •Вынужденные колебания. Резонанс.
- •Проблема косинуса фи
- •Лекция 12 «Теория Максвелла»
- •Две трактовки явления электромагнитной индукции. Вихревое электрическое поле
- •Ток смещения. Обобщение теоремы о циркуляции магнитного поля
- •Полная система уравнений Максвелла и их физический смысл
- •Лекция 13 «Электромагнитные волны»
- •Волновой процесс. Уравнение плоской волны. Волновое уравнение.
- •Плоская электромагнитная волна. Свойства электромагнитных волн.
- •Энергия электромагнитных волн. Плотность потока энергии. Вектор Пойнтинга.
- •Примеры вычисления плотности потока энергии
- •Плотность потока энергии в плоской электромагнитной волне в вакууме
- •Плотность потока энергии электромагнитного поля в цепи постоянного тока. Выделение джоулева тепла в проводнике.
- •Лекция 14 «Магнетизм как релятивистский эффект»
- •Магнитная сила как релятивистское следствие закона Кулона
- •Релятивистское преобразование магнитных и электрических полей
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Рекомендуемая литература
- •Содержание
Применение теоремы Гаусса для расчёта электрических полей
Поле бесконечной заряженной нити
Рассмотрим поле, созданное зарядом, равномерно распределенным по бесконечной нити. Эту задачу мы решили на прошлой лекции, воспользовавшись принципом суперпозиции электрических полей (см. 1.11).
Теперь покажем, несколько проще можно рассчитать это поле с помощью теоремы Гаусса.
Определим напряжённость поля на расстоянии rот нити, заряженной с постоянной линейной плотностью:
, [Кл/м] (2.10)
Окружим нить замкнутой цилиндрической поверхностью (рис. 2.7.). Высота цилиндра — h, а радиус его основания —r.
Рис. 2.7.
Поле, созданное заряженной нитью, обладает цилиндрической симметрией. В связи с этим векторы напряжённости во всех точках боковой поверхности цилиндра будут одинаковы по модулю и направлены радиально, то есть перпендикулярно к боковой поверхности цилиндра. На основаниях цилиндра векторы , направленные по-прежнему радиально, «скользят» по основанию, образуя прямой угол с нормалью.
Вычислим поток вектора через поверхность выбранного цилиндра. Полный поток через эту замкнутую «гауссову» поверхность складывается из потока через боковую поверхность цилиндра и через два его основания:
Последние два интеграла равны нулю, так как «скользящие» по основаниям цилиндра векторы не пронизывают их и не создают никакого потока. Формально эти два интеграла равны нулю, так как между векторамиипрямой угол и. Таким образом
Во всех точках боковой поверхности цилиндра E=Еr=constи.
Поэтому поток через боковую поверхность цилиндра равен
(2.11)
Это поток вектора напряжённости электрического поля, вычисленный по определению потока.
Теперь воспользуемся теоремой Гаусса, отметив предварительно, что «заряд, заключённый внутри гауссовой поверхности» в данном случае сосредоточен на отрезке нити h— на оси цилиндра:
Таким образом
(2.12)
Отсюда теперь легко получить знакомую нам гиперболическую зависимость напряжённости поля от расстояния до нити — r(см. 1.11).
(2.13)
Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости. Поле плоского конденсатора
Пусть электрическое поле создаётся зарядом, равномерно распределённым по поверхности безграничной плоскости, с поверхностной плотностью (рис. 2.8.)
Рис. 2.8.
Из симметрии задачи следует, что поле повсюду направлено перпендикулярно к поверхности. Выясним, как меняется напряжённость поля по мере удаления от заряженной плоскости.
В качестве гауссовой поверхности удобно выбрать цилиндр. Ось цилиндра направим перпендикулярно плоскости, его основание расположим на расстоянии Хсимметрично по обе стороны от поверхности.
Вычислим поток вектора напряжённости через боковую поверхность и основания цилиндра. Как следует из рис. 2.8., поток вектора напряжённости через боковую поверхность цилиндра равен нулю, так как здесь повсюду векторы напряжённости «скользят» по поверхности и.
Тогда полный поток через замкнутую цилиндрическую поверхность можно записать как поток через два основания цилиндра.
(2.14)
Это величина, рассчитанная по определению потока.
Теперь воспользуемся теоремой Гаусса, заметив, что заряд q, «находящийся внутри гауссовой поверхности», в данном случае сосредоточен на площадкеS=Sосн, «вырезанной» цилиндром на бесконечной плоскости
(2.15)
Объединим результаты(2.15) и (2.14) в уравнение Гаусса:
Откуда следует
(2.16)
Вывод. Поле, созданное бесконечной равномерно заряженной плоскостью, однородно. Оно не меняется с расстоянием от заряженной поверхности ни по величине, ни по направлению.
Теперь рассмотрим еще один важный пример. Пусть поле создаётся двумя бесконечными плоскостями, заряженными разноименно, но с одинаковой по величине поверхностной плотностью заряда (рис. 2.9.). Это важная идеализация электростатики — плоский конденсатор. Каждая обкладка этого конденсатора создаёт однородное поле, напряжённость которого мы только что установили (2.16):
.
Рис. 2.9.
Силовые линии поля положительно заряженной плоскости направлены от неё, а отрицательной — к плоскости. При сложении этих полей, напряжённость результирующего поля вне конденсатора оказывается равной нулю, а внутри конденсатора, где эти поля совпадают по направлению, — поле удваивается:
. (2.17)